Geometria espectral
A geometria espectral é um ramo do cruzamento matemático entre a geometria diferencial das variedades Riemannianas e a teoria espectral de Laplace-Beltrami . Na geometria Riemanniana, o operador Laplace-Beltrami é a generalização do Laplaciano do espaço euclidiano usual . Este operador desempenha um papel muito grande dentro da própria matemática: seu espectro é um invariante geométrico principal . O estudo deste operador e mais particularmente de seu espectro é uma encruzilhada entre a teoria espectral, a análise harmônica e a geometria diferencial. Esta teoria também encontra aplicações na física teórica , em particular para o estudo do limite semiclássico da mecânica quântica , bem como para o caos quântico .
Informações gerais sobre geometria espectral
Espectro de uma variedade Riemanniana
O objetivo principal da geometria espectral é estabelecer relações entre o espectro de autovalores do operador Laplace-Beltrami e de uma variedade Riemanniana compacta, com (ou sem) arestas, com certas características geométricas (e / ou topológicas) desta variedade. O espectro do operador Laplace-Beltrami é o conjunto de números tal que há uma função que verifica a igualdade:Δg{\ displaystyle \ Delta _ {g}} (M,g){\ displaystyle (M, g)}λ{\ displaystyle \ lambda}você∈VS∞(M),você≠0{\ displaystyle u \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (M), \, u \ neq 0}
-Δgvocê=λvocê.{\ displaystyle - \ Delta _ {g} u = \ lambda u.}
Se a variedade for compacta, o espectro do operador Laplace-Beltrami é uma sequência de autovalores discretos:
0≤λ0(M)≤λ1(M)≤λ2(M)≤⋯≤λk(M)→+∞.{\ displaystyle 0 \ leq \ lambda _ {0} (M) \ leq \ lambda _ {1} (M) \ leq \ lambda _ {2} (M) \ leq \ cdots \ leq \ lambda _ {k} ( M) \ rightarrow + \ infty.}
Essa sequência de autovalores é então chamada de espectro da variedade.
Problemas diretos e inversos
Na geometria espectral, encontramos dois temas principais: problemas diretos e problemas inversos.
O problema direto é: dada uma variedade Riemanniana, podemos calcular ou fornecer propriedades do espectro da variedade?
O problema oposto é o seguinte: conhecendo o espectro da variedade, podemos dar propriedades geométricas (e topológicas) da variedade inicial? O exemplo típico de um problema reverso é o problema isoespectral: sabe-se que se duas variedades são isométricas, então elas são isoespectrais (ou seja, têm o mesmo espectro). Mas e o contrário? Esta questão é caracterizada pela famosa pergunta do físico Mark Kac "Podemos ouvir a forma de um tambor ?" "
Problema reverso: "Podemos ouvir a forma de um tambor?" "
Em 1966, Mark Kac sintetizou um problema típico de geometria espectral na forma de uma pergunta, que se tornou famoso : "Podemos ouvir a forma de um tambor?". De maneira mais geral e precisa, a questão de Mark Kac é a seguinte: uma série de autovalores (um conjunto de harmônicas do tambor) caracteriza, até a isometria, a variedade inicial (a geometria do tambor)?
Pré-história: Debye & Weyl (1911)
Debye
O físico Peter Debye estava interessado no número assintótico de modos próprios da equação de Helmholtz para um "pandeiro" retangular de lados dos respectivos comprimentos a e b , com condições de contorno de Dirichlet:
Ω{\ displaystyle \ Omega}
∀r→∈Ω, (Δ + k2) ϕ(r→)=0{\ displaystyle \ forall \, {\ vec {r}} \ in \ Omega, \ \ quad (\ Delta \ + \ k ^ {2}) \ \ phi ({\ vec {r}}) = 0}
O problema bidimensional admite a solução exata:
knão,m2 = não2 π2no2 + m2 π2b2 (não,m=1,2,3,...){\ displaystyle k_ {n, m} ^ {2} \ = \ {\ frac {n ^ {2} \ \ pi ^ {2}} {a ^ {2}}} \ + \ {\ frac {m ^ {2} \ \ pi ^ {2}} {b ^ {2}}} \ \ quad (n, m = 1,2,3, \ pontos)}
Os autovalores menores ou iguais a verificar:
λ{\ displaystyle \ lambda}
não2 π2no2 + m2 π2b2 ≤ λ{\ displaystyle {\ frac {n ^ {2} \ \ pi ^ {2}} {a ^ {2}}} \ + \ {\ frac {m ^ {2} \ \ pi ^ {2}} {b ^ {2}}} \ \ leq \ \ lambda}
Seu número assintótico (quando ) é:
λ→+∞{\ displaystyle \ lambda \ to + \ infty}
NÃO(λ) ∼ nob4π λ = NOeure(Ω)4π λ{\ displaystyle {\ mathcal {N}} (\ lambda) \ \ sim \ {\ frac {ab} {4 \ pi}} \ \ lambda \ = \ {\ frac {\ mathrm {Aire} (\ Omega)} {4 \ pi}} \ \ lambda}
Como um bom físico, Debye conjecturou que essa fórmula era verdadeira independentemente da forma do domínio do plano compacto, o que a experiência parecia confirmar.
Teorema de Weyl (1911)
A conjectura de Debye foi rigorosamente demonstrada por Weyl em 1911 para o Laplaciano fornecido com as condições de contorno de Dirichlet. (O resultado permanece verdadeiro com as condições de contorno de Neumann). Precisamente, a fórmula assintótica de Weyl é a seguinte: seja uma variedade Riemanniana compacta de dimensão , então o número de autovalores menor ou igual a satisfaz a seguinte assintótica:
(M,g){\ displaystyle (M, g)}não{\ displaystyle n}λ{\ displaystyle \ lambda}
#({k∈NÃO,λk≤λ})∼λ→+∞BnãoVoar(M,g)(2π)nãoλnão2{\ displaystyle \ # \ left (\ left \ {k \ in \ mathbb {N}, \, \ lambda _ {k} \ leq \ lambda \ right \} \ right) {\ underset {\ lambda \ rightarrow + \ infty} {\ sim}} {\ frac {B_ {n} {\ textrm {Vol}} (M, g)} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ lambda ^ {\ frac {n} { 2}}}
onde está o volume da bola unitária de .
Bnão{\ displaystyle B_ {n}}(Rnão,posso){\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {n}, {\ textrm {can}})}
Conjectura de Weyl (1911) e Teorema de Ivrii (1980)
Weyl também conjecturou que o seguinte termo da expansão assintótica da função de contagem de autovalores revelou o perímetro da borda do domínio:
∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}
NÃO(λ) = NOeure(Ω)4π λ + vste × euonãogvocêevocêr(∂Ω) λ + o(λ){\ displaystyle {\ mathcal {N}} (\ lambda) \ = \ {\ frac {\ mathrm {Aire} (\ Omega)} {4 \ pi}} \ \ lambda \ + \ \ mathrm {cte} \ \ times \ \ mathrm {Comprimento} (\ partial \ Omega) \ {\ sqrt {\ lambda}} \ + \ o ({\ sqrt {\ lambda}})}
Esta conjectura realmente se estende naturalmente em qualquer dimensão d :
NÃO(λ) = VS1(d) × Mesvocêre(Ω) λd/2 + VS2(d) × Mesvocêre(∂Ω) λ(d-1)/2 + o(λ(d-1)/2){\ displaystyle {\ mathcal {N}} (\ lambda) \ = \ C_ {1} (d) \ \ times \ \ mathrm {Measure} (\ Omega) \ \ lambda ^ {d / 2} \ + \ C_ {2} (d) \ \ times \ \ mathrm {Medida} (\ parcial \ Omega) \ \ lambda ^ {(d-1) / 2} \ + \ o (\ lambda ^ {(d-1) / 2 })}
onde C 1 e C 2 são constantes que dependem da dimensão d do espaço ( C 2 também depende das condições de contorno). Para uma fronteira suficientemente regular, a conjectura de Weyl foi rigorosamente demonstrada em 1980 por V. Ja. Ivrii.
Resposta: "depende ..."
Quase imediatamente após Kac fazer sua pergunta, Milnor exibiu um par de toros de 16 dimensões com o mesmo espectro, mas com formas diferentes! O problema bidimensional não foi resolvido até 1992 por Gordon, Webb e Wolpert. Eles construíram um par de domínios planos não congruentes com o mesmo espectro (cf. figura). A prova de que todos os autovalores são idênticos repousa no uso das simetrias desses domínios. Essa ideia foi generalizada por Buser et al., Que construiu muitos exemplos semelhantes.
A resposta à pergunta de Kac é, portanto, geralmente negativa : para a maioria dos tambores, não podemos ouvir suas formas completamente, embora possamos ouvir certas características (área, perímetro, número de furos, etc.)
Por outro lado, Zelditch (de) demonstrou que a resposta à pergunta de Kac é positiva se nos restringirmos a certas regiões convexas planas cujas fronteiras são analíticas . (Não se sabe se dois domínios não convexos com limites analíticos podem ter o mesmo espectro.)
Conjectura de Berry (1979)
Para um domínio com aresta fractal , Michael Berry conjecturou em 1979 que a correção da aresta era proporcional a λ D / 2 onde D é a dimensão de Hausdorff da fronteira. Esta conjectura foi derrubada por J. Brossard e R. Carmona, que por sua vez sugeriram que a dimensão de Hausdorff fosse substituída pela dimensão da caixa superior . Desta forma, a conjectura foi demonstrada em 1993 por Lapidus e Pomerance para um domínio plano cuja borda tem uma dimensão 1, mas invalidada pelos mesmos autores para as dimensões superiores em 1996. Já em 1993, contra-exemplos a esta conjectura tinham foi demonstrado ( Fleckinger e Vassiliev 1993 ); vários cálculos precisos foram então realizados por Michael Levitin.
Fórmulas de rastreamento
Em uma variedade, há também uma relação entre o espectro do operador Laplace-Beltrami e o espectro de comprimento das geodésicas periódicas dessa variedade. O espectro de comprimentos de uma variedade Riemanniana é o conjunto de comprimentos de geodésicas periódicas. Em 1973, Y. Colin de Verdière determinou completamente o espectro de comprimento. A técnica usada por Y. Colin de Verdière é baseada em fórmulas de rastreamento. Este link é estabelecido na forma de uma "fórmula de rastreamento", cujos protótipos são:
Tal fórmula foi generalizada por Gutzwiller na mecânica quântica no regime semiclássico , e desempenha um papel essencial na quantização de sistemas hamiltonianos classicamente caóticos , para os quais a condição de quantização EBK não se aplica.
Notas e referências
-
A suposição de compactação garante que o espectro Laplaciano seja discreto, com uma multiplicidade finita para cada autovalor.
-
Mark Kac, “Alguém consegue ouvir a forma de um tambor? », Amer. Matemática. Mensalmente , vol. 73, n o 4,1966, p. 1-2
-
Kac 1966 . Neste artigo, Kac multiplica Δ por 1 ⁄ 2, portanto, substitui o Ω ⁄ (4π) de Weyl 1911 por Ω ⁄ (2π) .
-
V. Ja. Ivrii, O segundo termo da assintótica espectral para um operador de Laplace-Beltrami em variedades com limite . Funktsional. Anal. i Prilozhen. 14: 2 (1980), 25-34 (em russo).
-
John Milnor, autovalores do operador de Laplace em certos distribuidores , procedimentos da Academia Nacional das Ciências dos Estados Unidos da América 51 (1964), 542.
-
Caroline Gordon, David Webb e S. Wolpert; Domínios e superfícies do plano isoespectral via orbifolds Riemannianos , Inventiones mathematicae 110 (1992), 1-22. Veja também: Caroline Gordon, David Webb e S. Wolpert; Não se pode ouvir a forma de um tambor , Bulletin of the American Mathematical Society 27 (1992), 134-138.
-
Peter Buser, John Conway, Peter Doyle e Klaus-Dieter Semmler, Alguns domínios isoespectrais planares , International Mathematics Research Notices, no. 9 (1994), 391.
-
(em) S. Zelditch, determinação espectral de domínios simétricos do eixo de dois planos analíticos , Análise geométrica e funcional 10: 3 (2000), 628-677.
-
(em) Jean Brossard e Rene Carmona, " Pode alguém ouvir a dimensão de um fractal? » , Comum. Matemática. Phys. , vol. 104, n o 1,1986, p. 103-122 ( ler online ).
-
(em) Michel L. Lapidus e Carl Pomerance, " The Riemann zeta-function and the unidimensional Weyl-Berry conjecture for fractal drums " , Proceedingg of the London Mathematical Society , vol. s3-66, n o 1,1993, p. 41-69 ( DOI 10.1112 / plms / s3-66.1.41 ).
-
(em) Michel L. Lapidus e Carl Pomerance, " Counterexamples to the modificado Weyl-Berry conjecture is fractal drums " , Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , vol. 119, n o 1,1996, p. 167-178 ( DOI 10.1017 / S0305004100074053 ).
Veja também
Artigos relacionados
Bibliografia
Introdução
- Pierre Bérard; Não podemos ouvir a forma de um tambor , Auxerre (Outubro de 2001) Duas apresentações de popularização:
Livros clássicos
- Marcel Berger, Paul Gauduchon & Edmond Mazet, O espectro de uma variedade Riemaniana , Lecture Notes in Mathematics 194 , Springer-Verlag, 1971.
- Pierre Bérard, Spectral Geometry: Direct and Inverse Problems , Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1207 , Springer-Verlag, Berlin, 1987.
- Isaac Chavel, Eigenvalues in Riemannian Geometry , Pure and Applied Mathematics 115 , Academic Press ( 2 e- edição 1984) ( ISBN 0121706400 ) .
- Peter B. Gilkey, A geometria espectral de uma variedade Riemanniana , Journal of Differential Geometry 10 (4) (1975), 601-618.
- Olivier Lablée, Spectral Theory in Riemannian Geometry , Textbooks in Mathematics 17 , European Mathematical Society, 2015.
- Steven Rosenberg, The Laplacian on a Riemannian Manifold , Cambridge University Press, 1997 ( ISBN 0-521-46831-0 ) .
Alguns artigos clássicos
- P. Bérard, Isospectral plane domains à la Gordon-Webb-Wolpert: a down to earth proof, Seminar of Spectral Theory and Geometry, 131-142, 1991-1992.
- Gérard Besson, On the multiplicity of the first autovalue of Riemannian surface , Ann. Inst. Fourier. 30 : 109-128, 1980.
- Jacques Chazarain; Fórmula de Poisson para variedades Riemannianas , Inventiones Math. 24 (1974), 65-82.
-
Yves Colin de Verdière , espectro Laplaciano e comprimentos de geodésica periódica (I) , Compositio Mathematica 271 (1) (1973). (Resumido em: Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences 275 A (1973), 805-808).
- Yves Colin de Verdière; Espectro Laplaciano e comprimentos de geodésicas periódicas (II) , Compositio Mathematica 271 (2) (1973), 159-184. Numdam .
- Carolyn Gordon, Quando você não consegue ouvir a forma de uma variedade , The Mathematical Intelligencer 11-3, 39-47, 1989.
- Carolyn Gordon, David Webb & S. Wolpert, Isospectral plane domains and surface via Riemannian orbifolds, Inventiones Mathematicae 110: 1-22, 1992.
- Carolyn Gordon, David Webb & S. Wolpert, Não se pode ouvir a forma de um tambor , Bulletin of the AMS 27: 134-138, 1992.
-
(pt) Mark Kac, “ Alguém pode ouvir a forma de um tambor? » , Amer. Matemática. Mensalmente , vol. 73, n o 4,1966, p. 1-23 ( ler online ).
-
(de) Hermann Weyl, " Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte " , Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen ,1911, p. 110-117 ( ler online ).
Aspectos contemporâneos
- Pierre Bérard; O problema isoespectral para variedades Riemannianas , (1993). Texto (sem figuras) em formato PostScript .
- Isaac Chavel; The Laplacian on Riemannian manifolds , em: Spectral Theory and Geometry , EB Davies & Y. Safarov (eds.), London Mathematical Society Lecture Note Series 273 , Cambridge University Press (1999), 30-75 ( ISBN 0521777496 ) .
- Yves Colin de Verdière; Le specter du Laplacien: panorama parcial de Berger-Gauduchon-Mazet & problems , Société Mathatique de France (1996). Texto em formato pdf .
- Yves Colin de Verdière, Spectrum of the Laplace operador e geodésica periódica: trinta anos após , Ann. Inst. Fourier. 57 (7): 2429-2463, 2008.
- Carolyn Gordon; Survey of Isospectral Manifolds , em: Handbook of Differential Geometry - Vol. I , FJE Dillen & LCA Verstraelen (eds.), North-Holland / Elsevier Science, 2000 ( ISBN 0-444-82240-2 ) .
- Toshikazu Sunada; Riemannian coverings and isospectral manifolds , Ann. da matemática. 121 (1985), 169-186.
Berry Conjecture
- Michel L. Lapidus, pode-se ouvir a forma de um tambor fractal? Resolução parcial da conjectura de Weyl-Berry , Análise geométrica e computação gráfica (Berkeley, CA, 1988), 119-126, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 17, Springer, New York, 1991.
- Michel L. Lapidus, Vibrações de tambores fractais, a hipótese de Riemann, ondas na mídia fractal, e a conjectura de Weyl-Berry , em: Equações Diferenciais Ordinárias e Parciais (BD Sleeman e RJ Jarvis, eds.), Vol. IV, Proc. Twelfth Internat. Conf. (Dundee, Escócia, Reino Unido, junho de 1992), Pitman Research Notes in Math. Series, vol. 289, Longman and Technical, London, 1993, pp. 126-209.
-
(pt) Jacqueline Fleckinger e Dmitri Vassiliev, “ Um exemplo de uma assintótica de dois termos para a função de contagem de um tambor fractal ” , Trans. Amargo. Matemática. Soc. , vol. 337, n o 1,1993, p. 99-116.
- ML Lapidus & M. van Frankenhuysen, Fractal Geometry and Number Theory: Complex dimension of fractal strings e zeros of zeta functions , Birkhauser, Boston, 2000. (Segunda edição revisada e ampliada para aparecer em 2005.)
- W. Arrighetti, G. Gerosa, você pode ouvir a dimensão fractal de um tambor? , arXiv: math.SP / 0503748 , em “Applied and Industrial Mathematics in Italy”, Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences 69 , 65-75, World Scientific, 2005 ( ISBN 978-981-256-368-2 ) .