Símbolo de Legendre
Na teoria dos números , o símbolo de Legendre é uma função de duas variáveis inteiras com valores em {–1, 0, 1}, que caracteriza os resíduos quadráticos . Foi introduzido por Adrien-Marie Legendre , durante seus esforços para demonstrar a lei da reciprocidade quadrática .
Definição
Se p é um número primo e tem um inteiro , o símbolo de Legendre vale:
(nop){\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right)}
- 0 se a for divisível por p ;
- 1 se a é um módulo p resíduo quadrático (o que significa que existe um inteiro k tal que a ≡ k 2 mod p ) mas não é divisível por p ;
- -1 se a não for um módulo p resíduo quadrático .
Portanto, depende apenas da classe de um módulo p .
O caso especial p = 2 está incluído nesta definição, mas sem juros: é válido se for par e se não for.
(no2){\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {2}} \ right)}0{\ displaystyle 0}no{\ displaystyle a}1{\ displaystyle 1}
Propriedades do símbolo Legendre
Critério de Euler
Se p for um número primo diferente de 2, então, para qualquer inteiro a :
no(p-1)/2≡(nop) (modp){\ displaystyle a ^ {(p-1) / 2} \ equiv \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) ~ {\ pmod {p}}}.
Multiplicação
A aplicação é completamente multiplicativa (é uma consequência imediata do critério de Euler).
no↦(nop){\ displaystyle a \ mapsto \ left ({\ frac {a} {p}} \ right)}
Lema gaussiano
Seja p um número primo ímpar e tenha um inteiro não divisível por p . Então
(nop)=(-1)não{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) = (- 1) ^ {n}},
onde n é definido como segue:
considere os inteiros a , 2 a , 3 a , ...,p - 1/2a e seus menores resíduos positivos módulo p , então n é o número daqueles resíduos que excedem p / 2 .
Lei de reciprocidade quadrática
- Se q for outro número primo ímpar, então(qp)=(pq)(-1)(p-1)(q-1)4.{\ displaystyle \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) (- 1) ^ {\ frac {(p-1) (q-1)} {4}}.}
- (-1p)=(-1)p-12≡pmod4{\ displaystyle \ left ({\ frac {-1} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {p-1} {2}} \ equiv p \ mod 4.}
- (2p)=(-1)p2-18={ 1 E se p≡±1mod8-1 E se p≡±3mod8{\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ tfrac {p ^ {2} -1} {8}} = {\ begin {cases} ~~ 1 {\ text {si}} p \ equiv \ pm 1 \ mod 8 \\ - 1 {\ text {si}} p \ equiv \ pm 3 \ mod 8. \ end {cases}}}
Generalização do símbolo de Legendre
O símbolo Jacobi é uma generalização do símbolo Legendre. Com o símbolo de Legendre , o inteiro é necessariamente primo; por outro lado, o símbolo de Jacobi permite considerar o caso em que é um número composto.
(nob){\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right)}b{\ displaystyle b}b{\ displaystyle b}
Análise harmônica em (ℤ / p ℤ) *
A multiplicatividade completa do símbolo de Legendre ( ver acima ) mostra que ele define, para p fixo, um morfismo de (ℤ / p ℤ) * em {–1, 1}; é, portanto, um personagem de Dirichlet . Esta observação torna possível usar as ferramentas de análise harmônica em um grupo finito. Essas ferramentas são a fonte de muitas demonstrações aritméticas . Podemos citar, por exemplo, o cálculo de somas ou períodos gaussianos , utilizado em uma das provas da lei de reciprocidade quadrática.
Notas e referências
(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em
inglês intitulado
" Símbolo de Legendre " ( ver a lista de autores ) .
-
AM Legendre, Ensaio sobre a teoria dos números , 1798 , p. 186 .
-
Para uma demonstração, consulte por exemplo "Símbolo de Legendre" na lição "Introdução à teoria dos números" na Wikiversidade .
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