Conjunto algébrico
Na geometria algébrica , um conjunto algébrico é o conjunto de soluções de um sistema de equações polinomiais com várias variáveis. Esses são os pontos de uma variedade algébrica afim ou projetiva . Eles servem como um suporte intuitivo para geometria algébrica.
Conjuntos algébricos afins
Nesta seção, denotará um campo algebraicamente fechado (por exemplo ℂ), um número inteiro maior ou igual a um. Consideramos o espaço afim de dimensão sobre , isto é, o conjunto (sem estrutura algébrica).
k{\ displaystyle k}não{\ displaystyle n}não{\ displaystyle n}k{\ displaystyle k}knão{\ displaystyle k ^ {n}}
Definição. Seja uma parte do anel de polinômios , chamamos um conjunto algébrico associado a S e denotamos o seguinte subconjunto :
S{\ displaystyle S} k[X1,...,Xnão]{\ displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}Z(S){\ displaystyle Z (S)}knão{\ displaystyle k ^ {n}}
Z(S)={(x1,...,xnão)∈knão∣∀f∈S, f(x1,...,xnão)=0}{\ displaystyle Z (S) = \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in k ^ {n} \ mid \ forall f \ in S, \ f (x_ {1}, \ ldots , x_ {n}) = 0 \}}
isto é, o local de cancelamento comum a todos os elementos de .
S{\ displaystyle S}
Exemplos :
- No plano afim , o locus de cancelamento de um polinômio com duas variáveis diferentes de zero é um conjunto algébrico afim denominado curva plana e o grau do polinômio é denominado grau da curva. As retas são os conjuntos algébricos de grau 1, as cônicas são de grau 2, as cúbicas são de grau 3 e assim por diante.k2{\ displaystyle k ^ {2}}
- No espaço afim, o locus de cancelamento de um polinômio de três variáveis diferente de zero é um conjunto algébrico afim que é uma superfície algébrica . Assim como para as curvas, definimos o grau de uma superfície, os planos sendo de grau 1, as quádricas de grau 2 etc.k3{\ displaystyle k ^ {3}}
- Em um espaço afim, qualquer conjunto finito de pontos é um conjunto algébrico afim.
Observações
- Se for o ideal de gerado por S, então . Em particular, como é Noetherian , é gerado por uma parte finita . Segue isso . Em outras palavras, um conjunto algébrico é sempre o locus de cancelamento comum aos elementos de um ideal e também o locus de cancelamento comum a um número finito de polinômios.eu{\ displaystyle I}k[X1,...,Xnão]{\ displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}Z(eu)=Z(S){\ displaystyle Z (I) = Z (S)}k[X1,...,Xnão]{\ displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}eu{\ displaystyle I}S′{\ displaystyle S '}Z(S)=Z(S′){\ displaystyle Z (S) = Z (S ')}
- Dado um conjunto algébrica , podemos voltar aos ideais de pedir I (E) igual ao conjunto de polinômios fuga em E . O ideal I (E) é então radial . Por exemplo, para k = ℂ, o algébrica todos os zeros X 'é reduzida para o ponto 0 e o ideal I (X ^ = 0) é igual ao seu radical, isto é, o ideal gerado por X . No entanto, o ideal gerado pelo polinomial x ²-radical não é porque ele não contém X .E=Z(eu)⊂knão{\ displaystyle E = Z (I) \ subset k ^ {n}}k[X1,...,Xnão]{\ displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}
- Os elementos do anel quociente são então identificados com as restrições a E de mapas polinomiais de a k . Eles são chamados de funções regulares do conjunto algébrica E . Pelo lema de normalização de Noether , funções regulares também são funções algébricas .k[X1,...,Xnão]/eu(E){\ displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / I (E)}knão{\ displaystyle k ^ {n}}
- Como k é algebricamente fechado, o teorema zero de Hilbert afirma que a função I é uma bijeção entre os conjuntos algébricos de e os ideais de raiz de . Mais precisamente, é o radical de J . Os pontos de um conjunto algébrico E correspondem aos ideais máximos de .knão{\ displaystyle k ^ {n}}k[X1,...,Xnão]{\ displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}eu(Z(J)){\ displaystyle I (Z (J))}k[X1,...,Xnão]/eu(E){\ displaystyle k [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / I (E)}
- Um conjunto algébrico E é considerado irredutível se I (E) for um ideal primo.
Propriedades :
-
Z({0})=knão{\ displaystyle Z (\ {0 \}) = k ^ {n}},
-
Z({1}){\ displaystyle Z (\ {1 \})} está vazia;
-
Z(eu)∪Z(J)=Z(eu∩J){\ displaystyle Z (I) \ cup Z (J) = Z (I \ cap J)};
- A interseção de uma família de conjuntos algébricos é igual a , onde é o ideal gerado por , ou seja, a soma de .Z(euλ){\ displaystyle Z (I _ {\ lambda})}Z(eu){\ displaystyle Z (I)}eu{\ displaystyle I}∪λeuλ{\ displaystyle \ cup _ {\ lambda} I _ {\ lambda}}euλ{\ displaystyle I _ {\ lambda}}
Conjuntos algébricos projetivos
A geometria algébrica projetiva é uma estrutura mais confortável do que a geometria afim. A projetividade é uma propriedade análoga à compactação topológica. O teorema Bézout só é verdadeiro para variedades projetivas.
Quadro, Armação. Nesta parte denotar o espaço projectiva de dimensão n mais de k , isto é, o conjunto , em que é a relação de equivalência (relação colinearidade) identificação de dois pontos x e y se e somente se X e Y estão na mesma linha do vetor. O espaço projetivo de dimensão n é, portanto, identificado com o conjunto de retas vetoriais de um espaço vetorial k de dimensão n +1. A classe de um ponto é anotada . O são as coordenadas homogêneas do ponto .
Pnão(k){\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (k)}knão+1∖{0}/R{\ displaystyle k ^ {n + 1} \ setminus \ {0 \} / R}R{\ displaystyle R}Pnão(k){\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (k)}(x0,...,xnão){\ displaystyle (x_ {0}, \ ldots, x_ {n})}(x0:...:xnão){\ displaystyle (x_ {0}: \ ldots: x_ {n})}xeu{\ displaystyle x_ {i}}(x0:...:xnão){\ displaystyle (x_ {0}: \ ldots: x_ {n})}
Definição. Seja S um conjunto de polinômios homogêneos do anel . Chamamos um conjunto algébrico (projetivo) associado a S , e denotamos por , o seguinte subconjunto de :
k[X0,...,Xnão]{\ displaystyle k [X_ {0}, \ dots, X_ {n}]}Z+(S){\ displaystyle Z _ {+} (S)}Pnão(k){\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (k)}
Z+(S)={(x0:...:xnão)∈Pnão(k)∣∀f∈S, f(x0,...,xnão)=0}.{\ displaystyle Z _ {+} (S) = \ {(x_ {0}: \ ldots: x_ {n}) \ in \ mathbb {P} ^ {n} (k) \ mid \ forall f \ in S , \ f (x_ {0}, \ pontos, x_ {n}) = 0 \}.}
Note que o cancelamento do polinômio f em um ponto depende apenas da classe deste modulo a relação porque f é homogêneo. O todo está, portanto, bem definido . O índice + é usado para distinguir zeros homogêneos de zeros afins.
(x0,...,xnão)≠0{\ displaystyle (x_ {0}, \ ldots, x_ {n}) \ neq 0}(x0:...:xnão){\ displaystyle (x_ {0}: \ ldots: x_ {n})}R{\ displaystyle R}Z+(S){\ displaystyle Z _ {+} (S)}
Se I é um ideal homogênea de , há tudo associado com o conjunto de polinômios homogêneos de I .
k[X0,...,Xnão]{\ displaystyle k [X_ {0}, \ dots, X_ {n}]}Z+(eu){\ displaystyle Z _ {+} (I)}Z+{\ displaystyle Z _ {+}}
Exemplo Seja um polinômio homogêneo de duas variáveis diferente de zero de grau d . O conjunto algébrico projetivo do plano projetivo é denominado curva projetiva plana , de grau d . O polinômio (onde é um inteiro natural) define uma curva projetiva plana cujos pontos são as soluções homogêneas de uma equação de Fermat.
F(X0,X1,X2){\ displaystyle F (X_ {0}, X_ {1}, X_ {2})}Z+(F){\ displaystyle Z _ {+} (F)}P2(k){\ displaystyle P ^ {2} (k)}X0não+X1não-X2não{\ displaystyle X_ {0} ^ {n} + X_ {1} ^ {n} -X_ {2} ^ {n}}não{\ displaystyle n}
Observação.
- Se I é o ideal (homogénea) de gerada por S , em seguida . Visto que I é gerado por um número finito de polinômios homogêneos, um conjunto algébrico projetivo pode sempre ser definido por um número finito de polinômios homogêneos.k[X0,...,Xnão]{\ displaystyle k [X_ {0}, \ dots, X_ {n}]}Z+(eu)=Z+(S){\ displaystyle Z _ {+} (I) = Z _ {+} (S)}
- Como no caso de conjuntos algébricos afins, existe um teorema zero de Hilbert projetivo que estabelece uma correspondência um-para-um entre conjuntos algébricos projetivos em e ideais radiais homogêneos distintos do ideal gerado por . Um ponto do espaço projetivo corresponde a um ideal primo homogêneo, máximo entre aqueles estritamente contidos em . Com um ponto de coordenadas homogêneas , associamos o ideal gerado pelo , para i e j variando entre 0 e n .Pnão(k){\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (k)}(X0,...,Xnão){\ displaystyle (X_ {0}, \ dots, X_ {n})}X0,...,Xnão{\ displaystyle X_ {0}, \ ldots, X_ {n}}(X0,...,Xnão){\ displaystyle (X_ {0}, \ dots, X_ {n})}(x0:⋯:xnão){\ displaystyle (x_ {0}: \ dots: x_ {n})}xeuXj-xjXeu{\ displaystyle x_ {i} X_ {j} -x_ {j} X_ {i}}
Propriedades :
-
Z+({0})=Pnão(k){\ displaystyle Z _ {+} (\ {0 \}) = \ mathbb {P} ^ {n} (k)},
-
Z+({1}){\ displaystyle Z _ {+} (\ {1 \})} está vazia;
-
Z+(eu)∪Z+(J)=Z+(eu∩J){\ displaystyle Z _ {+} (I) \ cup Z _ {+} (J) = Z _ {+} (I \ cap J)};
- A interseção de uma família de conjuntos algébricos projetivos é igual a , onde é a soma dos ideais (ainda é homogênea).Z+(euλ){\ displaystyle Z _ {+} (I _ {\ lambda})}Z+(eu){\ displaystyle Z _ {+} (I)}eu{\ displaystyle I}euλ{\ displaystyle I _ {\ lambda}}
Topologia de Zariski
O espaço afim k n (resp. Projetivo ) é dotado de uma chamada topologia de Zariski. As partes fechadas para esta topologia são os conjuntos algébricos em k n (resp. Conjuntos algébricos projetivos em ).
Pnão(k){\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (k)}Pnão(k){\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (k)}
Exemplo : a topologia Zariski da linha afim k é a topologia co-finita .
A topologia de Zariski em um conjunto algébrico (resp. Conjunto algébrico projetivo) é, por definição, a topologia induzida por aquela do espaço afim (resp. Projetivo) que o contém. A topologia de Zariski no caso afim é análoga à topologia de Zariski no espectro principal de um anel .
As partes abertas notáveis do espaço afim (resp. Projetivo) são as partes abertas principais (resp. ), Isto é, o complemento de (resp. ). A restrição de uma abertura principal a um conjunto algébrico é chamada de abertura principal do conjunto algébrico. As principais aberturas formam a base da topologia .
D(f){\ displaystyle D (f)}D+(f){\ displaystyle D _ {+} (f)}Z({f}){\ displaystyle Z (\ {f \})}Z+({f}){\ displaystyle Z _ {+} (\ {f \})}
Um subconjunto aberto de um conjunto algébrico afim (resp. Projetivo) é chamado quase-afim (resp. Quase-projetivo ).
O espaço afim é quase projetivo porque é identificado com a abertura de pelo aplicativo . Verificamos que este mapa induz um homeomorfismo do espaço afim em sua imagem. Segue-se que qualquer conjunto algébrico quase afim é quase projetivo.
knão{\ displaystyle k ^ {n}}Pnão(k)∖Z+(X0){\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (k) \ setminus Z _ {+} (X_ {0})}Pnão(k){\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (k)}(x1,...,xnão)→(1:x1:...:xnão){\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ to (1: x_ {1}: \ ldots: x_ {n})}
A topologia de Zariski é aparentemente muito pobre (poucas aberturas, dois pontos geralmente não são separados por bairros abertos separados), mas é suficiente para muitos propósitos.
Relações entre conjuntos algébricos afins e conjuntos algébricos projetivos : Um conjunto algébrico projetivo Z é uma união finita de aberturas (para sua topologia Zariski) que são conjuntos algébricos afins. Na verdade, Z é definido pelo cancelamento de polinômios homogêneos com variáveis n +1. Vamos denotar o conjunto de tais que é diferente de zero. Então está aberto em ; a capa ; resta ver que é um conjunto algébrico afim. Se , e se é o conjunto de polinômios quando os polinômios homogêneos são percorridos em , então podemos facilmente ver que é o conjunto algébrica no .
Zeu{\ displaystyle Z_ {i}}(x0:...:xnão)∈Z{\ displaystyle (x_ {0}: ...: x_ {n}) \ in Z}xeu{\ displaystyle x_ {i}}Zeu=Z∖(Z∩Z+(xeu)){\ displaystyle Z_ {i} = Z \ setminus (Z \ cap Z _ {+} (x_ {i}))}Z{\ displaystyle Z}Zeu{\ displaystyle Z_ {i}}Z{\ displaystyle Z}Zeu{\ displaystyle Z_ {i}}Z=Z+(S){\ displaystyle Z = Z _ {+} (S)}Seu{\ displaystyle S_ {i}}F(x0,...,xeu-1,1,xeu+1,...,xnão){\ displaystyle F (x_ {0}, ..., x_ {i-1}, 1, x_ {i + 1}, ..., x_ {n})}F{\ displaystyle F}S{\ displaystyle S}Zeu{\ displaystyle Z_ {i}}Z(Seu){\ displaystyle Z (S_ {i})}knão{\ displaystyle k ^ {n}}
Caso de qualquer corpo básico
Se o campo base k não for algébricamente fechado, um conjunto algébrico sobre k é um conjunto algébrico em um fechamento algébrico k de k , definido por polinômios com coeficientes em k . Por exemplo, o conjunto de pares (a, b) ∊ ℚ 2 tal que a 2 + b 3 –1 = 0 é um conjunto algébrico sobre ℚ. Por outro lado, a relação a 2 + b 3 - √ 2 = 0 não define, como é, um conjunto algébrico em ℚ.
Notas e referências
-
(em) "Affine algebraic set" in Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leia online )
Artigo relacionado
Curva algébrica real plana
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