Velocidade cósmica

A velocidade cósmica é um conceito relativo no campo da astronáutica .

Em 1883, o cientista russo Constantin Tsiolkovsky apresentou em seu livro Espaço Livre os conceitos fundamentais para a construção de foguetes a jato como única forma de sair da gravidade da Terra .

Tsiolkovsky introduziu três velocidades mínimas teóricas chamadas de primeira , segunda e terceira velocidade cósmica, respectivamente .

Essas noções podem ser generalizadas para qualquer planeta do sistema solar .

Caso de terra

Primeira velocidade cósmica

A primeira velocidade cósmica representa a velocidade orbital mínima ao redor da Terra . Velocidade mínima que teoricamente deve ser comunicada a um corpo, partindo da Terra, para orbitar ao seu redor em órbita baixa. É determinado pela relação

{\ frac {v_ {1} ^ {2}} {R}} = {\ frac {G \, M _ {\ oplus}} {R ^ {2}}}

ou :

$R$ é o raio da órbita, assimilado ao raio terrestre (6.370 km , embora na realidade uma órbita escapa do atrito da atmosfera terrestre apenas se estiver a uma altitude superior a 200 km ),
${\ displaystyle M _ {\ oplus}}$ é a massa da Terra (aproximadamente 6 × 10 24 kg );
$G$ é a constante gravitacional (6,674 × 10 −11 m 3 / kg / s 2 )

Essa relação significa que a força gravitacional exercida pela Terra ( , sendo m a massa do corpo a orbitar) é exatamente compensada pela força centrífuga ( ) que é exercida sobre o corpo quando ele está em órbita circular. $G \, M _ {\ oplus} \, m / R ^ {2}$ $mv_ {1} ^ {2} / R$

A primeira velocidade cósmica vale, portanto,

v_ {1} = {\ sqrt {{\ frac {G \, M _ {\ oplus}} {D}}}}

Com D = R (Terra) + H (altitude acima do solo)

está ao redor

{\ displaystyle v_ {1} \ simeq 7 {,} 9 \; {\ rm {km \; s ^ {- 1} \ simeq 28 \, 500 \; {\ rm {km \; h ^ {- 1} }}}}}

. É, como indicado, uma velocidade que leva em conta insuficientemente a altitude real de órbita.

Segunda velocidade cósmica

A segunda velocidade cósmica corresponde à velocidade de liberação de um corpo que deixa a Terra. Esta é a velocidade mínima além da qual um corpo pode se afastar definitivamente da Terra, pelo menos enquanto negligenciarmos a presença do Sol e de nossa galáxia . É determinado, com as mesmas notações de antes, pela relação

{\ displaystyle {\ frac {v_ {2} ^ {2}} {2}} = {\ frac {G \, M _ {\ oplus}} {R}}}

obtida pela integração da energia cinética a ser adquirida pelo satélite para que, saindo da Terra, atinja uma órbita elevada (que pode ser no infinito). Essa equação, onde se compensa a soma da energia cinética e da energia potencial gravitacional, dá ao foguete uma energia total zero, condição necessária para que ele possa escapar da atração terrestre.

A segunda velocidade cósmica vale, portanto:

{\ displaystyle v_ {2} = {\ sqrt {\ frac {2 \, G \, M _ {\ oplus}} {R}}} = {\ sqrt {2}} \, v_ {1}}

está ao redor

{\ displaystyle v_ {2} \ simeq 11 {,} 2 \; {\ rm {km \; s ^ {- 1} \ simeq 40 \, 300 \; {\ rm {km \; h ^ {- 1} }}}}}

Observe que aqui não há ambigüidade na quantidade R , que corresponde ao raio terrestre, pois é a partir daí que o corpo é lançado. Isso, portanto, difere da primeira velocidade cósmica, onde a quantidade D poderia representar o raio de uma órbita baixa, ligeiramente maior (em cerca de 3%) do que o raio da Terra. Porém, sendo esta segunda velocidade obtida por integração (integral definida) a partir da órbita inicial, é possível obtê-la em dois tempos e a soma desses dois valores será sempre a mesma: veja abaixo o cálculo. Isso explica o fato de que, na prática, muitas vezes começamos orbitando em órbita baixa.

A velocidade de libertação aumenta com a compacidade da estrela apoio, ou seja, sua M / R proporção . Por exemplo, o de Júpiter é 59,5 km / s .

Terceira velocidade cósmica

A terceira velocidade cósmica é definida como a taxa de liberação de um corpo deixando o sistema solar da órbita terrestre.

Em um referencial heliocêntrico, essa velocidade é dada pela mesma relação que dá a segunda velocidade cósmica, substituindo a massa da Terra pela do Sol, e o raio da Terra pela distância média Terra-Sol:

v_ {3} ^ {\ prime} = {\ sqrt {{\ frac {2 \, G \, M _ {\ odot}} {a}}}}

com

$no$ a distância média Terra-Sol, ou uma unidade astronômica , cerca de 149,6 milhões de quilômetros;
${M _ {\ odot}}$ a massa do Sol é 1,989 1 × 10 30 kg .

Ou uma velocidade . ${\ displaystyle v_ {3} ^ {\ prime} \ simeq 42 {,} 1 \; {\ rm {km \; s ^ {- 1}}}}$

No entanto, deve ficar claro que este valor não corresponde à definição da terceira velocidade cósmica dada no início desta seção, pois está estabelecido:

em um quadro de referência heliocêntrico,
para um corpo inicialmente localizado a uma distância do Sol, $no$
na ausência da Terra, a gravidade devida a ela é ignorada no cálculo.

A consideração da gravidade terrestre leva a ter que buscar a velocidade de liberação no quadro do problema com três corpos restritos . Embora não haja solução analítica para este problema, é possível estabelecer uma expressão aproximada usando o método cônico justaposto .

A velocidade dada acima sendo expressa em um referencial heliocêntrico, torna-se um referencial geocêntrico com a velocidade média da Terra em relação ao sol. $v_ {3} ^ {\ prime}$ $v _ {{\ infty}} = v_ {3} ^ {\ prime} -v _ {\ oplus}$ ${\ displaystyle v _ {\ oplus} = {\ sqrt {\ frac {G \, M _ {\ odot}} {a}}} \ simeq 29 {,} 7 \; {\ rm {km \; s ^ {- 1}}}}$

No método das cônicas justapostas, é uma aproximação do excesso de velocidade do corpo ao deixar a esfera de influência da Terra em relação ao Sol. $v _ {{\ infty}}$

Ao injetar a fórmula de , essa velocidade geocêntrica torna-se: $v_ {3} ^ {\ prime}$ $v _ {{\ infty}}$

v _ {{\ infty}} = ({\ sqrt {2}} - 1) \, v _ {\ oplus}

Assumindo então que a energia potencial específica é zero na esfera de influência, a conservação da energia específica total no referencial geocêntrico é escrita:

{\ frac {v_ {3} ^ {2}} {2}} - {\ frac {G \, M _ {\ oplus}} {R}} = {\ frac {v _ {\ infty} ^ {2 }} {2}}

em que é a velocidade geocêntrica que é necessário comunicar ao corpo desde a superfície da Terra para atingir a velocidade sobre a esfera de influência da Terra. Como resultado: $v_ {3}$ $v _ {\ infty}$

v_ {3} = {\ sqrt {{\ frac {2 \, G \, M _ {\ oplus}} {R}} + ({\ sqrt {2}} - 1) ^ {2} \, {\ frac {GM _ {\ odot}} {a}}}}

ou novamente, reintroduzindo a segunda velocidade cósmica e a velocidade orbital da Terra : $v_ {2}$ $v _ {\ oplus}$

v_ {3} = {\ sqrt {v_ {2} ^ {2} + ({\ sqrt {2}} - 1) ^ {2} \, v _ {\ oplus} ^ {2}}}

O valor obtido é uma aproximação numérica da terceira velocidade cósmica, de acordo com a definição dada no início desta seção. ${\ displaystyle v_ {3} \ simeq 16 {,} 6 \; {\ rm {km \; s ^ {- 1}}}}$

Caso Geral

Fórmulas literais acima, dando , e são aplicáveis no contexto mais amplo de um planeta em um sistema solar. $v_ {1}$ $v_ {2}$ $v_ {3}$

Nesse caso :

$R$ é o raio da órbita, pelo menos igual ao raio do planeta, possivelmente aumentado pela espessura de sua atmosfera se quisermos escapar do atrito;
${\ displaystyle M _ {\ oplus}}$ é a massa do planeta de onde o projétil é lançado;
$no$ correspondendo à distância entre o planeta e seu sol;
${\ displaystyle M _ {\ odot}}$ é a massa do Sol em torno da qual gira o planeta de onde o projétil é lançado;
$G$ é a constante gravitacional , que se acredita manter o mesmo valor em todo o nosso universo.

Notas e referências

(em) Stanislaw Halas e Adrian Pacek, " Controvérsias sobre o valor da terceira velocidade cósmica " , Annales Universitatis Mariae Curie-Sklodowska , vol. LXVIII,2013, p. 13 ( ler online , consultado em 29 de dezembro de 2014 ).
Robert Guiziou, Curso de Mecânica Espacial: Viagens Interplanetárias e Encontro Espacial , vol. 3, Universidade do Mediterrâneo - Aix-Marseille II, col. “DESS Air & Espace”, 41 p. ( leia online ) , p. 12-19.