Espaço razoavelmente compacto

Em matemática , um espaço contável compacto é um espaço topológico do qual qualquer sobreposição por uma família contável de aberturas tem uma cobertura finita. A noção de compactação contável mantém ligações estreitas com aquelas de quase compactação e compactação e aquela de compactação sequencial . Para um espaço metrizável , esses quatro conceitos são equivalentes.

Três definições equivalentes

Seja X um espaço topológico (não deve ser separado ). Se uma das três propriedades a seguir for verdadeira, então todas as três são verdadeiras e X é considerado compactamente contável:

1. qualquer sobreposição contável de X por aberturas tem uma cobertura subterrânea finita (ou novamente: a interseção de qualquer sequência decrescente de fechado não vazio é não vazio);
2. em X , toda sequência tem pelo menos um valor de aderência  ;
3. cada parte infinita tem um ponto de acumulação .

Esta declaração usa duas definições auxiliares: um ponto x de X é:

• valor de aderência de uma sequência u se, para qualquer vizinhança V de x , existe uma infinidade de índices n tal que o termo u n pertence a V , ou seja, se x pertence à intersecção da sequência decrescente de fechado não vazio {vocêk∣k≥não}¯{\ displaystyle {\ overline {\ left \ {u_ {k} \ mid k \ geq n \ right \}}}} ;
• ponto de acumulação de uma porção Y dos X se cada vizinhança de x contém um número infinito de pontos Y .

Equivalência das três definições

• 1. ⇒ 2. é imediato.
• 2. ⇒ 1. porque para qualquer sequência decrescente ( F n ) de não vazios fechados, se alguém escolher um ponto u n em cada F n, então qualquer valor de aderência da sequência u pertence à interseção de F n .
• 2. ⇒ 3. porque qualquer valor de adesão de uma seqüência injetiva é ponto de acúmulo de sua imagem .
• 3. ⇒ 2.por contraposto porque se uma sequência não tem valor de aderência então o conjunto de seus valores é infinito (já que cada valor é tomado apenas um número finito de vezes) e não tem ponto de acumulação.

Link com quase compactação e compacidade

Um espaço X é dito:

• quase-compacto se qualquer cobertura de X por aberturas tem um undercovering finito (compacto se for quase compacto e separado);
• de Lindelöf se alguma cobertura de X por aberturas tiver uma cobertura contável.

Portanto, temos trivialmente , com a primeira das três definições equivalentes acima:

Um espaço é quase compacto se e somente se for Lindelöf e contavelmente compacto.

Quanto à segunda das três definições acima, ela se assemelha muito à seguinte caracterização de quase-compactação, com uma grande diferença: substituímos as sequências por sequências generalizadas  : X é quase-compacto se e somente se, em X , qualquer sequência generalizada tem pelo menos um valor de adesão.

Assim como a compactação , a compactação contável é preservada por subespaços fechados e imagens contínuas .

• Da preservação por subespaços fechados, deduzimos uma condição suficiente (e obviamente necessária se o espaço for separado) de convergência de uma sequência  :

Em um espaço contavelmente compacto, se o conjunto (não vazio) de valores de adesão de uma sequência for reduzido a um singleton { y }, então essa sequência converge para y .

Demonstração

Denotemos por F n a aderência do conjunto de termos com índices maiores que n desta seqüência. Por hipótese, a interseção desses fechados é reduzida a { y }, portanto, para qualquer O aberto contendo y , o F n \ O fechado forma uma sequência decrescente de interseção vazia. Um deles é, portanto, vazio, ou seja, O contém um F n e a fortiori , todos os termos da série de índices maiores que n .

• Da preservação por imagens contínuas, deduzimos uma propriedade dos compactos (que generaliza o teorema dos limites ), muitas vezes citada, mas não específica a eles: qualquer espaço contável compacto X é pseudo-compacto  (em) , ou seja, toda função contínua de X a ℝ é limitado . O inverso é verdadeiro para um espaço normal . Um espaço é compacto se e somente se for pseudo-compacto e se for um espaço-Hewitt Nachbin  (en) (ou, equivalentemente: uma potência fechada - possivelmente infinita - de ℝ).
  Espaços contáveis ​​compactos até satisfazem uma propriedade estritamente mais forte do que esta pseudo-compactação:

Se X for contavelmente compacto e se f : X → ℝ for superiormente semicontínuo , então f é limitado e atinge seu limite superior .

Ao contrário da quase compactação ( cf. teorema de Tykhonov ), a compactação contável não é preservada por produtos , mesmo acabada (a propriedade de ser de Lindelöf também). Além disso, uma parte contavelmente compacta ou Lindelöf de um espaço separado nem sempre é fechada, ao passo que uma parte compacta é.

Link com compactação sequencial

Diz-se que um espaço X é sequencialmente compacto se qualquer sequência em X tiver uma subsequência convergente .

É, portanto, claro, com a segunda das três definições equivalentes acima, que

Qualquer espaço sequencialmente compacto é contável e o inverso é verdadeiro para espaços com bases contáveis ​​de vizinhanças .

O inverso também é verdadeiro em outra hipótese:

Para qualquer separada (ou mesmo somente T 1 ) e o espaço sequencial , a compacidade sequencial é equivalente à compacidade contáveis.

Caixa metrizável

As seguintes equivalências fornecem, entre outras coisas, uma prova alternativa natural do teorema de Bolzano-Weierstrass  :

Para qualquer espaço metrizável,
compacto ⇔ quase-compacto ⇔ contável compacto ⇔ compacto sequencialmente. Demonstração

Seja X um espaço métrico (portanto separado e com bases contáveis ​​de vizinhanças). Do exposto, já sabemos que para X ,

compacto ⇔ quase compacto ⇒ contável compacto ⇔ sequencialmente compacto.

Portanto, resta apenas mostrar que se X é contável ("e" sequencialmente) compacto, então é Lindelöf (portanto quase-compacto), que resulta da seguinte sequência: qualquer métrica sequencialmente compacta é pré - compacta de maneira óbvia, portanto separável , portanto, de Lindelöf .

Espaços angelicais

Parte A de um espaço topológico X é dito ser relativamente compacto denumerably se cada sequência em Um tem um valor de aderência em X . (Em um espaço normal , a adesão de tal parte é contavelmente compacta, mas em um espaço Tychonoff nem sempre, como o exemplo do subespaço [0, ω 1 [ × [0, ω] da placa Tychonoff [0, ω] 1 ] × [0, ω].)

Um espaço separado é dito angélico se para a parte A relativamente denumerably compacto, a adesão de uma é compacto e reduzida para o fecho sequencial de um .

Os espaços metrizáveis ​​são, portanto, um primeiro exemplo de espaços angélicos. As seguintes propriedades mostram que os espaços vetoriais normalizados , dotados da topologia fraca , são outros (ver teorema de Eberlein-Šmuliano ):

• em qualquer espaço angélico, as partes contáveis ​​compactas, sequencialmente compactas e compactas são as mesmas, e as mesmas para as três noções relativas;
• todo subespaço de um angelical é angelical;
• em um espaço angélico, qualquer topologia regular mais refinada ainda é angélica;
• o espaço de funções contínuas de um espaço compacto em um espaço metrizável, dotado da topologia de convergência simples , é angelical.

Em particular, o compacto de Eberlein  (fr) , ou seja, as partes compactas de um espaço de Banach fracamente , são angelicais. Mais geralmente, qualquer compacto Corson é angelical.

A noção de espaço g também permite formular duas caracterizações de espaços angélicos:

• Um espaço separado é um espaço g se todas as suas partes relativamente compactas forem relativamente compactas .
• Um espaço separado é angélico se e somente se for um espaço g , do qual todos os compactos são de Fréchet-Urysohn .
• Os espaços angélicos são exatamente os espaços g "hereditários" (ou seja, qualquer subespaço do qual ainda é um espaço g ).

Contra-exemplos no caso geral

Em geral, temos apenas “quase-compacto ⇒ contavelmente compacto” e “sequencialmente compacto ⇒ contavelmente compacto”.

Os dois espaços separados a seguir fornecem contra-exemplos para as outras quatro implicações entre essas três noções:

• o ordinal ω 1 fornecido com a topologia da ordem é sequencialmente compacto, mas não compacto;
• inversamente, o produto de uma infinidade incontável de cópias do segmento [0, 1] é compacto, mas não sequencialmente compacto.

Espaço compacto de forma esparsa e contável

Há uma variante da terceira das definições de compactação contável, inferior em geral, mas equivalente assim que X for T 1  : X é fracamente contável compacto (ou "compacto por pontos limites" ou "Fréchet-compacto"), se houver a parte infinita Y de X admite um ponto limite , isto é, um ponto x de X cuja vizinhança encontra Y \ { x }.

Notas e referências

1. (em) Steven A. Gaal  (em) , Point Set Topology , Academic Press ,1964, 316  p. ( ISBN  978-0-08-087328-2 , leitura online ) , p.  128.
2. (em) Angelo Bella e Peter Nyikos , "  Sequential compactness vs. Countable Compactness  ” , Colloquium Mathematicum , vol.  120, n o  22010, p.  165-189 ( ler online ).
3. Gaal 1964 , p.  129, então diz que X possui a "propriedade de Bolzano-Weierstrass" .
4. Veja também Gaal 1964 , p.  128-129.
5. (ps) Raymond Mortini, Topologia , teorema 7.2 p. 32 (Mortini usa, como os falantes do inglês, a palavra “compacto” para designar nossos quase-compactos).
6. (en) Yao-Liang Yu , Various Noions of Compactness , University of Alberta ,2012( leia online ).
7. Cf. N. Bourbaki , Elementos de matemática, livro III: Topologia geral [ detalhe das edições ], p. IX.93, ex. 24, para espaços separados e contáveis ​​compactos, que ele chama de "semicompactos"
8. Gustave Choquet , Curso de Análise, Volume II: Topologia , p.  34-35e Hervé Queffélec , Topologia , Dunod,2007, 3 e  ed. , p.  70, demonstrado apenas no caso de espaços compactos e para uma sequência, mas com evocação da generalização natural para um filtro , sob esta hipótese mais forte de quase-compactação.
9. (em) Thomas W. Rishel , "  Products of contably compact spaces  " , Proc. Amargo. Matemática. Soc. , vol.  58,1976, p.  329-330 ( ler online ).
10. (em) SP Franklin , "  Spaces in Which Suffice Sequences  " , Fund. Matemática. , vol.  57,1965, p.  107-115 ( ler online ).
11. (em) "  espaços compactos sequencialmente, II  " na topologia do blog de Dan Ma .
12. (en) Ryszard Engelking , Topologia Geral , Heldermann  (de) ,1989.
13. (en) Jun-iti Nagata , Modern General Topology , Elsevier,1985, 3 e  ed. , 521  p. ( ISBN  978-0-08-093379-5 , leitura online ) , p.  187 (exercício 24).
14. (em) Anthony Goreham , "  sequencial convergência em espaços topológicos  " , Topologia Atlas Preprint , n o  547,2004( leia online ), Suporte. 3,2 p. 12, afirma (p. 3) não usar qualquer hipótese de separação, mas sua prova parece incompleta sem essa hipótese. Ele diz que é inspirado pelo Teorema 3.10.31 de Engelking 1989, mas de acordo com Bella e Nyikos 2010 , p.  2, os "espaços contáveis ​​compactos" de Engelking são, por definição, separados. A versão em língua inglesa do artigo "  compactação sequencial  " também não menciona esta hipótese, dando como referência o mesmo teorema de Engelking 1989, bem como a declaração sumária (em) P. Simon , "Fréchet and Sequential Spaces" , em KP Hart, J.-I. Nagata e JE Vaughan, Encyclopedia of General Topology , Elsevier,2003( ISBN  978-0-08053086-4 , leia online ). Este último efetivamente omite qualquer hipótese de separação.
15. (en) Montserrat Bruguera , Elena Martin-Peinador e Vaja Tarieladze , “  Eberlein-Smulian Teorema para grupos Abelian topológicos  ” , J. London Math. Soc. , vol.  70,2004, p.  341-355 ( ler online ).
16. (em) DH Fremlin , Teoria da Medida , vol.  4, Torres Fremlin,2000, 945  p. ( ISBN  978-0-9538129-4-3 , leitura online ) , cap.  46 (“Conjuntos compactos pontuais de funções mensuráveis”) , p.  21-22.
17. (em) AV Arhangelíski , "Eberlein Compacta ' em KP Hart J.-I. Nagata e JE Vaughan, Encyclopedia of General Topology , Elsevier,2003( ISBN  978-0-08053086-4 , leia online ).
18. (em) AV Arhangelíski , "Corson Compacta" na Enciclopédia de Topologia Geral ( leia online ).
19. (em) James Munkres , Topologia , Prentice Hall ,2000, 2 nd  ed. ( leia online ) , p.  178-179.

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