Suite Pell
Em matemática , a sequência de Pell e a sequência de Pell-Lucas são, respectivamente, as sequências de inteiros U (2, –1) e V (2, -1), casos especiais de sequências de Lucas .
O primeiro é também a sequência 2 de Fibonacci .
Seus termos são chamados respectivamente de números Pell e números Pell-Lucas.
Definições
A sequência de Pell e a sequência de Pell- Lucas são definidas por indução linear dupla :
(Pnão){\ displaystyle (P_ {n})} (Qnão){\ displaystyle (Q_ {n})}
Pnão={0para não=0,1para não=1,2Pnão-1+Pnão-2para não≥2etQnão={2para não=0,2para não=1,2Qnão-1+Qnão-2para não≥2{\ displaystyle P_ {n} = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {for}} n = 0, \\ 1 & {\ mbox {for}} n = 1, \\ 2P_ {n-1} + P_ {n-2} & {\ mbox {para}} n \ geq 2 \ end {casos}} \ quad {\ rm {e}} \ quad Q_ {n} = {\ begin {cases} 2 & { \ mbox {para}} n = 0, \\ 2 & {\ mbox {para}} n = 1, \\ 2Q_ {n-1} + Q_ {n-2} & {\ mbox {para}} n \ geq 2. \ end {cases}}}Em outras palavras: começamos com 0 e 1 para a primeira sequência e com 2 e 2 para a segunda, e em cada uma das duas sequências, produzimos o seguinte termo adicionando duas vezes o último ao penúltimo.
Também podemos escrever: e onde e são, respectivamente, os polinômios de índice de Fibonacci e Lucas .
Pnão=Fnão(2){\ displaystyle P_ {n} = F_ {n} (2)}Qnão=eunão(2){\ displaystyle Q_ {n} = L_ {n} (2)}Pnão{\ displaystyle P_ {n}}eunão{\ displaystyle L_ {n}}não{\ displaystyle n}
Alguns valores
Os primeiros dez números de Pell são 0, 1, 2, 5 , 12 , 29 , 70 , 169 , 408 e 985 e os primeiros dez números de Pell-Lucas são 2, 2, 6 , 14 , 34 , 82 , 198 , 478 , 1154 e 2786 (para os primeiros 1 000, consulte os conjuntos A000129 e A002203 do OEIS ).
O são todos os pares às vezes é chamado de números de Pell-Lucas.
Qnão{\ displaystyle Q_ {n}}Qnão/2{\ displaystyle Q_ {n} / 2}
A subsequência de termos primos da sequência de Pell é formada pelos números
2 ,
5 ,
29 ,
5 741 , etc. (para os primeiros 23 termos, consulte
A086383 )
e os índices correspondentes (necessariamente primos) são
2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, etc. (para os primeiros 31, consulte
A096650 ).
Termo geral
Os termos gerais dessas duas sequências são dados respectivamente pelas fórmulas:
Pnão=vocênão(2,-1)=(1+2)não-(1-2)não22etQnão=Vnão(2,-1)=(1+2)não+(1-2)não.{\ displaystyle P_ {n} = U_ {n} (2, -1) = {\ frac {(1 + {\ sqrt {2}}) ^ {n} - (1 - {\ sqrt {2}}) ^ {n}} {2 {\ sqrt {2}}}} \ quad {\ rm {e}} \ quad Q_ {n} = V_ {n} (2, -1) = (1 + {\ sqrt { 2}}) ^ {n} + (1 - {\ sqrt {2}}) ^ {n}.}
Link com a quantidade de dinheiro
As potências sucessivas do número prateado 1 + √ 2 são, portanto, próximas aos números de Pell-Lucas quando é grande. Por exemplo :
não{\ displaystyle n}
(1+2)2≃5,8≃6=Q2,{\ displaystyle (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {2} \ simeq 5 {,} 8 \ simeq 6 = Q_ {2},}
(1+2)4≃33,97≃34=Q4,{\ displaystyle (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {4} \ simeq 33 {,} 97 \ simeq 34 = Q_ {4},}
(1+2)8≃1153.999≃1154=Q8{\ displaystyle (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {8} \ simeq 1153 {,} 999 \ simeq 1154 = Q_ {8}}
e para todos , onde designa toda a parte superior .
não⩾2{\ displaystyle n \ geqslant 2}Qnão=⌈(1+2)não⌉{\ displaystyle Q_ {n} = \ left \ lceil (1 + {\ sqrt {2}}) ^ {n} \ right \ rceil}⌈.⌉{\ displaystyle \ left \ lceil. \ right \ rceil}
Notas e referências
(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em
inglês intitulado
" Pell number " ( veja a lista de autores ) .
-
(em) Thomas Koshy, Pell e Pell-Lucas Numbers with Applications , New York, NY, Springer ,2014( ISBN 978-1-4614-8489-9 , leia online ).
Veja também
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