Tubo (matemática)

Em geometria , um tubo é uma superfície orientada e parametrizada de cilindros e toros generalizados . Seja c uma curva no espaço e . O tubo de raio r em torno de c é a superfície varrida por um círculo de raio r desenhado no plano normal a c . A rigor, um tubo não é uma superfície submersa. A parametrização definida abaixo é um embedding apenas para pequenos valores de r . $\ mathbb {R} ^ {3}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ $r> 0$

Contexto

Suponha que o arco c não tenha ponto de inflexão e seja parametrizado pela abscissa curvilínea . O plano normal é o plano vetorial ortogonal ao vetor de velocidade , ou seja, o plano vetorial gerado por: $c (s)$ ${\ displaystyle \ tau = c '}$

a unidade normal , o vetor unitário único positivamente colinear com , ${\ displaystyle \ nu (s)}$ ${\ displaystyle \ tau '(s)}$
e o binormal . ${\ displaystyle b (s) = \ tau (s) \ wedge \ nu (s)}$

O círculo euclidiano de raio r com centro desenhado no plano normal é simplesmente parametrizado por: $c (s)$

{\ displaystyle u \ mapsto c (s) + r \ cos u \ nu (s) + r \ sin ub (s)}

Variando s , obtemos uma parametrização do tubo de raio r em torno de c :

{\ displaystyle X (u, s) = u \ mapsto c (s) + r \ cos u \ nu (s) + r \ sin ub (s)}

Se a curva c tem um raio de curvatura constantemente menor que r , a parametrização obtida é regular. É até uma incorporação .

Exemplos

Não podemos deixar de citar os dois exemplos básicos a seguir:

Se c é a parametrização de uma linha afim , id é, com V um vetor unitário de , então o tubo de raio r em torno de c é o cilindro de raio re eixo de simetria à linha . Infelizmente, neste exemplo, a aceleração é zero e a configuração acima é inválida. ${\ displaystyle c (s) = sV + c (0)}$ $R ^ {3}$ ${\ displaystyle c (\ mathbb {R})}$
Se c é a parametrização de um círculo de raio , id é onde V e W são vetores unitários ortogonais, o cilindro de raio r em torno de c é um toro , de eixo de simetria rotacional . As configurações são as seguintes: ${\ displaystyle R> r}$ ${\ displaystyle c (s) = P + R \ cos sV + R \ sin sW}$ ${\ displaystyle P + R \ cdot V \ wedge W}$

{\ displaystyle X (s, v) = P + (R \ cos sr \ cos v \ sin s) V + (R \ sin s + r \ cos v \ cos s) W + r \ sin vV \ wedge W}

Outro exemplo é o do helicoide circulado .

A noção de tubo não deve ser considerada uma figura matemática abstrata. É apenas a representação parametrizada idealizada de muitos objetos reais, como tubos fluorescentes, pneus ou a cobra. Ao calcular a vazão através de uma superfície, em hidráulica, falamos de um " tubo de corrente ". "

Propriedades métricas

As propriedades métricas dos tubos são resumidas na seguinte tabela:

Propriedade métrica	Resultado
Primeira forma fundamental	${\ displaystyle \ mathrm {d} X ^ {2} = \ left [C ^ {2} + r ^ {2} \ theta ^ {2} \ right] \ mathrm {d} s ^ {2} + 2r ^ {2} \ theta \ mathrm {d} s \ cdot \ mathrm {d} v + r ^ {2} \ mathrm {d} v ^ {2}}$
Formulário de área	${\ displaystyle \ omega = rC \ mathrm {d} s \ wedge \ mathrm {d} v}$
Segunda forma fundamental	${\ displaystyle \ left [- \ kappa \ cos vC + r \ theta ^ {2} \ right] \ mathrm {d} s ^ {2} + r \ theta \ mathrm {d} s \ cdot \ mathrm {d} v + r \ mathrm {d} v ^ {2}}$
Curvas principais	${\ displaystyle - {\ frac {\ kappa} {C}} \ cos (v)}$ e $\ frac {1} {r}$

Detalhes de cálculo

A curva c é considerada parametrizada pelo comprimento do arco. Para abordar as questões métricas de tubos, é importante lembrar as leis de derivação em frames Frenet :

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ tau '\\\ nu' \\ b '\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & \ kappa & 0 \\ - \ kappa & 0 & - \ theta \\ 0 & \ theta & 0 \ end {pmatriz}} {\ begin {pmatrix} \ tau \\\ nu \\ b \ end {pmatrix}}}

onde está a curvatura e está a torção . Essas leis derivadas intervêm diretamente no cálculo das primeiras derivadas de em comparação com os parâmetros s e v , necessários para expressar a primeira forma fundamental : $\ kappa$ $\ theta$ ${\ displaystyle X (s, v)}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial X} {\ partial s}} = (1-r \ kappa \ cos v) \ tau (s) -r \ theta \ sin v \ nu (s) + r \ theta \ cos vb (s)}

;

{\ displaystyle {\ frac {\ partial X} {\ partial v}} = - r \ sin v \ nu (s) + r \ cos vb (s)}

Então perguntamos:

{\ displaystyle C (s, v) = 1-r \ kappa (s) \ cos v}

Supomos que essa quantidade seja estritamente positiva (é a condição para X ser um encaixe ). A primeira forma fundamental é escrita:

{\ displaystyle \ mathrm {d} X ^ {2} = {\ left \ | {\ frac {\ partial X} {\ partial s}} \ right \ |} ^ {2} \ mathrm {d} s ^ { 2} +2 \ left \ langle {\ frac {\ partial X} {\ partial s}} {\ Bigg |} {\ frac {\ partial X} {\ partial v}} \ right \ rangle \ mathrm {d} s \ cdot \ mathrm {d} v + {\ left \ | {\ frac {\ partial X} {\ partial v}} \ right \ |} ^ {2} \ mathrm {d} v ^ {2} = \ esquerda [C ^ {2} + r ^ {2} \ theta ^ {2} \ direita] \ mathrm {d} s ^ {2} + 2r ^ {2} \ theta \ mathrm {d} s \ cdot \ mathrm {d} v + r ^ {2} \ mathrm {d} v ^ {2}}

A forma de volume na superfície X está escrita:

{\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ left [C ^ {2} + r ^ {2} \ theta ^ {2} \ right] \ cdot r ^ {2} - \ left [r ^ {2} \ theta \ right] ^ {2}}} \ mathrm {d} s \ wedge \ mathrm {d} v = rC \ mathrm {d} s \ wedge \ mathrm {d} v}

Como resultado, a área A da superfície é deduzida por integração : ${\ displaystyle \ {X (s, v) \} _ {v \ in S ^ {1}, s \ in [0, L]}}$

{\ displaystyle A = \ int _ {0} ^ {L} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} r (1-r \ kappa (s) \ cos v) \ mathrm {d} v \ mathrm { d} s = 2 \ pi rL}

O cálculo da segunda forma fundamental requer conhecimento do vetor unitário normal e das segundas derivadas parciais de X ( s , v ) com respeito a s e v :

{\ displaystyle \ Gamma (s, v) = - \ cos v \ nu (s) - \ sin vb (s)}

;

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} X} {\ partial v ^ {2}}} = - r \ cos v \ nu (s) -r \ sin vb (s)}

;

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} X} {\ partial s \ partial v}} = r \ kappa (s) \ sin v \ tau (s) -r \ theta (s) \ cos v \ nu (s) -r \ theta (s) \ sin (v) b (s)}

;

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} {\ frac {\ partial ^ {2} X} {\ partial u ^ {2}}} & = r \ left [\ kappa (s) \ theta (s) \ sin v - \ kappa '(s) \ cos v \ right] \ tau (s) \\ & + \ left [\ kappa (s) C (s, v) -r \ theta' (s) \ sin vr \ theta ( s) ^ {2} \ cos (v) \ right] \ nu (s) + r \ left [\ theta '(s) \ cos v- \ theta (s) ^ {2} \ sin v \ right] b (s) \ end {alinhado}}}

A segunda forma fundamental de X é, portanto, escrita:

{\ displaystyle \ left [- \ kappa (s) \ cos vC (s, v) + r \ theta (s) ^ {2} \ right] \ mathrm {d} s ^ {2} + r \ theta (s ) \ mathrm {d} s \ cdot \ mathrm {d} v + r \ mathrm {d} v ^ {2}}

As principais curvaturas são os autovalores do endomorfismo simétrico :

{\ displaystyle S (s, v) = {\ begin {pmatrix} C (s, v) ^ {2} + r ^ {2} \ theta (s, v) ^ {2} & r ^ {2} \ theta (s, v) \\ r ^ {2} \ theta (s, v) & r ^ {2} \ end {pmatrix}} ^ {- 1} {\ begin {pmatrix} - \ kappa (s) C (s, v) \ cos v + r \ theta ^ {2} & r \ theta (s) \\ r \ theta (s) & r \ end {pmatriz}} = {\ begin {pmatriz} {\ frac { - \ kappa (s) \ cos v} {C (s, v)}} & 0 \\ {\ frac {\ theta (s) \ kappa (s)} {C (s, v)}} \ cos vr & 1 / r \ end {pmatrix}}}

São, portanto:

{\ displaystyle - {\ frac {\ kappa (s)} {C (s, v)}} \ cos v}

{\ displaystyle {\ frac {1} {r}}}

Notas

Ver, por exemplo François Rothen, Física geral: a física das ciências naturais e da vida , Lausanne / Paris, Pr. Politécnicas e universidades em Romandie,1999, 862 p. ( ISBN 2-88074-396-6 , leia online ) , "14. Informações gerais sobre mecânica dos fluidos", p. 312