Em matemática , e mais particularmente na teoria dos números , o viés de Chebyshev é a observação de que na maioria das vezes há mais números primos da forma 4 k + 3 do que da forma 4 k + 1. Este fenômeno foi notado pela primeira vez por Pafnouti Chebyshev em 1853, mas ainda não há uma demonstração rigorosa.
Seja π ( x ; 4, 1) (respectivamente π ( x ; 4, 3)) o número de números primos da forma 4 k + 1 (respectivamente 4 k + 3) menor que x . A partir da versão quantitativa do teorema da progressão aritmética , temos
ou seja, a densidade assintótica de números primos da forma 4 k + 1 no conjunto de todos os números primos é 1/2. Poderíamos pensar que o conjunto de x para o qual π ( x ; 4, 1)> π ( x ; 4, 3) também é de densidade assintótica 1/2, mas na verdade o caso π ( x ; 4, 3) ≥ π ( x ; 4, 1) é muito mais comum; por exemplo, no conjunto do primo x <26833, a (grande) desigualdade é sempre verdadeira e só temos igualdade para x = 5, 17, 41 e 461 (continuação A007351 do OEIS ); 26.861 é o menor número primo x para o qual π ( x ; 4, 1)> π ( x ; 4, 3) - que foi observado por John Leech em 1957 - e o próximo é 616.841.
De forma mais geral, se 0 < a , b < q são inteiros primos com q , se a é um módulo p quadrado e se b não é um módulo p quadrado , temos π ( x ; q , b )> π ( x ; q , a ) mais frequentemente do que a desigualdade oposta (em outras palavras, esses x são de densidade assintótica> 1/2); esse resultado só foi demonstrado admitindo a hipótese generalizada de Riemann . Knapowski e Turán conjeturaram que a densidade de x para a qual π ( x ; 4, 3)> π ( x ; 4, 1) era igual a 1, mas (ainda sob a hipótese generalizada de Riemann), é possível mostrar que este conjunto tem uma densidade logarítmica aproximadamente igual a 0,9959.
O resultado é, para k = −4, determinar o menor p linha tal que (onde está o símbolo de Kronecker ); para um dado inteiro k (diferente de zero), podemos nos perguntar qual é o menor p satisfazendo esta condição
A sequência desses p para k = 1, 2, 3, ... é
2, 11100143, 61981, 3, 2082927221, 5, 2, 11100143, 2, 3, 577, 61463, 2083, 11, 2, 3, 2, 11100121, 5, 2082927199, 1217, 3, 2, 5, 2, 17, 61981, 3, 719, 7, 2, 11100143, 2, 3, 23, 5, 11, 31, 2, 3, 2, 13, 17, 7, 2082927199, 3, 2, 61463, 2, 11100121, 7, 3, 17, 5, 2, 11, 2, 3, 31, 7, 5, 41, 2, 3, ... (continuação A003658 do OEIS )Para os inteiros negativos k = −1, −2, −3, ..., a sequência de p é
2, 3, 608981813029, 26861, 7, 5, 2, 3, 2, 11, 5, 608981813017, 19, 3, 2, 26861, 2, 643, 11, 3, 11, 31, 2, 5, 2, 3, 608981813029, 48731, 5, 13, 2, 3, 2, 7, 11, 5, 199, 3, 2, 11, 2, 29, 53, 3, 109, 41, 2, 608981813017, 2, 3, 13, 17, 23, 5, 2, 3, 2, 1019, 5, 263, 11, 3, 2, 26861, ... (continuação A003657 do OEIS )Em todos os casos, se | k | não é um quadrado, há mais p como o de p tal que, se a hipótese generalizada de Riemann for verdadeira .
(en) J. Kaczorowski, “Sobre a distribuição dos primos (mod 4)”, Análise , vol. 15, 1995, p. 159-171