Suíte de logística

Em matemática , uma sequência logística é uma sequência simples, mas a recorrência da qual não é linear. Sua relação de recorrência é

xnão+1=µxnão(1-xnão), x0∈[0;1].{\ displaystyle x_ {n + 1} = \ mu x_ {n} (1-x_ {n}), ~ x_ {0} \ in [0; 1].}

Dependendo do valor do parâmetro μ (em [0; 4] para garantir que x permaneça em [0; 1]), ele gera uma sequência convergente, uma sequência sujeita a oscilações ou uma sequência caótica .

Frequentemente citada como um exemplo da complexidade comportamental que pode surgir de uma simples relação não linear, essa sequência foi popularizada pelo biólogo Robert May em 1976 . Uma aplicação do conjunto de logística é modelar o tamanho de uma população biológica ao longo de gerações.

É a solução em tempo discreto do modelo de Verhulst . O termo "logística" vem do trabalho de Pierre François Verhulst, que chama a curva logística de solução em tempo contínuo de seu modelo. Ele escreveu em 1845 em sua obra dedicada a esse fenômeno: "Daremos o termo logística a esta curva" . O autor não explica sua escolha, mas “logística” tem a mesma raiz de logaritmo e logistikos significa “cálculo” em grego.

Comportamento de acordo com μ

No modelo logístico, consideraremos que a variável aqui anotada x n designa a razão entre a população de uma espécie e a população máxima dessa espécie (é um número entre 0 e 1). Ao variar o parâmetro μ , vários comportamentos diferentes são observados:

Caso 0 ≤ µ ≤ 1 a população está extinta.

Eventualmente, a espécie morrerá, independentemente da população inicial. Ie . lim+∞xnão=0{\ displaystyle \ lim _ {+ \ infty} x_ {n} = 0}

Caso 1 ≤ µ ≤ 3 o tamanho da população se estabiliza.

• Se 1 ≤ µ ≤ 2 , a população acaba se estabilizando em torno do valor , seja qual for a população inicial. Em outras palavras .µ-1µ{\ displaystyle {\ frac {\ mu -1} {\ mu}}}lim+∞xnão=µ-1µ{\ displaystyle \ lim _ {+ \ infty} x_ {n} = {\ frac {\ mu -1} {\ mu}}}
• Se 2 ≤ µ ≤ 3 , também acaba se estabilizando depois de ter oscilado por algum tempo. A velocidade de convergência é linear, exceto para µ = 3 onde é muito lenta.µ-1µ{\ displaystyle {\ frac {\ mu -1} {\ mu}}}

Caso 3 ≤ µ ≤ 3,57 o tamanho da população oscila entre 2, 4, 8 ... valores (potência de 2).

• Se 3 <µ ≤ 1 + √6 (cerca de 3,45), acaba oscilando entre dois valores, dependentes de µ, mas não da população inicial.
• Se 3,45 <µ <3,54 (aproximadamente), acaba oscilando entre quatro valores, novamente dependente de µ, mas não da população inicial.
• Se µ for um pouco maior que 3,54, a população acaba oscilando entre oito valores, depois 16, 32 e assim por diante. O intervalo de valores de µ levando ao mesmo número de oscilações diminui rapidamente. A razão entre dois desses intervalos consecutivos se aproxima de cada vez da constante de Feigenbaum , δ = 4,669…. Nenhum desses comportamentos depende da população inicial.

Caso 3,57 ≤ µ o tamanho da população é caótico , com algumas exceções.

• Em torno de µ = 3,57 , o caos se instala. Nenhuma oscilação ainda é visível e pequenas variações na população inicial levam a resultados radicalmente diferentes.
• A maioria dos valores acima de 3,57 exibe um caráter caótico, mas existem alguns valores isolados de µ com comportamento que não o é. Por exemplo, de 1 + √8 (cerca de 3,82), um pequeno intervalo de valores de µ exibe uma oscilação entre três valores e para µ ligeiramente maior, entre seis valores, depois doze e assim por diante. Outros intervalos oferecem oscilações entre 5 valores, etc. Todos os períodos de oscilação estão presentes, novamente independentemente da população inicial.
• Além de µ = 4 , a razão entre a população da espécie e a população máxima sai do intervalo [0,1] e diverge quase para todos os valores iniciais.

Os períodos de oscilação descritos acima atendem à seguinte regra. Considere a ordem de Charkovski definida em inteiros estritamente positivos da seguinte forma:

3◃5◃7◃...◃2×3◃2×5◃2×7◃...◃2não×3◃2não×5◃2não×7◃...{\ displaystyle 3 \; \ triangleleft \; 5 \; \ triangleleft \; 7 \; \ triangleleft \; \ ldots \; \ triangleleft \; 2 \ vezes 3 \; \ triangleleft \; 2 \ vezes 5 \; \ triangleleft \; 2 \ times 7 \; \ triangleleft \; \ ldots \; \ triangleleft \; 2 ^ {n} \ times 3 \; \ triangleleft \; 2 ^ {n} \ times 5 \; \ triangleleft \; 2 ^ {n} \ times 7 \; \ triangleleft \; \ ldots} ◃2não+1×3◃2não+1×5◃...◃2não◃2não-1◃...◃22◃2◃1{\ displaystyle \; \ triangleleft \; 2 ^ {n + 1} \ times 3 \; \ triangleleft \; 2 ^ {n + 1} \ times 5 \; \ triangleleft \; \ ldots \; \ triangleleft \; 2 ^ {n} \; \ triangleleft \; 2 ^ {n-1} \; \ triangleleft \; \ ldots \; \ triangleleft \; 2 ^ {2} \; \ triangleleft \; 2 \; \ triangleleft \; 1 } Em outras palavras, primeiro colocamos os ímpares começando de 3 em ordem crescente, depois os ímpares multiplicados por 2, depois por 4, etc. e terminamos com as potências de 2 em ordem decrescente. Se um valor do parâmetro µ corresponde a um período de oscilação n , então todos os inteiros sucessivos a n na ordem de Charkovski correspondem a períodos de oscilação que já apareceram para valores do parâmetro menores que µ . Assim, como µ = 3,82 corresponde a um período 3, todos os períodos de oscilação possíveis já apareceram para valores de µ entre 0 e 3,82.

Um diagrama de bifurcação  (in) usado para resumir graficamente os diferentes casos:

Comentários

Alguns argumentos simples e alguns gráficos nos permitem lançar luz parcialmente sobre os resultados acima.

Gráficos

A evolução da seqüência logística pode ser representada no plano ( x n , x n +1 ).

A equação básica representa uma parábola que passa pelos pontos de abscissa 0 e 1 no eixo horizontal. Para que os valores de x n +1 não se tornem negativos, é necessário reter apenas o arco compreendido entre esses dois pontos; isto apresenta, para x n = 1 ⁄ 2 , um valor máximo μ ⁄ 4 . Este valor também deve estar entre 0 e 1, portanto μ <4.

Se a sequência converge, seu limite satisfaz a equação lim x n +1 = lim x n . Este possível limite, denotado por x , é a solução da equação quadrática

x=µx(1-x){\ displaystyle x = \ mu x (1-x)}

e pode, portanto, assumir um ou outro dos valores

x=0,x=1-1/µ{\ displaystyle x = 0, x = {1- {1 / \ mu}}}

Para descrever o comportamento da sequência, é necessário partir de uma abscissa x 0 , determinar na parábola o valor x 1 que se transforma em uma nova abscissa passando pela bissetriz x n +1 = x n e repetir estes dois operações.

Áreas de convergência

Para certos valores do parâmetro µ, a sequência se comporta como uma sequência clássica e converge para um dos dois limites possíveis. A equação básica pode ser reescrita na forma

xnão+1xnão=µ(1-xnão){\ displaystyle {x_ {n + 1} \ over x_ {n}} = \ mu (1-x_ {n})}

Se , a sequência é limitada por uma sequência geométrica que tende para 0. 0≤µ≤1{\ displaystyle 0 \ leq \ mu \ leq 1}

Para ver o comportamento em relação ao segundo limite possível, basta realizar a mudança da variável x n = u n + 1 - 1 / µ. A fórmula se torna:

vocênão+1+1-1/µvocênão+1-1/µ=1-µvocênão{\ displaystyle {{u_ {n + 1} + 1-1 / \ mu} \ over {u_ {n} + 1-1 / \ mu}} = 1- \ mu u_ {n}}

Neste caso, a condição de convergência requer que o segundo membro é entre -1 e + 1: . 1≤µ≤3{\ displaystyle 1 \ leq \ mu \ leq 3}

Verificamos que, se u n está perto do limite 1 - 1 / μ, então 1-μ u n está perto de 2 - μ e u n tende em direção ao seu limite aumentando os valores se μ for menor que 2, por valores alternados se for maior que 2.

Bifurcações

No parágrafo anterior, a fórmula de recorrência da forma x n +1 = f ( x n ) possibilitou a obtenção dos primeiros atratores procurando um possível limite conforme a equação x = f ( x ).

Quando μ se torna maior que 3, devemos encontrar uma solução para a equação x = f ( f ( x )). Isso leva a uma equação de quarto grau que naturalmente tem as raízes já conhecidas - mas elas não são mais atratores - e o par de novas raízes. 0,1-1µ{\ displaystyle 0,1 - {\ frac {1} {\ mu}}}

12(1+µµ±1µµ2-2µ-3){\ displaystyle {1 \ over 2} \ left ({1+ \ mu \ over \ mu} \ pm {1 \ over \ mu} {\ sqrt {\ mu ^ {2} -2 \ mu -3}} \ direito)}

Não há mais convergência: surge um ciclo limite. O resultado da iteração muda alternadamente de uma das duas últimas raízes para a outra: u n + 1 = u n-1 enquanto u n + 2 = u n . Para μ = 3,4, os valores aproximados sucessivos 0,84, 0,45, 0,84, 0,45, 0,84 .... aparecem.

Além do limite de estabilidade deste ciclo, √6 + 1, ocorrem duas novas bifurcações, que dependem das soluções de x = f (f (f (f (x))))). Para μ = 3,47, os valores sucessivos são da ordem de 0,47, 0,86, 0,40, 0,84, 0,47 ...

Caos

De bifurcação em bifurcação, as evoluções tornam-se cada vez mais complexas. O processo resulta, por aproximadamente μ> 3,57, em sistemas que geralmente não apresentam atratores visíveis. Os gráficos então representam uma evolução “caótica” no sentido usual do termo.

No entanto, na linguagem dos matemáticos, a palavra caos representa uma forte sensibilidade às condições iniciais. Os dois gráficos correspondentes a μ = 3,9 com valores iniciais u 0 0,100 e 0,101 mostram que as trajetórias se afastam uma da outra até que rapidamente se tornam distintas. Em um problema concreto, as condições iniciais nunca são conhecidas com exatidão: depois de certo tempo, um fenômeno caótico torna-se imprevisível, embora a lei que o define seja perfeitamente determinística.

Apêndices

Bibliografia

• Alain Hillion , The Mathematical Theories of Populations , Paris, Presses universitaire de France , coll.  "  O que eu sei  "1986, 127  p. , n ° 2258 ( ISBN  2-13-039193-1 )
• Nicolas Bacaër , Histórias da matemática e populações , Paris, Éditions Cassini, coll.  "Sal e ferro"2008, 212  p. ( ISBN  978-2-84225-101-7 , aviso BnF n o  FRBNF42035729 ) , "Verhulst e a equação logística"

Artigos relacionados

• Sistema dinâmico
• Teoria do caos
• Teoria ergódica
• Fractal Lyapunov
• Feedback , autorregulação

links externos

• (pt) Elmer G. Wiens, The Logistic Map and Chaos
• [PDF] Daniel Perrin, The Logistics Suite and Chaos
• (fr) Experiência digital interativa do diagrama de bifurcação do aplicativo de logística http://experiences.math.cnrs.fr

Notas e referências

1. (em) RM Maio , "  Modelos matemáticos simples com dinâmica muito complicada  " , Nature , vol.  261, n o  55601976, p.  459-467 ( DOI  10.1038 / 261459a0 )
2. (em) Por que não curva logística autocatalítica e ogiva?