Restrição (matemática)

Em matemática , a restrição de uma função $f$ é uma função , freqüentemente denotada por $f | A$ ou , para o qual se consideram apenas os valores assumidos por $f$ em um domínio $A$ incluído no domínio de definição de $f$ . ${\ displaystyle f {\ upharpoonright _ {A}}}$

Definição

Vamos $f : E \to F$ uma função sobre um conjunto $E$ de um conjunto $F$ . Se tomarmos $A$ , um subconjunto de $E$ , então a restrição de $f$ em $A$ é a função:

{\ displaystyle {\ begin {align} {f |} _ {A} \ dois pontos & A & \ to & F \\ & x & \ mapsto & f | _ {A} (x) = f (x) \ end {alinhado}}}

A restrição de $f$ em $A$ é, portanto, igual $af$ em $A$ , mas não definida no resto do domínio de $f$ .

Exemplos

A restrição da função não injetiva no domínio é a função injetiva . ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, \ x \ mapsto x ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} = [0, + \ infty [}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} _ {+} \ to \ mathbb {R}, \ x \ mapsto x ^ {2}}$
O fatorial pode ser visto como a restrição da função gama em inteiros positivos, com um deslocamento para a direita: ${\ displaystyle {\ Gamma |} _ {\ mathbb {Z} ^ {+}} \! (n) = (n-1)!}$

Propriedades

A restrição de uma função a todo o seu domínio de definição é igual à própria função: $f | dom ( f ) = f$ .
Restringir duas vezes é o mesmo que restringir uma vez: sim , então . ${\ displaystyle A \ subseteq B \ subseteq \ operatorname {dom} f}$ ${\ displaystyle (f | _ {B}) | _ {A} = f | _ {A}}$
A restrição da identidade função em um conjunto de X para um subconjunto Um de X é simplesmente a inclusão canónica de um em X .
A restrição preserva a continuidade.

Formulários

Funções recíprocas

Para que uma função tenha uma recíproca, ela deve ser bijetiva . Se este não for o caso, podemos então definir uma restrição da função em um domínio onde ela é bijetiva e, portanto, definir uma recíproca. Por exemplo, a função quadrada :

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, f (x) = x ^ {2}}

não é injetiva (já que temos $f ( x ) = f (- x )$ . No entanto, considerando a restrição na meia-linha dos números reais positivos $[0, + \infty [$ , podemos definir o inverso, a raiz quadrada :

{\ displaystyle \ forall y \ in \ mathbb {R} _ {+}, f ^ {- 1} (y) = {\ sqrt {y}}.}

As funções raiz de uma potência par, as funções do arco cosseno e do arco seno , são baseadas no mesmo princípio.

Referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Restriction (mathematics) " ( veja a lista de autores ) .

(em) Robert Stoll, Sets, Logic and Axiomatic Theories , WH Freeman and Company , p. 5.
(em) Paul Halmos , Naive Set Theory , Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpresso por Springer-Verlag, New York, 1974 ( ISBN 0-387-90092-6 ) (edição Springer-Verlag). Reimpresso por Martino Fine Books, 2011. ( ISBN 978-1-61427-131-4 ) (edição em brochura).
(em) James R. Munkres, Topology , vol. 2, Upper Saddle River, Prentice Hall ,2000.
(em) Colin Conrad Adams e Robert David Franzosa , Introdução à topologia: pura e aplicada , Prentice Hall ,2008.