Parte relativamente compacta
Em matemática , uma parte relativamente compacta de um espaço topológico X é um subconjunto Y de X incluído em uma parte compacta de X (para a topologia induzida ). Lembre-se de que, na literatura francesa, um compacto é considerado separado . Se X for separado, então parte de X é relativamente compacta (se e) somente se sua adesão for compacta.
Demonstração: Assumimos que X é separado. Deixe- K ser um subconjunto compacto de X de tal forma que Y ⊆ K . Cada parte compacta de um espaço separado é fechada (é um corolário do lema do tubo ), então K é um X fechado .
A adesão de Y é denotado por Y . Temos Y ⊆ Y e - uma vez que K é fechado - Y ⊆ K . No entanto, qualquer parte fechada de um compacto é compacta , portanto, Y é compacta.
: Imediato (e ainda verdadeiro se X não estiver separado).
Num espaço metrizáveis X , parte Y é relativamente compacto e se apenas se todas resultado em Y tem uma subsequência que converge em X .
Uma parte de um espaço métrico completo é relativamente compacta se, e somente se, for pré - compacta .
Em particular em ℝ n , as partes relativamente compactas são as partes limitadas .
Notas e referências
- N. Bourbaki , Elementos da matemática, livro III: Topologia Geral [ detalhe de edições ], p. I.62 no Google Livros .
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