Em matemática , a integral de Daniell é um tipo de integração que generaliza o conceito mais básico da integral de Riemann, que geralmente é o primeiro a ser ensinado. Uma das principais dificuldades da formulação tradicional da integral de Lebesgue é que ela requer o desenvolvimento preliminar da teoria da medida antes de obter os resultados principais desta integral. No entanto, outra abordagem é possível, a que foi desenvolvida por Percy John Daniell em um artigo de 1918 que não apresenta essa dificuldade, e tem vantagens reais sobre a formulação tradicional, especialmente quando se quer generalizar a integral para espaços de dimensões superiores ou quando queremos para introduzir outras generalizações, como a integral de Riemann - Stieltjes . A ideia básica introduz uma axiomatização da integral.
Começamos escolhendo um conjunto de funções limitadas reais (chamadas funções elementares ) definidas em um conjunto , que satisfaz os dois axiomas:
Além disso, a cada função h em H é atribuído um número real , que é chamado de integral elementar de h , satisfazendo os três axiomas:
Assim, definimos uma forma linear contínua positiva no espaço das funções elementares.
Essas funções elementares e seus integrais elementares podem ser qualquer conjunto de funções e definições de integrais para as funções que satisfazem esses axiomas. A família de todas as funções de escada obviamente satisfaz os dois primeiros axiomas. Se definirmos a integral elementar para a família de funções escada como a área (orientada) do domínio definido pela função escada, os três axiomas para uma integral elementar também são satisfeitos. Se aplicarmos a construção da integral de Daniell descrita abaixo usando as funções de escada como funções elementares, definiremos uma integral equivalente à integral de Lebesgue. Se for um espaço topológico e se usarmos a família de todas as funções contínuas como funções elementares e a integral de Riemann tradicional como integral elementar, isso leva a uma integral que ainda é equivalente à definição de Lebesgue. Se fizermos a mesma coisa, mas usando a integral de Riemann - Stieltjes , com uma função apropriada de variação limitada , obtemos uma definição da integral equivalente à de Lebesgue - Stieltjes .
Os conjuntos desprezíveis (ou seja, medida zero) podem ser definidos em termos de funções elementares como segue. Um conjunto que é um subconjunto de é um conjunto desprezível se para todos existe uma seqüência crescente de funções elementares positivas em H tal que e assim por diante .
Dizemos que uma propriedade é verdadeira em quase todos os lugares se for verdadeira em todos os lugares, exceto em um conjunto insignificante.
Podemos estender a noção de integral para uma classe maior de funções, com base em nossa escolha de funções elementares, a classe , que é a família de todas as funções que são limitadas em quase todos os lugares de uma sequência crescente de funções elementares, como a conjunto de integrais é limitado. A integral de uma função em é definida por:
Podemos mostrar que esta definição da integral está bem definida, ou seja, não depende da escolha da sequência .
No entanto, a classe geralmente não é fechada para subtração e multiplicação por números negativos, mas podemos estendê-la definindo uma classe maior de funções de forma que qualquer função possa ser representada quase em todos os lugares como diferença , por funções e na sala de aula . Então, a integral de uma função pode ser definida por:
Novamente, podemos mostrar que a integral é bem definida, ou seja, não depende da decomposição de em e . Isso completa a construção da integral de Daniell.