Distribuição angular

Uma distribuição angular é um campo escalar não negativo definido na esfera unitária e pertencente ao espaço ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {p}}$ . Ele define as propriedades angulares de uma quantidade física definida em qualquer direção ou simplesmente um conjunto de direções.

Unidade de esfera

A esfera unitária é uma esfera 3 de raio unitário ou, em topologia , a variedade topológica de dimensão 2

{\ displaystyle S ^ {2} = \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {3} \ ;: \; || x || = 1 \}}

É mais frequentemente representado por um vetor unitário Ω cuja direção é dada pelas coordenadas esféricas (θ, Φ)

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}} = {\ begin {pmatriz} \ cos \ phi \ sin \ theta \\\ sin \ phi \ sin \ theta \\\ cos \ theta \ end {pmatriz}} \, , \, \, 0 \ leq \ phi <2 \ pi \ ;, \; \; 0 \ leq \ theta <\ pi}

Neste espaço podemos definir uma distância geodésica . ${\ displaystyle d (\ mathbf {\ Omega}, \ mathbf {\ Omega} ') = \ arccos \, ({\ boldsymbol {\ Omega}} \ cdot {\ boldsymbol {\ Omega}}')}$

A medida de Lebesgue é invariante por rotação. Sua massa vale a pena . ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ Omega = \ sin \ theta \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} \ phi}$ ${\ displaystyle \ int _ {S ^ {2}} \ mathrm {d} \ Omega = 4 \ pi}$

Uma definição alternativa comumente usada é obtida por posar . Então temos ${\ displaystyle \ mu = \ cos {\ theta}}$

{\ displaystyle \ Omega = {\ begin {pmatrix} {\ sqrt {1- \ mu ^ {2}}} \ cos {\ phi} \\ {\ sqrt {1- \ mu ^ {2}}} \ sin {\ phi} \\\ mu \ end {pmatriz}} \ ,, \ quad \ mathrm {d} \ Omega = \ mathrm {d} \ mu \, \ mathrm {d} \ phi}

Pode ser necessário restringir o espaço a um hemisfério ao estudar uma condição de contorno matemática ou física (por exemplo, as propriedades de uma superfície). Alguns modelos utilizam octantes aproximação físicos (1/8 th da esfera). Finalmente, a aproximação numérica faz uso da divisão em N segmentos (δθ, δΦ) (por exemplo, o método S N em transferência radiativa ou a segmentação de dados estatísticos).

Podemos generalizar a teoria para uma hiperesfera .

Manipulações de distribuições angulares

Casos especiais

Os casos extremos são

- isotropia	${\ displaystyle L ({\ boldsymbol {\ Omega}}) = L_ {0}}$
- a viga	${\ displaystyle L ({\ boldsymbol {\ Omega}}) = L_ {0} \, \ delta ({\ boldsymbol {\ Omega - \ Omega}} _ {0})}$

onde L 0 e Ω 0 são constantes e δ a distribuição de Dirac .

Representação

O problema da representação de uma distribuição angular é o da projeção estereográfica . Este é, por exemplo, o caso da representação da esfera celeste .

Aproximação

Qualquer distribuição angular pode ser decomposta em harmônicos esféricos ou, no caso de uma distribuição com simetria de revolução, em polinômios de Legendre . Os harmônicos esféricos são naturais neste problema, uma vez que são os autovetores do operador Laplace-Beltrami na esfera unitária, portanto a contraparte das funções trigonométricas do Laplaciano comum.

Também podemos usar polinômios de Zernike ou ondas esféricas, projetadas na esfera unitária. Em ambos os casos, é realizada uma dilatação estereográfica (o reverso de uma projeção estereográfica ), operação que pode ser realizada de várias maneiras.

Momentos de uma função aleatória

Seja a função aleatória g ( Ω ) tal que . A direção média m é dada por ${\ displaystyle \ int _ {S ^ {2}} g ({\ boldsymbol {\ Omega}}) \, \ mathrm {d} \ Omega = 1}$

{\ displaystyle \ mathbf {m} = {\ frac {\ mathbf {M}} {M}}}

com

{\ displaystyle \ mathbf {M} = \ int _ {S ^ {2}} g ({\ boldsymbol {\ Omega}}) \, {\ boldsymbol {\ Omega}} \, \ mathrm {d} \ Omega}

Generalizamos os momentos de uma distribuição estatística definida no espaço euclidiano usual da seguinte forma

desvio padrão	${\ displaystyle m_ {1} = \ int _ {S ^ {2}} g ({\ boldsymbol {\ Omega}}) \, d ({\ boldsymbol {\ Omega}}, \ mathbf {m}) \, \ mathrm {d} \ Omega}$
momento da ordem n	${\ displaystyle m_ {n} = \ int _ {S ^ {2}} g ({\ boldsymbol {\ Omega}}) \, d ({\ boldsymbol {\ Omega}}, \ mathbf {m}) ^ { n} \, \ mathrm {d} \ Omega}$

O estudo de distribuições angulares estatísticas também exige funções padrão adaptadas a um determinado problema. Neste caso, vamos nos concentrar mais nos momentos de inércia da distribuição.

No caso de uma distribuição com simetria de revolução, o fator de assimetria é comumente usado

{\ displaystyle a = 2 \ pi \ int _ {- 1} ^ {1} \ mu g (\ mu) \ mathrm {d} \ mu \ ,, \ qquad \ mu = \ cos (\ theta)}

Momentos tensores na física

Em vez do momento de ordem 1 acima, introduzimos o seguinte tensor , calculado a partir da distribuição angular f ( Ω )

{\ displaystyle {\ mathsf {P}} = \ int _ {S ^ {2}} f ({\ boldsymbol {\ Omega}}) \, {\ boldsymbol {\ Omega}} \ otimes {\ boldsymbol {\ Omega }} \, \ mathrm {d} \ Omega}

$\ otimes$ é o operador do produto tensorial . O traço deste tensor é o desvio padrão m 1 acima, com uma rotação da referência.

Exemplos são fornecidos abaixo.

Alguns exemplos em física

Uma área importante é a propagação de partículas. A distribuição angular diz respeito, nestes casos, ao número de partículas cruzando uma superfície elementar dS durante o tempo dt no ângulo sólido dΩ em torno da direção Ω

{\ displaystyle \ mathrm {d} N = f (\ mathbf {x}, t, {\ boldsymbol {\ Omega}}) \, v \, \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} S \, \ mathrm {d} \ Omega}

onde f é o número de partículas por unidade de volume ev é sua velocidade. O vetor correspondente à densidade do fluxo de partículas é dado por

{\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {x}, t) = \ int _ {S ^ {2}} f (\ mathbf {x}, t, {\ boldsymbol {\ Omega}}) \, { \ boldsymbol {\ Omega}} \, \ mathrm {d} \ Omega}

Em vez do número de partículas, podemos nos concentrar na quantidade que elas carregam. Por exemplo, no caso da energia, acabamos com a noção de luminância substituindo f por ef onde e é a energia transportada por cada partícula. A luminância é L = vef e F é a saída . Essa quantidade é amplamente usada para fótons (v = c), mas também se aplica ao transporte de muitas outras partículas: neutrinos na física nuclear , nêutrons nos neutrônicos , elétrons , partículas alfa ou íons na física médica .

Um exemplo de distribuição aleatória envolvendo partículas é o espalhamento elástico de uma molécula por outra. O problema se reduz apenas ao conhecimento do desvio durante a interação. Este problema complexo é simplificado quando as moléculas são esfericamente simétricas: o problema é então um problema plano, assim como o espalhamento elástico de um fóton por uma partícula ( espalhamento de Thomson ou Rayleigh ).
Quando o comprimento de onda associado ao fóton é da mesma ordem de magnitude do obstáculo com o qual a onda interage, um fenômeno de difração é observado, novamente caracterizado pela distribuição angular da onda difratada. Esse tipo de fenômeno leva a padrões de radiação para ondas eletromagnéticas. Observamos o mesmo fenômeno quando a onda é uma onda sonora.
O tensor definido acima aparece em certos métodos de resolução de transferência radiativa relacionada à luminância. Este é o tensor de pressão radiativa, análogo ao tensor de tensão da equação de Navier-Stokes que pode ser obtido pelo método de Chapman-Enskog a partir da função de distribuição microscópica das velocidades v = v Ω .
O acima constitui o campo mais amplo de aplicações, mas existem outras aplicações da distribuição angular, por exemplo, os pontos de contato de um elemento de um meio granular .

Notas

O nome distribuição esférica às vezes é usado. No entanto, esta frase também é usada no sentido de distribuição angular com simetria esférica.

Referências

Dominique Bakry, “ Integração. " ,2009
(en) Kendall Atkinson e Weimin Han , Harmônicos esféricos e aproximações na esfera da unidade: uma introdução , Springer ,2012( ISBN 978-3-642-25982-1 )
Frédéric Guilloux, Análise harmônica e estimativa espectral na esfera. Aplicações ao estudo do fundo difuso cósmico. ( leia online )
(en) NI Fisher , T. Lewis e BJJ Embleton , Statistical Analysis of Spherical Data , Cambridge University Press ,1987( ISBN 0-521-24273-8 , leia online )

Livros de referência

(en) Willi Freeden e Michael Schreiner , " Expansões não ortogonais na esfera " , Métodos matemáticos nas ciências aplicadas , vol. 18,1995, p. 83-120