Símbolo de Jacobi

O símbolo Jacobi é usado em matemática no campo da teoria dos números . É nomeado em homenagem ao matemático prussiano Charles Gustave Jacob Jacobi . É uma generalização do símbolo de Legendre .

Definição

O símbolo de Jacobi é definido para qualquer número inteiro relativo e qualquer número inteiro natural ímpar como um produto dos símbolos de Legendre, usando a fatoração principal de : para todos e todos os números primos ímpares (não necessariamente distintos), $\ left (\ frac an \ right)$ $no$ $não$ $não$ $k \ in \ N$ ${\ displaystyle p_ {1}, \ dots, p_ {k}}$

{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {\ prod _ {1 \ leq i \ leq k} p_ {i}}} \ right) = \ prod _ {1 \ leq i \ leq k} \ left ( {\ frac {a} {p_ {i}}} \ right)}

Propriedades

Permita que ímpar positivo e inteiro sejam arbitrários. Então : ${\ displaystyle m, n}$ $a, b$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {1}} \ right) = 1}$ ;
se for primo, o símbolo de Jacobi é simplesmente o símbolo de Legendre; $não$ $\ left (\ frac an \ right)$
se e não são primos entre si , ; $no$ $não$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) = 0}$
se e são primos entre si ,; $no$ $não$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) = \ pm 1}$
${\ displaystyle \ left ({\ frac {ab} {n}} \ right) = \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) \ left ({\ frac {b} {n}} \ direito)}$ ;
${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) \ left ({\ frac {a} {m}} \ right) = \ left ({\ frac {a} {mn}} \ direito)}$ ;
se $a \equiv b ( mod n )$ então ; ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) = \ left ({\ frac {b} {n}} \ right)}$
generalização da lei de reciprocidade quadrática :
- teorema fundamental , ${\ displaystyle \ left ({\ frac {m} {n}} \ right) = \ left ({\ frac {n} {m}} \ right) (- 1) ^ {\ frac {(m-1) (n-1)} {4}}}$
- primeira lei complementar: , ${\ displaystyle \ left ({\ frac {-1} {n}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {n-1} {2}}}$
- segunda lei complementar: . ${\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {n}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {n ^ {2} -1} {8}}}$

Resíduos

As afirmações gerais sobre resíduos quadráticos envolvendo o símbolo de Legendre não se estendem ao símbolo Jacobi: se então $a$ não é um quadrado $mod$ $n,$ mas se , $a$ não é necessariamente um quadrado $mod$ $n$ . Por exemplo: mas $2$ não é um quadrado $mod 9$ (nem mesmo o $mod 3$ ). ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) = - 1}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right) = 1}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {9}} \ right) = \ left ({\ frac {2} {3}} \ right) ^ {2} = (- 1) ^ {2} = 1}$

Notas e referências

(em) CGJ Jacobi, " Uber die ihre Anwendung und Kreisteilung auf die Zahlentheorie " , Bericht Ak. Wiss. Berlim ,1837, p. 127-136.
Veja por exemplo:
- (pt) Tom M. Apostol , Introdução à Teoria Analítica dos Números , Springer ,1976, p. 188-190 ;
- (pt) Kenneth Ireland e Michael Rosen , Uma Introdução Clássica à Teoria Moderna dos Números , Springer, coll. " GTM " ( n o 84);1990( leia online ) , p. 56-57 ;
- o link abaixo para a Wikiversidade .

Veja também

Símbolo de Kronecker (aritmética) (en)