Velocidade da área
Velocidade da área
A segunda
das leis de Kepler é que a velocidade da área de um planeta em relação ao
Sol é constante.
A velocidade da área é uma quantidade que expressa o limite da razão do aumento infinitesimal de uma área varrida pelo raio vetorial de um objeto em movimento sobre um aumento infinitesimal no tempo. É a primeira derivada em relação ao tempo da área varrida pelo raio vetorial de um móvel. É a proporção desta área para o tempo usado. É definido por:
12ρ2dθdt=dNO(t)dt{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ rho ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} A (t)} {\ mathrm {d} t}}}
onde A é a área do setor varrido pelo raio vetorial ρ , θ sendo o ângulo percorrido, sendo a velocidade angular .
dθdt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}}}
Avaliação
A velocidade da área é comumente observada , o símbolo corresponde à letra latina A com um ponto acima .
NO˙{\ displaystyle {\ dot {A}}}
Explicação
A é a notação da superfície ou área. O ponto acima é usado para expressar que é a primeira derivada de
A com respeito ao tempo.
NO˙{\ displaystyle {\ dot {A}}}
Dimensão e unidade
A dimensão da velocidade da área é:
[NO˙]=eu2⋅T-1.{\ displaystyle [{\ dot {A}}] = \ mathrm {L ^ {2}} \ cdot {\ mathrm {T} ^ {- 1}}.}Explicação
[NO˙]=[NO][t]=eu2T1=eu2⋅T-1.{\ displaystyle [{\ dot {A}}] = {\ frac {[A]} {[t]}} = {\ frac {\ mathrm {L ^ {2}}} {\ mathrm {T ^ {1 }}}} = \ mathrm {L ^ {2}} \ cdot {\ mathrm {T} ^ {- 1}}.}
O metro quadrado por segundo , uma unidade derivada do Sistema Internacional (SI) , é sua unidade .
Expressões
A velocidade média da área é expressa por:
NO˙=ΔNOΔt.{\ displaystyle {\ dot {A}} = {\ frac {\ Delta {A}} {\ Delta {t}}}.}A velocidade da área instantânea é expressa por:
NO˙=limΔt→0ΔNOΔt=dNOdt=12r2dθdt=12r2θ˙.{\ displaystyle {\ dot {A}} = \ lim _ {\ Delta {t} \ rightarrow {0}} {\ frac {\ Delta {A}} {\ Delta {t}}} = {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {2}} {r ^ {2}} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d } t}} = {\ frac {1} {2}} {r ^ {2}} {\ ponto {\ theta}}.}A velocidade de área constante é expressa por:
NO˙=ΔNOΔt=dNOdt=VS2,{\ displaystyle {\ dot {A}} = {\ frac {\ Delta {A}} {\ Delta {t}}} = {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {C} {2}},}onde C é a constante de área :VS=r2θ˙.{\ displaystyle C = {r ^ {2}} {\ dot {\ theta}}.}
Demonstração geométrica
Considere uma trajetória plana.
No momento t 0 = 0 , o móvel está em M 0 . No tempo t , o móvel está em M .
Chamamos de A a área varrida pelo raio vetorial do tempo t 0 ao tempo t .
Após o tempo de t , o vector de raio tem varrido o sector OMM ' = d Uma .
As coordenadas do ponto M são, em coordenadas cartesianas, x e y , ou então, em coordenadas polares, ρ (para o raio) e θ (para o ângulo ).
Aqueles de M ' são, em coordenadas cartesianas, x + d x e y + d y , ou então, em coordenadas polares, ρ + d ρ e θ + d θ .
Avaliação de coordenadas polares
Avaliamos a área do setor OMM ' , que se funde com a área do triângulo OMM' .
OMM′=dNO=12⋅OM⋅OM′⋅pecado(MOM′^).{\ displaystyle OMM '= \ mathrm {d} A = {\ frac {1} {2}} \ cdot OM \ cdot OM' \ cdot \ sin ({\ widehat {MOM '}}).}quer dizer:
dNO=12ρ(ρ+dρ)pecado(dθ){\ displaystyle \ mathrm {d} A = {\ frac {1} {2}} \ rho (\ rho + \ mathrm {d} \ rho) \ sin (\ mathrm {d} \ theta)}.
Podemos desprezar o infinitamente pequeno d ρ na frente da quantidade finita ρ , e confundir o seno com o ângulo infinitamente pequeno d θ , porque tem um limite de 1.
pecado(dθ)dθ{\ displaystyle {\ frac {\ sin (\ mathrm {d} \ theta)} {\ mathrm {d} \ theta}}}
Assim, obtemos a área do triângulo infinitesimal OMM ' :
dNO=12ρ2dθ{\ displaystyle dA = {\ frac {1} {2}} \ rho ^ {2} \ mathrm {d} \ theta}.
E, portanto, a velocidade da área em coordenadas polares:
dNOdt=12ρ2dθdt{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {2}} \ rho ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} \ teta} {\ mathrm {d} t}}}.
Avaliação em coordenadas cartesianas
A área do triângulo infinitesimal OMM ' é dada pelo determinante :
dNO=12|xx+dx0yy+dy0001|=12(xdy-ydx){\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ mathrm {d} A & = {\ frac {1} {2}} {\ begin {vmatrix} x & x + \ mathrm {d} x & 0 \\ y & y + \ mathrm {d} y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {vmatrix}} = {\ frac {1} {2}} (x \ mathrm {d} yy \ mathrm {d} x) \ end {alinhado}}}Da qual derivamos a velocidade da área em coordenadas cartesianas:
dNOdt=12(xdydt-ydxdt){\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {2}} \ left (x {\ frac {\ mathrm {d} y} { \ mathrm {d} t}} - y {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right)}
Link com momento angular
Por definição, o momento angular é dado, para um móvel de massa m , por:
eu→O=mOM→∧v→{\ displaystyle {\ vec {L}} _ {O} = m \, {\ vec {OM}} \ wedge {\ vec {v}}}com a posição do corpo em movimento
e é a velocidade do corpo em movimento.
OM→=(xy0){\ displaystyle {\ begin {alinhado} {\ vec {OM}} & = \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \\ 0 \ end {matrix}} \ right) \ end {alinhado}}}
v→=(dxdtdydt0){\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ vec {v}} & = \ left ({\ begin {matrix} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \\ { \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} \\ 0 \ end {matriz}} \ direita) \ end {alinhado}}}
No entanto, de acordo com as propriedades do produto vetorial ∧ , o movimento estando no plano ,
(Ox→,Oy→){\ displaystyle \ left ({\ vec {Ox}}, {\ vec {Oy}} \ right)}
OM→∧v→=(xdydt-ydxdt)Oz→{\ displaystyle {\ vec {OM}} \ wedge {\ vec {v}} = \ left (x {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} - y {\ frac { \ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right) {\ vec {Oz}}}Portanto :
eu→O=2mdNOdtOz→{\ displaystyle {\ vec {L}} _ {O} = 2m {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {Oz}}}
dNOdtOz→=eu→O2m{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {Oz}} = {\ frac {{\ vec {L}} _ {O}} {2m} }}
O momento angular é, portanto, uma quantidade de movimento areolar, transferido para o eixo perpendicular ao plano de movimento.
Historicamente, esses dois conceitos foram desenvolvidos em paralelo pelos cientistas Patrice d'Arcy , Daniel Bernoulli , Leonhard Euler , seguindo observações semelhantes.
Analogia entre movimento translacional e movimento areolar
Suponha uma massa m , posicionada em ( x , y , 0) , atribuída a uma força cujas coordenadas são ( F x , F y , 0) . O princípio fundamental da dinâmica torna possível escrever:
md2xdt2=Fx{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = F_ {x}} (1)
md2ydt2=Fy{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = F_ {y}} (2)
A equação (1) multiplicada por x , depois subtraída da equação (2), ela mesma previamente multiplicada por y , permite obter:
m(xd2y-yd2xdt2)=xFy-yFx{\ displaystyle m \ left ({\ frac {x \, \ mathrm {d} ^ {2} yy \, \ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ direita) = x \, F_ {y} -y \, F_ {x}} (3)
Por um lado, na parte esquerda da equação, reconhecemos a segunda derivada da área digitalizada em relação ao tempo, ou seja, a aceleração areolar:
(xd2y-yd2xdt2)=2d2NOdt2{\ displaystyle \ left ({\ frac {x \, \ mathrm {d} ^ {2} yy \, \ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ direita) = 2 {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} A} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}.
Por outro lado, na parte certa da equação, reconhecemos o momento da força em relação à origem:
xFy-yFx=OM∧F=MF/O{\ displaystyle x \, F_ {y} -y \, F_ {x} = OM \ wedge F = {\ mathcal {M}} _ {F / O}}.
Portanto, essa equação (3) pode ser reescrita:
2md2NOdt2=MF/O{\ displaystyle 2m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} A} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = {\ mathcal {M}} _ {F / O}}Podemos notar também que, multiplicando a aceleração areolar pelo elemento de superfície d A , obtém-se o diferencial do quadrado da velocidade da área:
d(dNOdt)2=2dNOdtd2NOdt=2dNOd2NOdt2=2d2NOdt2dNO{\ displaystyle \ mathrm {d} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} = 2 {\ frac {\ mathrm {d} A } {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} A} {\ mathrm {d} t}} = 2 \ mathrm {d} A {\ frac {\ mathrm {d } ^ {2} A} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = 2 {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} A} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ mathrm {d} A}A partir daí, terminamos com uma forma diferencial de ordem 2, ligando o quadrado da velocidade da área e o momento da força:
m d(dNOdt)2=MF/OdNO{\ displaystyle m \ \ mathrm {d} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} = {\ mathcal {M}} _ { F / O} \, \ mathrm {d} A}Ou, observando :
C=dNOdt{\ displaystyle {\ mathcal {W}} = {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}}}
m dC2=MF/OdNO{\ displaystyle m \ \ mathrm {d} {\ mathcal {W}} ^ {2} = {\ mathcal {M}} _ {F / O} \, \ mathrm {d} A}Por comparação, em um movimento de translação unidimensional, o diferencial do quadrado da velocidade será escrito:
dv2=2 v dv=2dxdtd2xdt=2 dx d2xdt2=2Fxdx{\ displaystyle \ mathrm {d} v ^ {2} = 2 \ v \ \ mathrm {d} v = 2 {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} {\ frac { \ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t}} = 2 \ \ mathrm {d} x \ {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d } t ^ {2}}} = 2F_ {x} \ mathrm {d} x}Isso permite que para escrever o princípio fundamental da dinâmica como uma forma diferencial de ordem 1:
,
12dv2=Fxdx{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ mathrm {d} v ^ {2} = F_ {x} \ mathrm {d} x}
cuja forma é até um fator de 2 semelhante à fórmula encontrada no caso anterior:
mdC2=MF/OdNO{\ displaystyle m \, \ mathrm {d} {\ mathcal {W}} ^ {2} = {\ mathcal {M}} _ {F / O} \, \ mathrm {d} A}desde que se tome a velocidade areolar para a velocidade, o momento da força para a força, o elemento de superfície varrido para o deslocamento elementar.
Lei das áreas
Se a velocidade da área for constante, as áreas escaneadas são proporcionais ao tempo.
Seja C então uma constante. Se a velocidade da área for constante, temos:
ρ2dθdt=VS{\ displaystyle \ rho ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} = C}A derivada no tempo dá:
2ρdρdt⋅dθdt+ρ2d2θdt2=0{\ displaystyle 2 \ rho {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} + \ rho ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ theta} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = 0}Ou :
ρ(2dρdt⋅dθdt+ρd2θdt2)=0{\ displaystyle \ rho \ left (2 {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} + \ rho {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ theta} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ right) = 0}Agora, é o componente de aceleração perpendicular ao vetor do raio.
2dρdt⋅dθdt+ρd2θdt2{\ displaystyle 2 {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} + \ rho {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ theta} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}
Isso mostra que se a velocidade da área for constante, o componente da aceleração perpendicular ao vetor do raio é zero .
Exemplos
Móbile descrevendo uma elipse, cuja velocidade de área no centro da elipse é constante.
Em tal situação, a aceleração em direção ao centro (portanto a força) é proporcional à distância do centro da elipse. É uma lei do tipo Lei de Hooke .
Na verdade, a elipse tem como equação:
{x=noporque(ϕ)y=bpecado(ϕ){\ displaystyle {\ begin {cases} x = a \ cos (\ phi) \\ y = b \ sin (\ phi) \ end {cases}}}Em coordenadas retangulares, a derivação por tempo dá:
{dxdt=-nopecado(ϕ)dϕdtdydt=bporque(ϕ)dϕdt{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {dx} {dt}} = - a \ sin (\ phi) \, {\ frac {d \ phi} {dt}} \\ {\ frac {dy} {dt}} = b \ cos (\ phi) \, {\ frac {d \ phi} {dt}} \ end {casos}}}Então, a velocidade da área está escrita dNOdt=12(xdydt-ydxdt)=nobdϕdt=VS{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {2}} \ left (x {\ frac {\ mathrm {d} y} { \ mathrm {d} t}} - y {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right) = a \, b \, {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} t}} = \ mathrm {C}}
Deduzimos que a velocidade angular é constante:
dϕdt=VSnob=K{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {C}} {a \, b}} = \ mathrm {K}}de onde ϕ=Kt{\ displaystyle \ phi = \ mathrm {K} t}
E então a lei do movimento é:
{x=noporque(Kt)y=bpecado(Kt){\ displaystyle {\ begin {cases} x = a \ cos (\ mathrm {K} t) \\ y = b \ sin (\ mathrm {K} t) \ end {cases}}}Por outro lado, sabe-se que, sendo a velocidade da área constante, a componente da aceleração perpendicular ao raio do vetor é zero. Então temos
d2xdt2=Γnãoporque(ϕ)=Γnãoxρ{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = \ Gamma _ {n} \ cos (\ phi) = \ Gamma _ {n } {\ frac {x} {\ rho}}}.
Com as seguintes notações:
Γ n : aceleração no raio vetorial (apontando assim para o centro da elipse)
ϕ : ângulo entre o vetor do raio e o eixo
x
ρ : vetor raio, distância entre o móbile e o centro da elipse.
Isto dá :
-noK2porque(Kt)=Γnãonoporque(Kt)ρ{\ displaystyle -a \, \ mathrm {K} ^ {2} \ cos (\ mathrm {K} t) = \ Gamma _ {n} a {\ frac {\ cos (\ mathrm {K} t)} { \ rho}}}
de onde :
Γnão=-K2ρ{\ displaystyle \ Gamma _ {n} = - \ mathrm {K} ^ {2} \ rho}
Móbile descrevendo uma elipse, cuja velocidade areolar em um ponto focal da elipse é constante
Nesse caso, a aceleração no raio do vetor é proporcional ao inverso do quadrado da distância do ponto focal da elipse. É uma lei do tipo lei universal da gravitação . Veja também as leis de Kepler .
Link externo
- Definição de velocidade de área [1]
Referências
-
Jornal ,1823, 612 p. ( leia online ) , p. 163.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">