Teorema de Roth
Em matemática , o teorema de Roth , ou Thue - Siegel - teorema de Roth , é uma afirmação da teoria dos números , mais especificamente a respeito da aproximação Diofantina .
O resultado é o seguinte:
Para qualquer número algébrico irracional α e para qualquer ε> 0, a desigualdade das incógnitas q > 0 e p inteiros :
|α-pq|<1q2+ε{\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {q ^ {2+ \ varepsilon}}} \,}
tem apenas um número finito de soluções (este não é mais o caso para ε = 0, de acordo com o teorema de aproximação de Dirichlet ).
Ou novamente, sob as mesmas premissas: existe uma constante A > 0 (dependendo de α e ε) tal que
∀p∈Z,∀q∈NÃO∗|α-pq|≥NOq2+ε.{\ displaystyle \ forall p \ in \ mathbb {Z}, \ forall q \ in \ mathbb {N} ^ {*} \ quad \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | \ geq {\ frac {A} {q ^ {2+ \ varepsilon}}}.}
Isso significa que a medida de irracionalidade de um número algébrico irracional é igual a 2 e permite, por contraposição , mostrar a transcendência de certos números (porém, o número e , que é transcendente, escapa a este critério: sua medida d irracionalidade é igual a 2). Além disso, este teorema é uma generalização do teorema de Liouville, que historicamente foi o primeiro critério de transcendência conhecido.
Este resultado rendeu a Klaus Roth a Medalha Fields em 1958.
Notas e referências
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(em) Steven R. Finch , Mathematical Constants , UPC ,2003, 602 p. ( ISBN 978-0-521-81805-6 , leitura online ) , p. 171-172
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(en) Daniel Duverney , Teoria dos Números: Uma Fundamental Introdução Através Diophantine problemas , World Scientific , coll. "Monografias na teoria dos números" ( n o 4),2010, 335 p. ( ISBN 978-981-4307-46-8 , leitura online ) , p. 147
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(en) Yann Bugeaud , Approximation by Algebraic Numbers , CUP,2004, 292 p. ( ISBN 978-0-521-82329-6 , leitura online ) , p. 28
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(em) KF Roth , " Rational aproximations to algebraic numbers " , Mathematika , vol. 2, n o 1,1955, p. 1-20 ( DOI 10.1112 / S0025579300000644 )e "Corrigenda", p. 168, DOI : 10.1112 / S0025579300000826 .
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