Harmônico esférico
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Em matemática , os harmônicos esféricos são funções harmônicas particulares, ou seja, funções cujo Laplaciano é zero. Harmônicos esféricos são particularmente úteis para resolver problemas invariantes por rotação, porque eles são os autovetores de certos operadores relacionados às rotações.
Os polinômios harmônicos P ( x , y , z ) de grau l formam um espaço vetorial de dimensão 2 l + 1 e podem ser expressos em coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) como combinações lineares de funções ( 2 l + 1 ) :
reuYeu,m(θ,φ){\ displaystyle r ^ {l} \, Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi)}, com .
-eu≤m≤+eu{\ displaystyle -l \ leq m \ leq + l}As coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) são, respectivamente, a distância ao centro da esfera, a colatitude e a longitude .
Qualquer polinômio homogêneo é inteiramente determinado por sua restrição à esfera unitária S 2 .
Definição - As funções na esfera obtidas pela restrição de polinômios harmônicos homogêneos são harmônicos esféricos.
É por isso que a parte radial da equação de Laplace, diferente de acordo com o problema estudado, não aparece aqui.
Harmônicos esféricos são usados em física matemática, assim que a noção de orientação ( anisotropia ) e, portanto, rotação ( grupo de simetria ortogonal SO (3) ) entra em jogo e o Laplaciano entra em jogo:
Resolvendo a equação de Laplace
Procuramos as funções Y l , m ( θ , φ ) na forma de um produto de duas funções de uma única variável:
Yeu,m(θ,φ)=kPeu,m(porqueθ)e+eumφ{\ displaystyle Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi) = kP_ {l, m} (\ cos \ theta) \ mathrm {e} ^ {+ \, i \, m \, \ varphi}}
onde k é uma constante, que será corrigida posteriormente pela normalização. A equação de autovalor torna-se uma equação diferencial linear de ordem dois para a função P l , m (cos θ ) :
-1pecadoθd dθ(pecadoθdPeu,m(porqueθ)dθ)+m2pecado2θPeu,m(porqueθ)=Eeu,mPeu,m(porqueθ){\ displaystyle - {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ mathrm {d} P_ {l, m} (\ cos \ theta)} {\ mathrm {d} \ theta}} \ right) + {\ frac {m ^ {2}} {\ sin ^ {2} \ theta }} P_ {l, m} (\ cos \ theta) = E_ {l, m} P_ {l, m} (\ cos \ theta)}
Fazemos a mudança de variável: o que leva à equação diferencial generalizada de Legendre:
θ↦x=porqueθ{\ displaystyle \ theta \ mapsto x = \ cos \ theta}
-d dx[(1-x2)dPeu,m(x)dx]+m2(1-x2)Peu,m(x)=Eeu,mPeu,m(x){\ displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} x}} \ left [(1-x ^ {2}) {\ frac {\ mathrm {d} P_ {l, m } (x)} {\ mathrm {d} x}} \ right] + {\ frac {m ^ {2}} {(1-x ^ {2})}} P_ {l, m} (x) = E_ {l, m} P_ {l, m} (x)}
Os autovalores desta equação são independentes de m :
Eeu,m=eu(eu+1) {\ displaystyle E_ {l, m} = l (l + 1) ~}
As autofunções P l , m ( x ) são os polinômios de Legendre associados . Eles são construídos a partir dos polinômios de Legendre P l ( x ) que são as autofunções da equação diferencial ordinária de Legendre, correspondendo ao caso m = 0 :
-d dx[(1-x2)dPeu(x)dx]=eu(eu+1)Peu(x){\ displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d} ~} {\ mathrm {d} x}} \ left [(1-x ^ {2}) {\ frac {\ mathrm {d} P_ {l} ( x)} {\ mathrm {d} x}} \ right] = l (l + 1) P_ {l} (x)}
Temos a fórmula geradora de Olinde Rodrigues :
Peu(x)=12eueu!deu dxeu[x2-1]eu{\ displaystyle P_ {l} (x) = {\ frac {1} {2 ^ {l} l!}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {l} ~} {\ mathrm {d} x ^ {l}}} \ left [x ^ {2} -1 \ right] ^ {l}}
Em seguida, construímos as autofunções P l , m ( x ) pela fórmula:
Peu,m(x)=(-1)m[1-x2]m/2dmPeu(x)dxm{\ displaystyle P_ {l, m} (x) = (- 1) ^ {m} \ left [1-x ^ {2} \ right] ^ {m / 2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {m} P_ {l} (x)} {\ mathrm {d} x ^ {m}}}}
seja explicitamente:
Peu,m(x)=(-1)m2eueu![1-x2]m/2deu+m dxeu+m[x2-1]eu{\ displaystyle P_ {l, m} (x) = {\ frac {(-1) ^ {m}} {2 ^ {l} l!}} \ left [1-x ^ {2} \ right] ^ {m / 2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {l + m} ~} {\ mathrm {d} x ^ {l + m}}} \ left [x ^ {2} -1 \ direita] ^ {l}}
Nota: na prática, basta calcular as funções P l , m ( x ) para m ≥ 0 , pois existe uma relação simples entre P l , m ( x ) e P l , - m ( x ) :
Peu,-m(x)=(-1)m(eu-m)!(eu+m)!Peu,m(x){\ displaystyle P_ {l, -m} (x) = (- 1) ^ {m} {\ frac {(lm)!} {(l + m)!}} P_ {l, m} (x)}
Expressão de harmônicos esféricos
Em seguida, obtemos a expressão listada abaixo. Uma maneira fácil de lembrar essa expressão é a seguinte:
Yeu,0=Peu(porqueθ)⋅2eu+14π{\ displaystyle Y_ {l, 0} = P_ {l} (\ cos \ theta) \ cdot {\ sqrt {\ frac {2l + 1} {4 \ pi}}}},
onde P l ( x ) é o polinômio de Legendre de grau l .
Em seguida, obtemos:
J+Yeu,m=(eu2-m2)+(eu-m)⋅Yeu,m+1{\ displaystyle J _ {+} Y_ {l, m} = {\ sqrt {(l ^ {2} -m ^ {2}) + (lm)}} \ cdot Y_ {l, m + 1}}
ou
J+=eeuϕ(∂∂θ+eubronzeadoθ⋅∂∂ϕ){\ displaystyle J _ {+} = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ phi} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} + {\ frac {\ mathrm {i }} {\ tan \ theta}} \ cdot {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi}} \ right)}
é o operador de “escada ascendente”.
Para m negativo,Yeu,m=(-1)m⋅Yeu,-m∗{\ displaystyle Y_ {l, m} = (- 1) ^ {m} \ cdot Y_ {l, -m} ^ {*}}
Freqüentemente, esta base é observada :
|eum⟩{\ displaystyle | lm \ rangle}
qualquer função na esfera S 2 pode, portanto, ser escrita:
f(θ,ϕ)=feu,m⋅|eum⟩{\ displaystyle f (\ theta, \ phi) = f ^ {l, m} \ cdot | lm \ rangle}
(na convenção de soma de Einstein ), os coeficientes complexos f l , m desempenhando o papel dos componentes de f na base de (às vezes dizemos coeficientes de Fourier generalizados).
|eum⟩{\ displaystyle | lm \ rangle}
Em química ou geofísica, acontece que preferimos usar harmônicos esféricos “reais” e coeficientes reais de Fourier.
Expressão matemática
Os harmônicos esféricos formando uma base ortogonal na esfera unitária, qualquer função contínua f ( θ , φ ) se divide em uma série de harmônicos esféricos:
f(θ,φ)=∑eu=0+∞∑m=-eu+euVSeum⋅Yeum(θ,φ){\ displaystyle f (\ theta, \ varphi) = \ sum _ {l = 0} ^ {+ \ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {+ l} C_ {l} ^ {m} \ cdot Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi)}
onde l e m são índices inteiros , Cm
l é um coeficiente constante e frequentemente em matemática leva o nome de coeficiente de Fourier generalizado em relação a esta base.
A expansão em harmônicas esféricas é o equivalente, aplicada às funções angulares, do desenvolvimento na série de Fourier para funções periódicas .
Ym
lé a parte real de uma função complexa Ym
l
Yeum(θ,φ)=Ré(Yeum_(θ,φ)){\ displaystyle Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi) = \ operatorname {Re} \ left ({\ underline {Y_ {l} ^ {m}}} (\ theta, \ varphi) \ right )}
Ym
l é chamada de “função Legendre associada” e é definida por
Yeum_(θ,φ)=2⋅(eu-m)!(eu+m)!⋅Peum(porqueθ)⋅eeumφ{\ displaystyle {\ underline {Y_ {l} ^ {m}}} (\ theta, \ varphi) = {\ sqrt {\ frac {2 \ cdot (lm)!} {(l + m)!}}} \ cdot P_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta) \ cdot \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} m \ varphi}}
onde i é o imaginário e Pm
lé o polinômio de Legendre associado :
Peum(X)=(-1)m2eu⋅eu!⋅(1-X2)m/2⋅∂m+eu∂Xm+eu[(X2-1)eu]{\ displaystyle P_ {l} ^ {m} (X) = {\ frac {(-1) ^ {m}} {2 ^ {l} \ cdot l!}} \ cdot (1-X ^ {2} ) ^ {m / 2} \ cdot {\ frac {\ partial ^ {m + l}} {\ partial X ^ {m + l}}} \ left [(X ^ {2} -1) ^ {l} \ direito]}
Então nós temos
Yeum(θ,φ)=2⋅(eu-m)!(eu+m)!⋅Peum(porqueθ)⋅porque(mφ){\ displaystyle Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi) = {\ sqrt {\ frac {2 \ cdot (lm)!} {(l + m)!}}} \ cdot P_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta) \ cdot \ cos (m \ varphi)}
Temos por exemplo:
-
P00(porqueθ)=1{\ displaystyle P_ {0} ^ {0} (\ cos \ theta) = 1}( Y0
0 é isotrópico);
-
P10(porqueθ)=porqueθ{\ displaystyle P_ {1} ^ {0} (\ cos \ theta) = \ cos \ theta} ;
-
P11(porqueθ)=-pecadoθ{\ displaystyle P_ {1} ^ {1} (\ cos \ theta) = - \ sin \ theta} ;
-
P31(porqueθ)=32⋅pecadoθ⋅(-5⋅porque2θ+1){\ displaystyle P_ {3} ^ {1} (\ cos \ theta) = {\ frac {3} {2}} \ cdot \ sin \ theta \ cdot (-5 \ cdot \ cos ^ {2} \ theta + 1)} ;
Funções Ym
l( θ , φ ) apresentam mais e mais simetrias à medida que l aumenta (exceto quando l = 0 , uma vez que Y0
0 é uma função constante e, portanto, descreve uma esfera).
Polinômios de Legendre
Para harmônicos circulares, polinômios P l da função cosseno são usados :
Yeu(θ)=Peu(porqueθ){\ displaystyle Y_ {l} (\ theta) = P_ {l} (\ cos \ theta)}
Os polinômios P l usados são os polinômios de Legendre :
Peu(X)=12eu⋅eu!⋅deudXeu[(X2-1)eu]{\ displaystyle P_ {l} (X) = {\ frac {1} {2 ^ {l} \ cdot l!}} \ cdot {\ frac {d ^ {l}} {dX ^ {l}}} \ esquerda [(X ^ {2} -1) ^ {l} \ direita]}
(Fórmula de
Rodrigues , matemático francês)
Nós obtemos :
-
P0(porqueθ)=1 {\ displaystyle P_ {0} (\ cos \ theta) = 1 ~} (função isotrópica);
-
P1(porqueθ)=porqueθ {\ displaystyle P_ {1} (\ cos \ theta) = \ cos \ theta ~} ;
-
P2(porqueθ)=12(3porque2θ-1){\ displaystyle P_ {2} (\ cos \ theta) = {\ frac {1} {2}} (3 \ cos ^ {2} \ theta -1)} ;
-
P3(porqueθ)=12(5porque3θ-3porqueθ){\ displaystyle P_ {3} (\ cos \ theta) = {\ frac {1} {2}} (5 \ cos ^ {3} \ theta -3 \ cos \ theta)} ;
Harmônicas esféricas padronizadas
Base ortonormal de harmônicos esféricos
Entre as funções 2 l +1 , tornou-se costume selecionar uma base ortonormal na esfera fornecida com a medida
S2{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {2}}
dµ=14πpecadoθdθdϕ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mu = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ sin \ theta \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} \ phi},
ou o produto escalar ( Hermitian na verdade):
⟨f1∣f2⟩=14π∬S2f1∗f2pecadoθdθdϕ{\ displaystyle \ langle f_ {1} \ mid f_ {2} \ rangle = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ iint _ {S ^ {2}} f_ {1} ^ {*} f_ { 2} \ sin \ theta \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} \ phi}
Os harmônicos esféricos são as soluções da equação dos valores próprios:
-ΔYeu,m(θ,φ)=eu(eu+1)Yeu,m(θ,φ){\ displaystyle - \ Delta Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi) = l (l + 1) Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi)}
onde o operador Laplaciano é escrito em coordenadas esféricas na esfera de raio unitário J 2 :
Δf(θ,φ)=defJ2f=1pecadoθ∂ ∂θ(pecadoθ∂f∂θ)+1pecado2θ∂2f∂φ2{\ displaystyle \ Delta f (\ theta, \ varphi) {\ stackrel {\ rm {def}} {=}} J ^ {2} f = {\ frac {1} {\ sin \ theta}} {\ frac {\ partial ~} {\ partial \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ partial f} {\ partial \ theta}} \ right) + {\ frac {1} {\ sin ^ {2 } \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial \ varphi ^ {2}}}}
São funções próprias do operador :
J3=-eu∂∂ϕ{\ displaystyle J_ {3} = - \ mathrm {i} {\ tfrac {\ partial} {\ partial \ phi}}}
J3Yeu,m=m⋅Yeu,m{\ displaystyle J_ {3} Y_ {l, m} = m \ cdot Y_ {l, m}}
Estes, uma vez normalizados na esfera são geralmente denotados Y l, m ( θ , φ ) , onde os ângulos ( θ , φ ) são as coordenadas esféricas na esfera de raio unitário e l e m são dois números inteiros, como 0 ≤ l e - l ≤ m ≤ + l
estandardização
Os harmônicos esféricos constituem uma base ortonormal de autofunções do operador Laplaciano na esfera de raio unitário S 2 no sentido de que:
Eles são ortogonais para o seguinte produto escalar:
∬S2dΩ(θ,φ)Y¯eu′,m′(θ,φ)Yeu,m(θ,φ)=δeu,eu′δm,m′{\ displaystyle \ iint _ {S_ {2}} \ mathrm {d} \ Omega (\ theta, \ varphi) {\ overline {Y}} _ {l ', m'} (\ theta, \ varphi) Y_ { l, m} (\ theta, \ varphi) = \ delta _ {l, l '} \ delta _ {m, m'}}
Nesta fórmula, dΩ ( θ , φ ) representa o ângulo sólido elementar:
dΩ(θ,φ)=pecadoθdθdφ{\ displaystyle \ mathrm {d} \ Omega (\ theta, \ varphi) = \ sin \ theta \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} \ varphi}
Qualquer função suficientemente regular f ( θ , φ ) admite uma expansão em série:
f(θ,φ)=∑eu=0+∞∑m=-eu+eunoeu,mYeu,m(θ,φ){\ displaystyle f (\ theta, \ varphi) = \ sum _ {l = 0} ^ {+ \ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {+ l} a_ {l, m} Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi)}
onde os coeficientes complexos a l , m são calculados por:
noeu,m=∬S2dΩ(θ,φ)Y¯eu,m(θ,φ)f(θ,φ){\ displaystyle a_ {l, m} = \ iint _ {S_ {2}} \ mathrm {d} \ Omega (\ theta, \ varphi) {\ overline {Y}} _ {l, m} (\ theta, \ varphi) f (\ theta, \ varphi)}
Expressão de harmônicos esféricos normalizados
Os harmônicos esféricos generalizados são definidos na esfera S 3 . A normalização dos harmônicos esféricos leva à expressão final:
Yeu,m(θ,φ)=(-1)12(m+|m|)(2eu+1)4π(eu-|m|)!(eu+|m|)!Peu,|m|(porqueθ)eeumφ{\ displaystyle Y_ {l, m} (\ theta, \ varphi) = (- 1) ^ {{\ frac {1} {2}} (m + | m |)} {\ sqrt {{\ frac {( 2l +1)} {4 \ pi}} {\ frac {(l- | m |)!} {(L + | m |)!}}}} P_ {l, | m |} (\ cos \ theta ) \ mathrm {e} ^ {i \, m \, \ varphi}}
Forma "real" de harmônicos esféricos
Se m ≠ 0 os harmônicos esféricos têm valores complexos. No entanto, é possível, para um dado valor de, definir combinações lineares das quais são reais, enquanto ainda constituem uma base normalizada na esfera unitária.
Yℓ,m{\ displaystyle Y _ {\ ell, m}}ℓ{\ displaystyle \ ell}Yℓ,m{\ displaystyle Y _ {\ ell, m}}
Para isso, basta tomar as seguintes combinações lineares:
Y~ℓm={eu2(Yℓm-(-1)mYℓ-m)E se m<0,Yℓ0E se m=0,12(Yℓ-m+(-1)mYℓm)E se m>0={eu2(Yℓ-|m|-(-1)mYℓ|m|)E se m<0,Yℓ0E se m=0,12(Yℓ-|m|+(-1)mYℓ|m|)E se m>0{\ displaystyle {\ begin {align} {\ tilde {Y}} _ {\ ell m} & = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ mathrm {i} \ over {\ sqrt {2}}} \ left (Y _ {\ ell} ^ {m} - (- 1) ^ {m} \, Y _ {\ ell} ^ {- m} \ direita) & {\ text {si}} \ m <0, \ \\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {0} & {\ text {si}} \ m = 0, \\\ displaystyle {1 \ over {\ sqrt {2}}} \ left (Y _ {\ ell } ^ {- m} + (- 1) ^ {m} \, Y _ {\ ell} ^ {m} \ right) & {\ text {si}} \ m> 0. \ end {cases}} \ \ & = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ mathrm {i} \ over {\ sqrt {2}}} \ left (Y _ {\ ell} ^ {- | m |} - (- 1) ^ { m} \, Y_ {\ ell} ^ {| m |} \ right) & {\ text {si}} \ m <0, \\\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {0} & {\ text { si}} \ m = 0, \\\ displaystyle {1 \ over {\ sqrt {2}}} \ left (Y _ {\ ell} ^ {- | m |} + (- 1) ^ {m} \ , Y _ {\ ell} ^ {| m |} \ right) & {\ text {si}} \ m> 0. \ end {cases}} \\\ end {alinhados}}}É fácil verificar se essas expressões são normalizadas para a unidade. Essas relações são facilmente revertidas para dar:
Yℓm={12(Y~ℓ|m|-euY~ℓ,-|m|)E se m<0,Y~ℓ0E se m=0,(-1)m2(Y~ℓ|m|+euY~ℓ,-|m|)E se m>0{\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} = {\ begin {cases} \ displaystyle {1 \ over {\ sqrt {2}}} \ left ({\ tilde {Y}} _ {\ ell | m |} - \ mathrm {i} {\ tilde {Y}} _ {\ ell, - | m |} \ right) & {\ text {si}} \ m <0, \\\ displaystyle {\ tilde {Y }} _ {\ ell 0} & {\ text {si}} \ m = 0, \\\ displaystyle {(-1) ^ {m} \ over {\ sqrt {2}}} \ left ({\ tilde {Y}} _ {\ ell | m |} + \ mathrm {i} {\ tilde {Y}} _ {\ ell, - | m |} \ right) & {\ text {si}} \ m> 0 . \ end {casos}}}Substituindo as expressões anteriores por harmônicos esféricos, obtemos as seguintes expressões gerais:
Y~ℓm={2(2ℓ+1)4π(ℓ-|m|)!(ℓ+|m|)!Pℓ|m|(porqueθ)pecado|m|φE se m<0,(2ℓ+1)4πPℓ0(porqueθ)E se m=0,2(2ℓ+1)4π(ℓ-m)!(ℓ+m)!Pℓm(porqueθ)porquemφE se m>0{\ displaystyle {\ tilde {Y}} _ {\ ell m} = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ sqrt {2}} {\ sqrt {{(2 \ ell +1) \ over 4 \ pi} {(\ ell - | m |)! \ over (\ ell + | m |)!}}} P _ {\ ell} ^ {| m |} (\ cos \ theta) \ sin | m | \ varphi & {\ mbox {si}} m <0 , \\\ displaystyle {\ sqrt {(2 \ ell +1) \ over 4 \ pi}} P _ {\ ell} ^ {0} (\ cos \ theta) & {\ mbox {si}} m = 0 , \ \\ displaystyle {\ sqrt {2}} {\ sqrt {{(2 \ ell +1) \ over 4 \ pi} {(\ ell -m)! \ over (\ ell + m)!}}} P _ {\ ell} ^ {m} (\ cos \ theta) \ cos m \ varphi & {\ mbox {si}} m> 0. \ end {casos} }}Essas funções são frequentemente usadas na química quântica para representar as partes angulares dos diferentes orbitais atômicos associados aos diferentes elétrons da procissão eletrônica de átomos .
Representações gráficas
Representação esférica
Se usarmos a representação esférica
ρ=ρ0+ρ1⋅Yeum(θ,φ){\ displaystyle \ rho = \ rho _ {0} + \ rho _ {1} \ cdot Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ varphi)}
então a superfície representativa é uma esfera acidentada; as saliências correspondem às partes onde Ym
lé positivo, os vales nas partes onde Ym
lé negativo. Quando θ e φ descrevem o intervalo [0; 2π [ , Ym
l( θ , φ ) desaparece ao longo de l círculos:
-
m círculos seguindo um meridiano , uma iso- longitude (interseção entre um plano contendo Oz e a esfera);
-
l - m círculos ao longo de um paralelo , um iso- latitude (intersecção entre um plano paralelo ao Oxi e a esfera).
O parâmetro l é denominado "grau", m é denominado "ordem azimutal". Entre os círculos de cancelamento, a função é alternadamente positiva ou negativa.
Abaixo são mostradas quatro seções transversais do harmônico esférico Y2
3 :
Como antes, podemos representar a função pela curva em coordenadas esféricas:
Y32{\ displaystyle Y_ {3} ^ {2}}
|
|
ρ=ρ0+ρ1⋅Y32(θ,φ){\ displaystyle \ rho = \ rho _ {0} + \ rho _ {1} \ cdot Y_ {3} ^ {2} (\ theta, \ varphi)} as partes em branco são positivas, em azul negativo
|
ρ=|Y32(θ,φ)|2{\ displaystyle \ rho = | Y_ {3} ^ {2} (\ theta, \ varphi) | ^ {2}}
|
Representação seccional
Os harmônicos esféricos podem ser representados de forma mais simples, sem vibrar os ventres, mantendo apenas os nós, conforme mostra a tabela a seguir. Estas são as esferas da figura superior, projetadas em um plano vertical. Encontramos na última linha as quatro esferas da primeira figura acima, onde l = 3 . Os quatro valores de m y variam de 0 a 3 em valor absoluto. Na figura abaixo, distinguimos os valores negativos para levar em consideração que a rotação pode ser feita em uma direção ou na outra para m > 0 . Para mostrar a concordância com os harmônicos, sua expressão mais simples é dada em cada esfera.
Reconhecemos os números quânticos secundários l , correspondentes a s , p , d , f e m , subcamadas magnéticas do átomo de hidrogênio. O número quântico principal n não aparece porque os modos radiais são diferentes de acordo com o problema estudado, ressonância acústica, átomo de hidrogênio ou outro.
Para mostrar a concordância com a literatura, a expressão dos harmônicos esféricos é dada sob cada esfera. O número e o valor dos zeros dos polinômios de Legendre não normalizados associados fornecem o número de paralelos e sua posição no eixo vertical. O exponencial imaginário exp (i mϕ ) , de módulo unitário, geralmente usado em vez de senos e cossenos, fornece o número de meridianos. Valores de l ≥ 4 são observados apenas em estados excitados ou átomos de Rydberg onde o valor usual de l é 50 e cujo orbital é representado não por uma esfera, mas por um anel.
Representação cartesiana e polar
Podemos representar harmônicos circulares de três maneiras:
Três primeiros harmônicos circulares
|
Representação cartesiana
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Representações polares (desenho manual)
|
Representações polares (gráfico exato)
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---|
Y 1 |
|
|
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Y 2 |
|
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Y 3 |
|
|
Outros harmônicos
Harmônicas circulares
No plano, a decomposição está escrita:
f(θ)=∑eu=0+∞VSeu⋅Yeu(θ){\ displaystyle f (\ theta) = \ sum _ {l = 0} ^ {+ \ infty} C_ {l} \ cdot Y_ {l} (\ theta)}
Y 0 é uma função constante, a curva representativa em coordenadas polares r = Y 0 ( θ ) é, portanto, um círculo de raio r 0 .
Y l é uma função invariante por uma rotação de um ângulo de1/eu +1 tour, quer dizer que
Yeu(θ+2πeu+1)=Yeu(θ){\ displaystyle Y_ {l} \ left (\ theta + {\ frac {2 \ pi} {l + 1}} \ right) = Y_ {l} (\ theta)}
dizemos que Y l admite uma simetria de ordem l + 1 .
Harmônicas esféricas generalizadas
Ao considerar a orientação de um objeto no espaço, é necessário apelar para três ângulos; geralmente usamos ângulos de Euler ( ψ , θ , φ ) .
Considere uma função contínua de orientação f ( ψ , θ , φ ) ; como antes, esta função pode ser dividida em harmônicos esféricos generalizados
f(ψ,θ,φ)=∑eu=0+∞∑m=-eu+eu∑não=-eu+euVSeumnão⋅Yeumnão(ψ,θ,φ){\ displaystyle f (\ psi, \ theta, \ varphi) = \ sum _ {l = 0} ^ {+ \ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {+ l} \ sum _ {n = - l} ^ {+ l} C_ {l} ^ {mn} \ cdot Y_ {l} ^ {mn} (\ psi, \ theta, \ varphi)}
onde Cmn
lé uma constante. A função Ymn
l está escrito:
Yeumnão(ψ,θ,φ)=eeumφ⋅Peumnão(porqueθ)⋅eeunãoψ{\ displaystyle Y_ {l} ^ {mn} (\ psi, \ theta, \ varphi) = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} m \ varphi} \ cdot P_ {l} ^ {mn} (\ cos \ theta) \ cdot \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} n \ psi}}
O polinômio Pmn
l é o polinômio generalizado de Legendre
Peumnão(X)=(-1)eu-m⋅eunão-m2eu⋅(eu-m)!⋅[(eu-m)!(eu+não)!(eu+m)!(eu-não)!]1/2⋅(1-X)-não-m2{\ displaystyle P_ {l} ^ {mn} (X) = {\ frac {(-1) ^ {lm} \ cdot \ mathrm {i} ^ {nm}} {2 ^ {l} \ cdot (lm) !}} \ cdot \ left [{\ frac {(lm)! (l + n)!} {(l + m)! (ln)!}} \ right] ^ {1/2} \ cdot (1- X) ^ {- {\ frac {nm} {2}}}}⋅(1+X)-não+m2⋅∂eu-não∂Xeu-não[(1-X)eu-m(1+X)eu+m]{\ displaystyle \ cdot (1 + X) ^ {- {\ frac {n + m} {2}}} \ cdot {\ frac {\ partial ^ {ln}} {\ partial X ^ {ln}}} \ esquerda [(1-X) ^ {lm} (1 + X) ^ {l + m} \ direita]}
Quando X descreve o intervalo [-1; 1] , esta função Pmn
lé real ou imaginário puro. Y00
0( ψ , θ , φ ) é a função isotrópica (simetria esférica).
De acordo com a lei da composição das rotações, temos:
Yeumnão(ψ1+ψ2,θ1+θ2,φ1+φ2)=∑s=-eu+euYeums(ψ1,θ1,φ1)⋅Yeusnão(ψ2,θ2,φ2){\ displaystyle Y_ {l} ^ {mn} (\ psi _ {1} + \ psi _ {2}, \ theta _ {1} + \ theta _ {2}, \ varphi _ {1} + \ varphi _ {2}) = \ sum _ {s = -l} ^ {+ l} Y_ {l} ^ {ms} (\ psi _ {1}, \ theta _ {1}, \ varphi _ {1}) \ cdot Y_ {l} ^ {sn} (\ psi _ {2}, \ theta _ {2}, \ varphi _ {2})}
e especialmente
Peumnão(porque(θ1+θ2))=∑s=-eu+euPeums(porqueθ1)⋅Peusnão(porqueθ2){\ displaystyle P_ {l} ^ {mn} (\ cos (\ theta _ {1} + \ theta _ {2})) = \ sum _ {s = -l} ^ {+ l} P_ {l} ^ {ms} (\ cos \ theta _ {1}) \ cdot P_ {l} ^ {sn} (\ cos \ theta _ {2})}
Em geral, temos:
Peumnão=Peunãom=Peu-m-não{\ displaystyle P_ {l} ^ {mn} = P_ {l} ^ {nm} = P_ {l} ^ {- mn}}
Por exemplo, para l = 1 :
P1mnão(porqueθ){\ displaystyle P_ {1} ^ {mn} (\ cos \ theta)}
m
|
não
|
---|
-1
|
0
|
+1
|
-1
|
12(1+porqueθ){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (1+ \ cos \ theta)}
|
-eu2pecadoθ{\ displaystyle - {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ sin \ theta}
|
12(porqueθ-1){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (\ cos \ theta -1)}
|
0
|
-eu2pecadoθ{\ displaystyle - {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ sin \ theta}
|
porqueθ{\ displaystyle \ cos \ theta}
|
-eu2pecadoθ{\ displaystyle - {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ sin \ theta}
|
1
|
12(porqueθ-1){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (\ cos \ theta -1)}
|
-eu2pecadoθ{\ displaystyle - {\ frac {i} {\ sqrt {2}}} \ sin \ theta}
|
12(1+porqueθ){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (1+ \ cos \ theta)}
|
Para l = 2 :
P2mnão(porqueθ){\ displaystyle P_ {2} ^ {mn} (\ cos \ theta)}
m
|
não
|
---|
-2
|
-1
|
0
|
+1
|
+2
|
-2
|
14(porqueθ+1)2{\ displaystyle {\ frac {1} {4}} (\ cos \ theta +1) ^ {2}}
|
-eu2pecadoθ(porqueθ+1){\ displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ sin \ theta (\ cos \ theta +1)}
|
-1232(1-porque2θ){\ displaystyle - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} (1- \ cos ^ {2} \ theta)}
|
-eu2pecadoθ(porqueθ-1){\ displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ sin \ theta (\ cos \ theta -1)}
|
14(porqueθ-1)2{\ displaystyle {\ frac {1} {4}} (\ cos \ theta -1) ^ {2}}
|
-1
|
-eu2pecadoθ(porqueθ+1){\ displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ sin \ theta (\ cos \ theta +1)}
|
12(2porque2θ+porqueθ-1){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (2 \ cos ^ {2} \ theta + \ cos \ theta -1)}
|
-32eupecadoθporqueθ{\ displaystyle - {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} i \ sin \ theta \ cos \ theta}
|
12(2porque2θ-porqueθ-1){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (2 \ cos ^ {2} \ theta - \ cos \ theta -1)}
|
-eu2pecadoθ(porqueθ-1){\ displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ sin \ theta (\ cos \ theta -1)}
|
0
|
-1232(1-porque2θ){\ displaystyle - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} (1- \ cos ^ {2} \ theta)}
|
-32eupecadoθporqueθ{\ displaystyle - {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} i \ sin \ theta \ cos \ theta}
|
12(3porque2θ-1){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (3 \ cos ^ {2} \ theta -1)}
|
-32eupecadoθporqueθ{\ displaystyle - {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} i \ sin \ theta \ cos \ theta}
|
-1232(1-porque2θ){\ displaystyle - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} (1- \ cos ^ {2} \ theta)}
|
1
|
-eu2pecadoθ(porqueθ-1){\ displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ sin \ theta (\ cos \ theta -1)}
|
12(2porque2θ-porqueθ-1){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (2 \ cos ^ {2} \ theta - \ cos \ theta -1)}
|
-32eupecadoθporqueθ{\ displaystyle - {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} i \ sin \ theta \ cos \ theta}
|
12(2porque2θ+porqueθ-1){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} (2 \ cos ^ {2} \ theta + \ cos \ theta -1)}
|
-eu2pecadoθ(porqueθ+1){\ displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ sin \ theta (\ cos \ theta +1)}
|
2
|
14(porqueθ-1)2{\ displaystyle {\ frac {1} {4}} (\ cos \ theta -1) ^ {2}}
|
-eu2pecadoθ(porqueθ-1){\ displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ sin \ theta (\ cos \ theta -1)}
|
-1232(1-porque2θ){\ displaystyle - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {3} {2}}} (1- \ cos ^ {2} \ theta)}
|
-eu2pecadoθ(porqueθ+1){\ displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ sin \ theta (\ cos \ theta +1)}
|
14(porqueθ+1)2{\ displaystyle {\ frac {1} {4}} (\ cos \ theta +1) ^ {2}}
|
Notas e referências
-
Introduzimos um sinal de menos para ter autovalores positivos . Na verdade, o operador Laplaciano é um operador negativo no sentido de que, para qualquer função suave ϕ com suporte compacto, temos:∫ϕΔϕ=-∫‖grnodϕ‖2{\ displaystyle \ int \ phi \ Delta \ phi = - \ int \ | \ mathrm {grad} \ phi \ | ^ {2}}
Essa igualdade é demonstrada usando a relação Δ = div grad e integrando por partes .
-
Bernard Schaeffer, Relativities and quanta clarified , Publibook, 2007
-
átomos circulares: propriedades e preparação
Veja também
Artigos relacionados
links externos
Bibliografia
- Isaac Todhunter, Um tratado elementar sobre as funções de Laplace, as funções de Lame e as funções de Bessel , Macmillan e Co, 1875.
- Norman McLeod Ferrers, Um tratado elementar sobre harmônicos esféricos e assuntos relacionados a eles , Macmillan e Co, 1877.
- William Ellwood Byerly, Um tratado elementar sobre as séries de Fourier e harmônicos esféricos, cilíndricos e elipsoidais com aplicações a problemas em física matemática , Ginn & Co, 1893.
- René Lagrange, Polynômes et functions de Legendre coll. "Ciências Matemáticas Memorial" n o 97, Gauthier-Villars de 1939.
- IS Gradshteyn e IM Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products , eds. Alan Jeffrey e Daniel Zwillinger, Academic Press ( 6 ª edição, 2000) ( ISBN 0-12-294757-6 ) . Errata no site dos editores: [http: //www.mathtable.com/gr/ www.mathtable.com].
- John D. Jackson, Eletrodinâmica Clássica - Curso e Exercícios em Eletromagnetismo , Dunod, 2001) ( ISBN 2-10-004411-7 ) . Tradução francesa do 3 rd edição do grande clássico americano.
-
JL Basdevant e J. Dalibard, Quantum Mechanics [ detalhe das edições ].
-
C. Cohen-Tannoudji , B. Diu e F. Laloë , mecânica quântica [ detalhe da edição ].
-
Albert Messiah , Quantum Mechanics [ detalhe das edições ].
- H.-J. Bunge, Texture analysis in materials science - Mathematical methods , ed. Butterworths, 1969 (1982 para a tradução inglesa): para harmônicos esféricos generalizados.
-
Yvette Kosmann-Schwarzbach , Grupos e simetrias: grupos finitos, grupos e álgebras de Lie, representações , Éditions de l'École polytechnique,julho de 2006 ; capítulo 7, “Harmônicas esféricas” ( ISBN 978-2-7302-1257-1 ) .
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