Núcleo de calor

Em matemática , o kernel do calor é uma função de Green (também chamada de solução elementar) da equação do calor sobre um domínio especificado, opcionalmente com condições de contorno apropriadas. É também uma das principais ferramentas para estudar o espectro Laplaciano . O kernel de calor representa a mudança na temperatura igual a uma unidade de calor em um ponto no tempo inicial.

Núcleo de calor em espaço livre

O núcleo de calor no espaço livre R d tem a expressão

K(t,x,y)=1(4πt)d/2e-|x-y|2/4t{\ displaystyle K (t, x, y) = {\ frac {1} {(4 \ pi t) ^ {d / 2}}} e ^ {- | xy | ^ {2} / 4t}}

e é a solução da equação do calor

∂K∂t(t,x,y)=ΔxK(t,x,y){\ displaystyle {\ frac {\ partial K} {\ partial t}} (t, x, y) = \ Delta _ {x} K (t, x, y)}

para todo  t  > 0 e  x , y  ∈  R d , com a condição inicial

limt→0K(t,x,y)=δ(x-y)=δx(y){\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0} K (t, x, y) = \ delta (xy) = \ delta _ {x} (y)}

onde δ é a distribuição de Dirac e o limite é tomado no sentido das distribuições , ou seja, para qualquer função de teste φ

limt→0∫RdK(t,x,y)φ(y)dy=φ(x).{\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} K (t, x, y) \ varphi (y) \, \ mathrm {d} y = \ varphi (x).}

Teoria espectral

Definições gerais

Tanto uma área compacta de bordo . Neste campo, considera-se o operador positivo , onde está o Laplaciano , provido de condições de contorno na borda do campo (Dirichlet, Neumann, misto) que corrigem completamente o problema. Ω{\ displaystyle \ Omega}Rnão{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}H^=- Δ{\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}Δ{\ displaystyle \ Delta}∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}

O operador positivo é o gerador de um semi-grupo contínuo em . Podemos, então, escrever para qualquer função quadrada somaável f : H^=- Δ{\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}eu2(Ω){\ displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}

e-tH^ f(x) = e+tΔ f(x) = ∫Ωdy K(x,y,t) f(y){\ displaystyle e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ f (x) \ = \ e ^ {+ \; t \; \ Delta} \ f (x) \ = \ int _ {\ Omega} dy \ K (x, y, t) \ f (y)}

A função K ( x , y , t ) é chamada de "  kernel de calor  ". Na verdade, a função:

f(x,t) = e+tΔ f(x){\ displaystyle f (x, t) \ = \ e ^ {+ \; t \; \ Delta} \ f (x)}

é claramente uma solução da equação do calor  :

∂f(x,t)∂t = Δ f(x,t){\ displaystyle {\ frac {\ partial f (x, t)} {\ partial t}} \ = \ \ Delta \ f (x, t)}

Além disso, o semigrupo tende à identidade quando o tempo t tende para zero:

f(x,t) =  e+tΔ f(x) →t→0+ f(x){\ displaystyle f (x, t) \ = \ \ e ^ {+ \; t \; \ Delta} \ f (x) \ \ a _ {t \ a 0 ^ {+}} \ f (x)}

de modo que o núcleo de calor K deve ter o comportamento assintótico:

K(x,y,t) →t→0+ δ(x-y){\ displaystyle K (x, y, t) \ \ to _ {t \ to 0 ^ {+}} \ \ delta (xy)}

onde está a distribuição Dirac . Assim, o kernel do calor K ( x , y , t ) parece ser uma função de Green , ou solução elementar, da equação do calor. δ(x){\ displaystyle \ delta (x)}

Teoria espectral

Quando o campo é compacto, o operador positivo tem um espectro discreto de autovalores com o qual está associada uma base de Hilbert de autovetores (usa-se aqui as notações de Dirac ): Ω{\ displaystyle \ Omega}H^=- Δ{\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}

H^ |ψnão⟩ = λnão |ψnão⟩,0≤λ1≤λ2≤⋯≤λnão≤⋯≤+∞{\ displaystyle {\ hat {H}} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ = \ \ lambda _ {n} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ ,, \ quad 0 \ leq \ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ dots \ leq \ lambda _ {n} \ leq \ dots \ leq + \ infty}

Podemos, então, escrever introduzindo duas vezes a relação de fechamento:

K(x,y,t) = ⟨y|e-tH^|x⟩ = ∑não,m=1+∞ ⟨y|ψm⟩ ⟨ψm|e-tH^|ψnão⟩ ⟨ψnão|x⟩{\ displaystyle K (x, y, t) \ = \ \ langle y | e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} | x \ rangle \ = \ \ sum _ {n, m = 1} ^ {+ \ infty} \ \ langle y | \ psi _ {m} \ rangle \ \ langle \ psi _ {m} | e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} | \ psi _ {n} \ rangle \ \ langle \ psi _ {n} | x \ rangle}

quem se torna:

K(x,y,t) = ∑não=1+∞ ⟨y|ψnão⟩ ⟨ψnão|x⟩ e-t λnão = ∑não=1+∞ ψnão¯(y) ψnão(x) e-tλnão{\ displaystyle K (x, y, t) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ langle y | \ psi _ {n} \ rangle \ \ langle \ psi _ {n} | x \ rangle \ e ^ {- \; t \; \ \ lambda _ {n}} \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ {\ overline {\ psi _ {n} }} (y) \ \ psi _ {n} (x) \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}}}

Traço de núcleo de calor

O traço do núcleo de calor é definido por:

Tr e-tH^ = ∑não=1+∞ e-tλnão{\ displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}}}

Sendo os autoestados ortonormais, nota-se que se pode escrever:

∫Ωdx K(x,x,t) = ∑não=1+∞ e-tλnão ∫Ωdx |ψnão(x)|2 = ∑não=1+∞ e-tλnão{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} dx \ K (x, x, t) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}} \ \ int _ {\ Omega} dx \ | \ psi _ {n} (x) | ^ {2} \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ { - \; t \; \ lambda _ {n}}}

Portanto, temos a relação fundamental:

Tr e-tH^ = ∫Ωdx K(x,x,t){\ displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ = \ \ int _ {\ Omega} dx \ K (x, x, t)}

Essa relação está ligada a muitas “fórmulas traço”, como a de Selberg na geometria hiperbólica ou a de Gutzwiller com aproximação semiclássica.

Funções espectrais

Definimos a função de contagem dos autovalores:

NÃO(λ) = Tr θ(H^-λ) = ∑não=1+∞ θ(λnão-λ){\ displaystyle {\ mathcal {N}} (\ lambda) \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ theta ({\ hat {H}} - \ lambda) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ { + \ infty} \ \ theta (\ lambda _ {n} - \ lambda)}

onde está a distribuição de Heaviside . A função de contagem é uma função escada positiva crescente que fornece o número total de autovalores menor ou igual a . Sua derivada é a densidade espectral dos valores próprios: θ(x){\ displaystyle \ theta (x)}λ{\ displaystyle \ lambda}

ρ(λ) = Tr δ(H^-λ) = ∑não=1+∞ δ(λnão-λ){\ displaystyle \ rho (\ lambda) \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ delta ({\ hat {H}} - \ lambda) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ delta (\ lambda _ {n} - \ lambda)}

O traço do kernel de calor está relacionado a essas funções por uma transformação de Laplace  :

Tr e-tH^ = ∑não=1+∞ e-tλnão = ∫0+∞e-tλ ρ(λ) dλ = ∫0+∞e-tλ dNÃO(λ){\ displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}} \ = \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- \; t \; \ lambda} \ \ rho (\ lambda) \ d \ lambda \ = \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- \; t \; \ lambda} \ d {\ mathcal {N}} (\ lambda)}

Função zeta espectral

Assumimos aqui que o fundamental . Por analogia com a função zeta de Riemann , introduzimos a função zeta espectral pela série de tipo de Dirichlet  : λ1≠0{\ displaystyle \ lambda _ {1} \ neq 0}

ζ(s) = ∑não=1+∞ 1λnãos{\ displaystyle \ zeta (s) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ {\ frac {1} {\ lambda _ {n} ^ {s}}}}

que converge para suficientemente grande. Esta função zeta está ligada ao traço do núcleo de calor por uma transformação do tipo Mellin  : ℜe[s]{\ displaystyle \ Re \ mathrm {e} \ left [\, s \, \ right]}

ζ(s) = 1Γ(s) ∫0+∞dt ts-1 Tr e-tH^{\ displaystyle \ zeta (s) \ = \ {\ frac {1} {\ Gamma (s)}} \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} dt \ t ^ {s-1} \ \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}}}

A função zeta é usada em particular para regularizar os determinantes dos operadores  (en) que aparecem durante os cálculos de integrais de caminhos na teoria quântica de campos . Na verdade, o determinante do operador H é definido por:

det H^ = ∏não=1+∞ λnão{\ displaystyle \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ lambda _ {n}}

Com a identidade:

em⁡ det H^ = em⁡ (∏não=1+∞ λnão) = ∑não=1+∞ em⁡λnão = Tr em⁡ H^{\ displaystyle \ ln \ \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ ln \ \ left (\ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ lambda _ {n} \ direita) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ ln \ lambda _ {n} \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ ln \ {\ hat {H}}}

nós facilmente demonstramos a relação formal:

det H^ = exp[- ζ′(0)]{\ displaystyle \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ exp \, \ left [\, - \ \ zeta '(0) \, \ right]}

onde a derivada da função zeta é avaliada em s = 0.

Extensão para compactar variedades Riemannianas

Todas as definições anteriores se estendem naturalmente ao caso do operador Laplace-Beltrami em uma variedade Riemanniana compacta , que então também tem um espectro discreto. Em uma variedade compacta , a função constante pode ser normalizada para a unidade, de modo que o estado fundamental seja associado ao autovalor zero, que não é degenerado.

Então, é conveniente perguntar: e nós temos: λ0=0{\ displaystyle \ lambda _ {0} = 0}

H^ |ψnão⟩ = λnão |ψnão⟩,0=λ0 <λ1≤λ2≤⋯≤λnão≤⋯≤+∞{\ displaystyle {\ hat {H}} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ = \ \ lambda _ {n} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ ,, \ quad 0 = \ lambda _ { 0} \ <\ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ dots \ leq \ lambda _ {n} \ leq \ dots \ leq + \ infty}

Pode-se também associar uma função zeta a este espectro com a condição de remover o autovalor zero “manualmente”.

Desenvolvimento assintótico do núcleo de calor

O termo diagonal do núcleo de calor admite um desenvolvimento assintótico em pouco tempo.

Variedade Riemanniana compacta sem borda

Para uma variedade Riemanniana compacta M de dimensão d sem borda, temos o desenvolvimento de Minakshisundaram-Pleijel (1949):

K(x,x,t) ∼ 1td/2 ∑não=0+∞nonão(x) tnão(t→0+){\ displaystyle K (x, x, t) \ \ sim \ {\ frac {1} {t ^ {d / 2}}} \ \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} (x) \ t ^ {n} \ qquad (t \ a 0 ^ {+})}

onde os coeficientes são funções suaves em M , que dependem da métrica e de suas derivadas em x . Por integração em todos os pontos x , deduzimos que o traço do núcleo de calor também admite um desenvolvimento assintótico em pouco tempo: nonão(x){\ displaystyle a_ {n} (x)}

Tr e-tH^ ∼ 1td/2 ∑não=0+∞NOnão tnão(t→0+){\ displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ \ sim \ {\ frac {1} {t ^ {d / 2}}} \ \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} A_ {n} \ t ^ {n} \ qquad (t \ a 0 ^ {+})}

onde as constantes são definidas por: NOnão{\ displaystyle A_ {n}}

NOnão = ∫Mnonão(x) dµ(x){\ displaystyle A_ {n} \ = \ \ int _ {M} a_ {n} (x) \ d \ mu (x)}

para a medição induzida pela métrica. Essas constantes revelam certas características geométricas globais de M  ; por exemplo, a constante é proporcional ao hipervolume da variedade:, onde: NO0{\ displaystyle A_ {0}}mes(M){\ displaystyle \ mathrm {mes} \, (M)}

mes(M) = ∫M dµ(x){\ displaystyle \ mathrm {mes} \, (M) \ = \ \ int _ {M} \ d \ mu (x)}

Variedades a bordo

A existência de tal desenvolvimento assintótico pode ser estendida a variedades com bordas suficientemente regulares. O operador Laplace-Beltrami deve então ser fornecido com as condições de contorno adequadas.

Espectro e geometria

O desenvolvimento do traço do núcleo de calor está relacionado ao da função de contagem de autovalores (ou sua derivada, densidade espectral).

Artigos relacionados

• Laplaciano
• Operadora Laplace-Beltrami .
• Geometria espectral
• Fórmula de soma de Poisson
• Fórmula de rastreamento de Selberg
• Fórmula de rastreamento de Gutzwiller
• Caos quântico
• Regularização zeta
• Core Mehler  (en)

Bibliografia

Livros de referência

• Marcel Berger, Paul Gauduchon e Edmond Mazet; O espectro de uma variedade Riemaniana , Lecture Notes in Mathematics 194 , Springer-Verlag (1971).
• Isaac Chavel; Autovalores em geometria Riemanniana , Matemática Pura e Aplicada 115 , Academic Press ( 2 e -edition 1984) ( ISBN  0121706400 ) .

Alguns artigos

• S Minakshisundaram & A Pleijel; Some properties of the autofunctions of the Laplace-operator on Riemannian manifolds , Canadian Journal of Mathematics 1 (1949), 242--256.
• HP McKean e IM Singer; Curvature and the eigenvalues ​​of the Laplacian , Journal of Differential Geometry 1 (1) (1967), 43-69.
• Peter B. Gilkey; A geometria espectral de uma variedade Riemanniana , Journal of Differential Geometry 10 (4) (1975), 601-618.
• Yves Colin de Verdière; Propriedades assintóticas da equação do calor em uma variedade compacta, de acordo com P. Gilkey , Bourbaki Seminar (Novembro de 1973)
• Yves Colin de Verdière; Espectro Laplaciano e comprimentos de geodésicas periódicas (I) , Compositio Mathematica 27 (1) (1973), p.  83-106 . Numdam .
• Yves Colin de Verdière; Espectro Laplaciano e comprimentos de geodésicas periódicas (II) , Compositio Mathematica , 27 (2) (1973), p.  159-184 . Numdam .
• Maria Teresa Arede; Geometria do núcleo de calor em variedades , tese de pós-graduação, Universidade de Marselha (1983).
• Teresa Arede; Manifolds para os quais o kernel de calor é dado em termos de comprimentos geodésicos , Letters in Mathematical Physics 9 (2) (1985), 121-131.
• Peter B Gilkey; Heat Equation Asymptotics , Proc. Legal. Matemática pura e aplicada. V54 (1993), 317-336.
• Klaus Kirsten; Funções espectrais em matemática e física , Chapman & Hall / CRC, Boca Raton, FL (2002), ( ISBN  1-58488-259-X ) .
• Peter B. Gilkey; Fórmulas assintóticas em geometria espectral , Studies in Advanced Mathematics, vol. 43, Chapman & Hall / CRC, Boca Raton, FL (2004), ( ISBN  1-58488-358-8 )

Biblioteca virtual

• Claude Bardos e Olivier Laffite; Uma síntese de resultados antigos e recentes sobre o comportamento assintótico de autovalores Laplacianos em uma variedade Riemanniana , (1998). PostScript .
• M. van den Berg, S. Desjardins & PB Gilkey; Heat content assymptotics of Riemannian manifolds , in: Differential Geometry and its Applications , O. Kowalski & D. Krupka (eds), anais da 5ª conferência internacional de 1992 sobre geometria diferencial e suas aplicações na Silesian University (1993), ( ISBN  80-901581 -0-2 ) , p.  61-64 . PostScript .
• DV Vassilevich; Expansão do kernel de calor: manual do usuário , Relatório de Física 388 (2003), 279-360. ArXiv: hep-th / 0306138 .
• Arlo Caine; O kernel de calor em uma variedade Riemanniana , pdf .
• Daniel Grieser; Notas sobre o kernel de calor em manifolds com limite , pdf .

Notas

1. Em física estatística , é a função de partição canônica Z (t) do sistema para a “temperatura inversa” t .
2. Subbaramiah Minakshisundaram & Åke Pleijel; Some properties of the autofunctions of the Laplace-operator on Riemannian manifolds , Canadian Journal of Mathematics 1 (1949), 242--256.

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