O lema de Poincaré é um resultado fundamental em análise multivariada e geometria diferencial . Diz respeito às formas diferenciais (implicitamente da classe C 1 ) em uma variedade diferencial (implicitamente suave ).
De acordo com o teorema de Schwarz , toda forma diferencial exata é fechada . O lema de Poincaré garante recíproca parcial:
De modo que, em uma variedade diferencial M , qualquer forma p fechada é exata, é suficiente:
Sob esses pressupostos, a conclusão do lema de Poincaré é reformulada em termos da cohomologia de De Rham .
Em particular, qualquer forma diferencial fechada é localmente exata.
Todos os conceitos utilizados acima são detalhados via as ligações internas , mas vamos lembrar e comentar sobre os principais.
Uma forma p ω em uma variedade M é dita:
O p -ésimo espaço da cohomologia de Rham de M é o quociente H p ( M ) do espaço das figuras fechadas pelas formas precisas do subespaço . Portanto, é zero se e somente se alguma forma fechada for exata.
Um espaço topológico M é dito contrátil se homotopicamente equivalente a um ponto, isto é, se seu mapa de identidade for homotópico com uma aplicação constante de M em M , ou se M for retraído por deformação em um ponto. É uma condição mais forte do que a trivialidade de todos os grupos de homotopia de M , mas equivalente se M for uma variedade diferencial. Além disso, neste caso, as homotopias invocadas, a priori apenas contínuas , podem de fato ser escolhidas suaves .
Qualquer espaço contrátil é simplesmente conectado, mas existem variedades simplesmente conectadas que não são contráteis, como a esfera . Além disso, uma variedade compacta sem borda nunca é contrátil.
Qualquer U de ℝ n aberto é uma variedade diferencial. Se U for estrelado, então é contrátil e, a fortiori, simplesmente conectado. Vamos mostrar, neste caso particular, que qualquer forma 1 fechada ω em U é exata, ou seja, é o diferencial de uma forma 0 (uma função).
Suponha que U seja marcado com uma estrela em torno de a , defina uma função f em U por integrais curvilíneas nos segmentos :
e mostrar que d f = ω em qualquer ponto x de U , ou seja, (para x fixo e para todo x + v em uma bola de centro x incluída em U ):
De acordo com o teorema de Green aplicado ao triângulo ( a , x , x + v ) , temos (uma vez que ω é fechado)
No entanto, pela continuidade de ω no ponto x ,
Portanto, temos:
(Para estender esta prova a qualquer variedade simplesmente conectada, é suficiente substituir os segmentos por caminhos e o teorema de Green pelo de Stokes .)