Teorema de Ascoli

Na análise funcional , o teorema de Ascoli , ou teorema de Arzelà-Ascoli , demonstrado pelos matemáticos italianos Giulio Ascoli e Cesare Arzelà , caracteriza , usando a noção de equicontinuidade , as partes relativamente compactas do espaço de funções contínuas de um espaço compacto em um espaço métrico . Pode ser generalizado sem dificuldade no caso em que o espaço inicial é apenas localmente compacto .

Este teorema é conhecido por seu número considerável de aplicações ( completude de certos espaços funcionais , compactação de certos operadores , dependência de condições iniciais em equações diferenciais ...).

Estados

Em um espaço vetorial normalizado real de dimensão finita , as partes compactas são exatamente as partes fechadas e limitadas . Em um espaço vetorial topológico separado , as partes relativamente compactas permanecem limitadas , mas o inverso geralmente é falso . O teorema de Ascoli trata do caso do espaço de funções contínuas:

Seja K um espaço compacto e ( E , d ) um espaço métrico. O espaço C ( K , E ) de funções contínuas de K a E , dotado de distância uniforme , é um espaço métrico.

Uma parte A de C ( K , E ) é relativamente compacta (ou seja, incluída em um compacto) se e somente se, para qualquer ponto x de K :

A é equicontínuo em x , ou seja, para todo ε> 0, existe uma vizinhança V de x tal que

{\ displaystyle \ forall f \ in A \ quad \ forall y \ in V \ quad d (f (x), f (y)) <\ varejpsilon ~;}

o conjunto A ( x ) = { f ( x ) | f ∈ A } é relativamente compacto.

Observações

Um exemplo de conjunto equicontínuo é um conjunto de r - funções Lipschitzianas .
Uma formulação equivalente do teorema é: A é compacto se e somente se for fechado e equicontínuo e todos os A ( x ) forem relativamente compactos.
Existem muitas variações do teorema de Ascoli, como aquela que dá uma condição necessária e suficiente para uma família de funções de um espaço gerado compactamente separado em um espaço uniforme ser compacta para a topologia aberta-compacta .

Demonstração

O teorema de Ascoli estabelece uma equivalência. As duas implicações são demonstradas separadamente. As notações são as da declaração acima.

Condição exigida

Suponha Um é incluído em um compacto B C ( K , E ) e fixar um elemento x de K .

Para mostrar que A ( x ) é relativamente compacto em E , basta notar que está incluído em B ( x ) que é compacto, como uma imagem de B compacto pela aplicação contínua de C ( K , E ) em E que a f associados de f ( x ) (na verdade, a união de um ( x ) é relativamente compacto em si, por continuidade do mapa que para o par ( f , x ) associados de f ( x )).

Vamos agora mostrar a equicontinuidade de B no ponto x (que acarretará a de A ). Seja ε um real estritamente positivo.

Por pré-compacidade de B , existe um número finito de elementos f 0 , ..., f p em B tal que qualquer função f em B está a uma distância no máximo ε de um de f j .

Por continuidade em x de f 0 , ..., f p , existe uma vizinhança V de x tal que

{\ displaystyle \ forall j \ leq p, \ forall y \ in V, d (f_ {j} (x), f_ {j} (y)) <\ varepsilon}

Para qualquer função f em B e qualquer ponto y em V , a desigualdade triangular fornece:

{\ displaystyle d (f (x), f (y)) \ leq d (f (x), f_ {j} (x)) + d (f_ {j} (x), f_ {j} (y) ) + d (f_ {j} (y), f (y)) <\ varepsilon + \ varejpsilon + \ varejpsilon = 3 \ varejpsilon,}

daí o equicontinuidade de B .

Condição suficiente

O inverso é o significado usado com mais frequência e requer mais atenção. Queremos mostrar que uma parte equicontínua A de C ( K , E ) tal que A ( x ) está incluída em um compacto B ( x ) para todo x , está incluída em um compacto de C ( K , E ).

Denote por C a adesão de A no espaço E K dos mapas de K em E dotados da topologia de convergência simples (em outras palavras, E K é dotado da topologia do produto ). De acordo com as propriedades de equicontinuidade , C ainda é equicontínuo, e as duas topologias em C induzidas por sua inclusão em C ( K , E ) e em E K coincidem. Então, só para provar que C é um E K compacto .

Vamos apresentar o subespaço de E K

{\ displaystyle D = \ prod _ {x \ in K} B (x).}

De acordo com o teorema de Tychonov , D é compacto, ou C é um fechado de D , o que conclui.

Condição suficiente, segunda prova

Uma alternativa ao uso do teorema de Tychonov é provar elementarmente que a adesão B de A a C ( K , E ) é pré - compacta e completa (portanto compacta), como segue.

Vamos primeiro mostrar que A é pré-compactado (portanto, B também). Seja ε> 0, mostre que A é coberto por uma família finita de conjuntos C j de diâmetros aumentados por 4ε. Para qualquer elemento x de K , existe (por equicontinuidade de A ) uma vizinhança aberta O x de x tal que

{\ displaystyle \ forall y \ in O_ {x}, \ forall f \ in A, d (f (y), f (x)) <\ varepsilon.}

Para compacidade de K , então existe um subconjunto finito { x 1 , ..., x n } de K como a aberto correspondente S 1 , ..., S n sobreposição K .

Deixe que : G é relativamente compacto em E para que haja um subconjunto finito J de E de tal modo que a bolas B ( j , ε) quando j poligonais J sobreposição L . ${\ displaystyle \ scriptstyle L = A (x_ {1}) \ cup \ ldots \ cup A (x_ {n})}$

Por fim, notemos, para todos , o conjunto (de diâmetro aumentado em 4ε) ${\ displaystyle \ scriptstyle j = (j_ {1}, \ ldots, j_ {n}) \ in J ^ {n}}$

{\ displaystyle C_ {j} = \ {f \ in C (K, E) \ | \ \ forall i = 1, \ ldots, n, \ forall y \ in O_ {i}, d (f (y), j_ {i}) <2 \ varepsilon \}.}

Mantém-se a provar que C j tampa Uma . Seja f um elemento de A ; uma vez que cada f ( x i ) pertence a L , ele pertence a uma bola de raio ε centrada em um determinado elemento j i de J , o que implica

{\ displaystyle \ forall y \ in O_ {i}, d (f (y), j_ {i}) \ leq d (f (y), f (x_ {i})) + d (f (x_ {i }), j_ {i}) <2 \ varepsilon,}

de modo que f pertence a C j .

A seguir, vamos mostrar que B está completo. Basta provar que qualquer sequência de Cauchy de elementos f n de A converge em C ( K , E ). Para qualquer ponto x de K , a sequência ( f n ( x )) é Cauchy e tem valores em A ( x ), cuja adesão em E é compacta e portanto completa, portanto esta sequência admite em E um limite, f ( x ). Por equicontinuidade , a convergência simples de ( f n ) af é uniforme sobre o K compacto .

Operadores centrais

Notas e referências

(em) John L. Kelley , Topologia Geral , Springer ,1991, 298 p. ( ISBN 978-0-387-90125-1 , leitura online ) , p. 234.
Georges Skandalis , topologia e análise 3 rd ano , Dunod , coll. “Sciences Sup”, 2004 ( ISBN 978-2-10048886-5 ) .

Claude Wagschal , Topologia e análise funcional , Hermann , col. " Métodos ",1995( ISBN 978-2-7056-6243-1 )