Teorema de Apéry

O teorema apery , devido em 1978, o matemático Roger Apéry , diz o número

{\ displaystyle \ zeta (3) = {\ frac {1} {1 ^ {3}}} + {\ frac {1} {2 ^ {3}}} + {\ frac {1} {3 ^ {3 }}} + {\ frac {1} {4 ^ {3}}} + \ cdots,}

onde ζ é a função zeta de Riemann , é irracional . Este número também é apelidado de constante de Apéry .

Histórico

Euler demonstrou que se n é um número inteiro positivo, então

{\ displaystyle {\ frac {1} {1 ^ {2n}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2n}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2n}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2n}}} + \ ldots = {\ frac {p} {q}} \ pi ^ {2n}}

para um certo p / q racional . Mais precisamente, observando a soma esquerda ζ (2 n ) (ver o artigo Função zeta ), ele mostrou que

{\ displaystyle \ zeta (2n) = | B_ {2n} | {\ frac {(2 \ pi) ^ {2n}} {2 (2n)!}}}

onde os B n são os números de Bernoulli (que podem ser facilmente mostrados como racionais). Uma vez que tenha sido mostrado que π n é sempre irracional, deduzimos que ζ (2 n ) é irracional (e até mesmo transcendente ) para qualquer inteiro positivo n .

Não conhecemos tal expressão usando π para os valores de ζ ( m ) quando m é um inteiro positivo ímpar; além disso, conjectura-se que os quocientes são transcendentes para qualquer inteiro n ≥ 1. É por isso que não poderia ser mostrado que os ζ (2 n +1) eram irracionais, embora conjecturássemos que 'eles também eram todos transcendentes (uma conjectura que engloba os dois anteriores é que os números $π, ζ (3), ζ (5), ζ (7),\dots$ são algebricamente independentes em ℚ). ${\ displaystyle {\ frac {\ zeta (2n + 1)} {\ pi ^ {2n + 1}}}}$

No entanto, em Junho de 1978, Roger Apéry (62 anos) deu uma palestra intitulada Sur l'irrationalité de ζ (3) . Fez então demonstrações da irrationality de ζ (3), e também ζ (2), por métodos que não utilizam o valor π 2 /6 último constante.

Por causa da aparência inesperada desse resultado, e do estilo desgastado e aproximado da apresentação de Apéry, muitos matemáticos presentes nesta conferência pensaram que a prova estava errada. No entanto, três dos espectadores, Henri Cohen , Hendrik Lenstra e Alfred van der Poorten (em) , sentiram que poderia ser feito rigoroso.

Dois meses depois, eles conseguiram e, o 18 de agosto, Henri Cohen fez um relato detalhado da demonstração de Apéry; imediatamente após esta apresentação, o próprio Apéry subiu à plataforma para explicar as motivações heurísticas de sua abordagem.

Demonstração de Apéry

A prova de Apéry é baseada no seguinte critério de irracionalidade (devido a Dirichlet): se existe um δ> 0 e uma infinidade de pares de inteiros q > 0 e p tal que

{\ displaystyle 0 <\ left | \ xi - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {q ^ {1+ \ delta}}},}

então ξ é irracional.

Apéry parte da representação de ζ (3) pela série

{\ displaystyle \ zeta (3) = {\ frac {5} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {n ^ {3} {\ binom {2n} {n}}}}.}

Ele então define uma sequência c n, k convergindo para ζ (3) na mesma velocidade que esta série por

{\ displaystyle c_ {n, k} = \ sum _ {m = 1} ^ {n} {\ frac {1} {m ^ {3}}} + \ sum _ {m = 1} ^ {k} { \ frac {(-1) ^ {m-1}} {2m ^ {3} {\ binom {n} {m}} {\ binom {n + m} {m}}}},}

em seguida, duas outras sequências a n e b n tendo (aproximadamente) para quociente c n, k por

{\ displaystyle a_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} c_ {n, k} {\ binom {n} {k}} ^ {2} {\ binom {n + k} {k }} ^ {2}}

{\ displaystyle b_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} ^ {2} {\ binom {n + k} {k}} ^ {2} .}

A sequência a n / b n converge para ζ (3) rápido o suficiente para ser capaz de aplicar o critério de Dirichlet, mas a n não é um inteiro se n > 2. No entanto, Apéry mostrou que mesmo depois de ter multiplicado a n e b n por inteiros adequados, a convergência permanece rápida o suficiente para garantir a irracionalidade de ζ (3).

Outras evidências

No ano seguinte, outra prova foi encontrada por Frits Beukers (en) , substituindo a série Apéry por integrais envolvendo os polinômios de Legendre (traduzido) . Usando uma representação que seria posteriormente generalizada para obter a fórmula Hadjicostas-Chapman , Beukers mostrou que ${\ displaystyle {\ tilde {P_ {n}}} (x) = {P_ {n}} (2x-1)}$

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {- \ ln (xy)} {1-xy}} {\ tilde {P_ {n}}} (x) {\ tilde {P_ {n}}} (y) dxdy = {\ frac {A_ {n} + B_ {n} \ zeta (3)} {\ operatorname {ppcm} \ left [1, \ ldots , n \ direita] ^ {3}}}}

para certos números inteiros $A n$ e $B n$ (as séries A171484 e A171485 do OEIS ). Integrando por partes , assumindo que ζ (3) é o a / b racional , Beukers obtém a desigualdade

{\ displaystyle 0 <{\ frac {1} {b}} \ leq \ left | A_ {n} + B_ {n} \ zeta (3) \ right | \ leq 4 \ left ({\ frac {4} { 5}} \ direita) ^ {n},}

o que é um absurdo já que o lado direito tende a zero e, portanto, acaba sendo menor que 1 / b .

As provas mais recentes de Wadim Zudilin (en) e Yuri Nesterenko (en) estão mais próximas das ideias de Apéry, construindo sequências que tendem a zero, enquanto são reduzidas em 1 / b se ζ (3) for o a / b racional . Essas demonstrações bastante técnicas fazem uso significativo de séries hipergeométricas .

Generalizações

As provas de Apéry e Beukers podem ser adaptadas (e simplificadas) para demonstrar da mesma forma a irracionalidade de ζ (2) graças à relação

{\ displaystyle \ zeta (2) = 3 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2} {\ binom {2n} {n}}}}.}

O sucesso deste método levou a um interesse no número ξ 5 de tal forma que

{\ displaystyle \ zeta (5) = \ xi _ {5} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {n ^ {5} { \ binom {2n} {n}}}}.}

Se este número ξ 5 fosse racional, ou simplesmente algébrico, poderíamos deduzir que ζ (5) é irracional. Infelizmente, uma extensa pesquisa (de computador) falhou; sabe-se, por exemplo, que se ξ 5 é um número algébrico de grau no máximo 25, os coeficientes de seu polinômio mínimo devem ser maiores que 10 383 ; portanto, não parece possível estender os resultados de Apéry a outros valores de ζ (2 n +1).

No entanto, muitos matemáticos que trabalham neste campo esperam avanços significativos no futuro próximo. De fato, resultados recentes de Wadim Zudilin (en) e Tanguy Rivoal mostram que um número infinito de números da forma ζ (2 n + 1) são irracionais, e mesmo que pelo menos um dos números ζ (5), ζ ( 7), ζ (9) e ζ (11) é. Eles usam formas lineares dos valores da função zeta e estimativas dessas formas para limitar a dimensão de um espaço vetorial gerado por esses valores. Esperanças de reduzir a lista de Zudilin a um único número não se concretizaram, mas esta abordagem ainda constitui uma linha ativa de pesquisa (foi sugerido que esta questão poderia ter aplicações práticas: essas constantes intervêm na física para descrever funções de correlação do modelo de Heisenberg ) .

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente de um artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Teorema de Apéry's " ( ver a lista de autores ) .

Consulte o Problema de Basel .
Esta é uma consequência do teorema de Lindemann .
(in) Winfried Kohnen (de) , " Conjecturas de transcendência sobre períodos de formas modulares e estruturas racionais são espaços de formas modulares " , Proc. Indian Acad. Sci. Matemática. Sci. , vol. 99, n o 3, 1989, p. 231-233 ( DOI 10.1007 / BF02864395 ).
Roger Apéry, " irracionalidade do ζ2 e ζ3 " Asterisk , Sociedade de Matemática da França , Vol. 61,1979, p. 11-13 ( ler online ).
Alfred van der Poorten (en) , “ Uma prova que Euler errou - prova de Apery [...] - Um relatório informal ”, Math. Intelligencer , vol. 1, n o 4,1979, p. 195-203 ( ler online ). Reimpressão , 2005, 16 p.
R. Apéry , " Interpolação de frações continuadas e irracionalidade de certas constantes ", Boletim da seção de ciências do CTHS III ,Mil novecentos e oitenta e um, p. 37-53.
(in) F. Beukers , " Uma nota sobre a irracionalidade de ζ (2) e ζ (3) " , Boi. London Math. Soc. , vol. 11, n o 3,1979, p. 268-272 ( DOI 10.1112 / blms / 11.3.268 ).
(em) Wadim Zudilin, " Uma prova elementar do teorema de Apery "2002( Bibcode 2002math ...... 2159Z , arXiv math / 0202159 ) .
(ru) Ю. В. Нестеренко, “ Некоторые замечания о ζ (3) ” , Матем. Заметки , vol. 59, n o 6,1996, p. 865-880 ( ler online ), tradução: (en) Yu. V. Nesterenko, " A Few Remarks on ζ (3) " , Matemática. Notas , vol. 59, n o 6,1996, p. 625-636 ( DOI 10.1007 / BF02307212 ).
(em) DH Bailey , J. Borwein N. Calkin, R. Girgensohn, Luke R. e V. Moll, Experimental Mathematics in Action , 2007; veja também o artigo Matemática Experimental .
(em) Jorn Steuding , Diophantine Analysis (Discrete Mathematics and its Applications) , Boca Raton, Chapman & Hall / CRC,2005.
T. Rivoal , “a função zeta de Riemann assume uma infinidade de valores irracionais de inteiros ímpares ”, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , i. Mathematics, vol. 331,2000, p. 267-270 ( DOI 10.1016 / S0764-4442 (00) 01624-4 , ler online ).
(em) W. Zudilin, " Um dos números ζ (5), ζ (7), ζ (9), ζ (11) é irracional " , Russ. Matemática. Surv. , vol. 56, n o 4,2001, p. 774-776.
Por exemplo, consulte (em) HE Boos, VE Korepin (em) , Y. Nishiyama, Mr. Shiroishi, " Quantum Correlations and Number Theory " , Journal of Physics A , vol. 35,2002, p. 4443-4452.

links externos

Stéphane Fischler , “ Irracionalidade dos valores zeta ”, Séminaire Bourbaki , t. 45, 2002-2003, p. 27-62 ( ler online )
(pt) Dirk Huylebrouck , “ Similaridades em provas de irracionalidade para $π, ln2, ζ (2)$ e $ζ (3)$ ” , Amer. Matemática. Mensalmente , vol. 108,2001, p. 222-231 ( ler online )( MAA Writing Award 2002)
(pt) Stephen D. Miller , " Uma maneira mais fácil de mostrar $ζ (3) \notin Q$ " ,1998