Equação diferencial homogênea

A expressão equação diferencial homogênea tem dois significados completamente distintos e independentes.

Equação diferencial de primeira ordem, homogênea de grau n

Uma equação diferencial de primeira ordem que não é necessariamente linear é considerada homogênea de grau n se puder ser escrita na forma

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = F (x, y)}

onde F é uma função homogênea de grau n , ou seja, satisfazendo

{\ displaystyle F (tx, ty) = t ^ {n} F (x, y) \,}

Em outras palavras (definindo h ( u ) = F (1, u )), é uma equação que é escrita

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = x ^ {n} h \ left ({\ frac {y} {x}} \ right)}

O caso n = 0

O caso mais estudado é aquele em que o grau de homogeneidade é 0, tanto que neste caso o grau nem sequer é citado. A resolução de tal equação é feita pela separação das variáveis : graças à substituição , a equação homogênea ${\ displaystyle u (x) = {\ frac {y (x)} {x}}}$

{\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = h \ left ({\ frac {y} {x}} \ right)}

se transforma em uma equação com variáveis separadas :

{\ displaystyle {\ frac {u '(x)} {h \ left (u (x) \ right) -u (x)}} = {\ frac {1} {x}}}

Equação diferencial linear homogênea

Uma equação diferencial linear de qualquer ordem é considerada homogênea se seu segundo membro for zero, ou seja, se for da forma

{\ displaystyle Ly = 0 \,}

onde o operador diferencial L é um mapa linear e y é a função desconhecida.

Exemplos

${\ displaystyle ay '' (x) + por '(x) + cy (x) = 0}$ é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes .

{\ displaystyle a, b, c}

constantes assumidas como conhecidas

${\ displaystyle a (x) y '(x) + b (x) y (x) = 0}$ é uma equação diferencial linear homogênea de primeira ordem com coeficientes variáveis

{\ displaystyle a (x), b (x)}

funções assumidas como conhecidas <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">