Em matemática , a teoria das peneiras é uma parte da teoria dos números que visa estimar, na ausência de uma contagem, o cardinal dos subconjuntos (possivelmente infinitos ) de ℕ que se aproxima da função indicadora do subconjunto considerado.
Essa técnica tem origem na peneira de Eratóstenes e, neste caso, o objetivo era estudar o conjunto dos números primos .
Um dos muitos resultados que devemos às peneiras foi descoberto por Viggo Brun em 1919. Ele mostrou que a soma dos inversos dos números primos gêmeos é finita, um resultado inesperado que deixa aberta a possibilidade de um número finito de números primos gêmeos.
Atualmente, as telas são consideradas um ramo muito promissor da teoria dos números.
Como as explicações da peneira de Eratóstenes são objeto de um artigo separado, não serão repetidas aqui. O método da peneira de Eratóstenes resulta em uma fórmula atribuída a Da Silva e James Joseph Sylvester, chamada de fórmula da peneira, mas provavelmente muito mais antiga de uma forma ou de outra. Está ligada, em particular, ao princípio da inclusão-exclusão e à fórmula de Poincaré , vista principalmente no quadro do conjunto ou na probabilidade, mas de uma forma um tanto vaga.
No conjunto {1, 2, ..., n}, sejam P1, P2, ..., Pm m relações tendo esses inteiros e W (r) o número de inteiros que satisfazem r relações Pi.
Então, o número de inteiros que não satisfazem nenhuma das relações Pi é dado pela fórmula
Vamos dar um exemplo:
O número de inteiros menores que n que não são divisíveis pelos m números a1, a2, ..., am , assumidos como primos entre eles dois por dois é igual a
onde [x] denota a parte inteira de x.
Tradicionalmente, denotamos o número de números primos menor ou igual a . Usando um processo semelhante à fórmula da peneira (que, portanto, leva o nome de peneira Ératosthène- Legendre ), Legendre finalmente encontra a fórmula de Legendre (1808)
onde a soma é estendida a todos os divisores do produto , denotando os números primos menores ou iguais a . é a função Möbius . Vale a pena se for divisível pelo quadrado de um inteiro e se for escrito como o produto de números primos distintos.
Legendre deduziu de seu método este primeiro resultado, novo desde a Antiguidade, sobre a distribuição dos números primos.
mostrando isso
Portanto, a proporção de números primos tende para . Assim, encontramos essa impressão natural de que os números primos são cada vez mais raros à medida que avançamos na lista. Este teorema é denominado teorema da rarefação dos números primos .
A fórmula da peneira é generalizada em um processo sistemático denominado método da peneira e inaugurada por Viggo Brun, que assim demonstrou, contra todas as expectativas, o teorema de Brun (1919, "A série de inversos de números primos gêmeos é convergente.")
Desde então, o método da peneira Brun (en) foi aprimorado ( peneira Selberg (en) , entre outras).