Matrizes de Pauli
As matrizes de Pauli , desenvolvidas por Wolfgang Pauli , formam, até o fator i , uma base da álgebra de Lie do grupo SU (2) .
Eles são definidos como o conjunto de matrizes complexas de dimensões 2 × 2 a seguir:
σ1=σx=(0110){\ displaystyle \ sigma _ {1} = \ sigma _ {x} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}
σ2=σy=(0-eueu0){\ displaystyle \ sigma _ {2} = \ sigma _ {y} = {\ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix}}}
σ3=σz=(100-1){\ displaystyle \ sigma _ {3} = \ sigma _ {z} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}
(onde i é a unidade imaginária de números complexos).
Essas matrizes são usadas na mecânica quântica para representar o spin das partículas , em particular desde 1927 no estudo não relativístico do spin do elétron: a equação de Pauli .
Propriedades
Identidades
- σ12=σ22=σ32=(1001)=eu2{\ displaystyle \ sigma _ {1} ^ {2} = \ sigma _ {2} ^ {2} = \ sigma _ {3} ^ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = I_ {2}}
- σ1σ2=euσ3{\ displaystyle \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} = i \ sigma _ {3} \, \!}
- σ3σ1=euσ2{\ displaystyle \ sigma _ {3} \ sigma _ {1} = i \ sigma _ {2} \, \!}
- σ2σ3=euσ1{\ displaystyle \ sigma _ {2} \ sigma _ {3} = i \ sigma _ {1} \, \!}
- σeuσj=-σjσeu para eu≠j{\ displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = - \ sigma _ {j} \ sigma _ {i} {\ mbox {para}} i \ neq j \, \!}
Essas identidades implicam na fórmula (no→⋅σ→)(b→⋅σ→)=no→⋅b→eu2+euno→×b→⋅σ→{\ displaystyle ({\ vec {a}} \ cdot {\ vec {\ sigma}}) ({\ vec {b}} \ cdot {\ vec {\ sigma}}) = {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} \, I_ {2} + i \, {\ vec {a}} \ times {\ vec {b}} \ cdot {\ vec {\ sigma}}}
Valores próprios e vetores próprios
O determinante e o traço das matrizes de Pauli são:
det(σeu)=-1Tr(σeu)=0para eu∈{1;2;3}{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ det (\ sigma _ {i}) & = & - 1 & \\ [1ex] \ operatorname {Tr} (\ sigma _ {i}) & = & 0 & \ end {matriz}} \ quad {\ hbox {para}} \ i \ in \ {1; 2; 3 \}}Portanto, os valores próprios de cada matriz são ± 1.
Cada uma das três matrizes tem dois vetores próprios:
- Para : eσ1{\ displaystyle \ sigma _ {1}}(11){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix}}}(1-1){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ - 1 \ end {pmatrix}}}
- Para : eσ2{\ displaystyle \ sigma _ {2}}(1eu){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ i \ end {pmatrix}}}(1-eu){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ - i \ end {pmatrix}}}
- Para : eσ3{\ displaystyle \ sigma _ {3}}(10){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}(01){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}
Outras propriedades
As matrizes de Pauli obedecem às seguintes relações de comutação e anticomutação :
[σeu,σj]=2euϵeujkσk{σeu,σj}=2δeuj⋅eu{\ displaystyle {\ begin {matrix} [\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j}] & = & 2i \, \ epsilon _ {ijk} \, \ sigma _ {k} \\ [1ex] \ {\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j} \} & = & 2 \ delta _ {ij} \ cdot I \ end {matriz}}}onde está o símbolo de Levi-Civita , é o símbolo de Kronecker e é a matriz de identidade . As relações acima podem ser verificadas usando:
ϵeujk{\ displaystyle \ epsilon _ {ijk}}δeuj{\ displaystyle \ delta _ {ij}}eu{\ displaystyle I}
σeuσj=euϵeujkσk+δeuj⋅eu{\ displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = i \ epsilon _ {ijk} \ sigma _ {k} + \ delta _ {ij} \ cdot I}.
Essas relações de comutatividade são semelhantes às da álgebra de Lie e, de fato, podem ser interpretadas como a álgebra de Lie de todas as combinações lineares dos tempos imaginários das matrizes de Pauli , ou seja, como as anti-matrizes. - Hermitianos 2 × 2 com traço de 0 Nesse sentido, as matrizes de Pauli geram . Portanto, podem ser vistos como os geradores infinitesimais do grupo de Lie correspondente SU (2) .
svocê(2){\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}svocê(2){\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}eu{\ displaystyle i}euσj{\ displaystyle i \ sigma _ {j}}svocê(2){\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}euσj{\ displaystyle i \ sigma _ {j}}
A álgebra de é isomórfica à álgebra de Lie , que corresponde ao grupo de Lie SO (3) , o grupo de rotações tridimensionais. Em outras palavras, são as realizações de rotações "infinitesimais" em um espaço tridimensional (na verdade, são as realizações de uma dimensão inferior).
svocê(2){\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}so(3){\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}euσj{\ displaystyle i \ sigma _ {j}}
Para um vetor de rotação tridimensional e o vetor composto por matrizes de Pauli, temos a seguinte relação:
ω→{\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}σ→=(σ1,σ2,σ3){\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} = (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3})}
e-euσ→⋅ω→/2=eu⋅porque(ω/2)-euω^⋅σ→pecado(ω/2){\ displaystyle e ^ {- i {\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {\ omega}} / 2} = I \ cdot \ cos (\ omega / 2) -i {\ hat {\ omega} } \ cdot {\ vec {\ sigma}} \ sin (\ omega / 2)}
onde está o ângulo de rotação (a norma de ) e .
ω{\ displaystyle \ omega}ω→{\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}ω^=ω→/ω{\ displaystyle {\ hat {\ omega}} = {\ vec {\ omega}} / \ omega}
Outras formulações
Matrizes σ+ e σ-{\ displaystyle \ sigma ^ {+} {\ text {e}} \ sigma ^ {-}}
Na mecânica quântica, as matrizes de Pauli podem ser substituídas por matrizes , definidas por
σ+ e σ-{\ displaystyle \ sigma ^ {+} {\ text {e}} \ sigma ^ {-}}
σ+=12(σx+euσy)=(0100){\ displaystyle \ sigma ^ {+} = {\ frac {1} {2}} (\ sigma ^ {x} + i \ sigma ^ {y}) = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}e .
σ-=12(σx-euσy)=(0010){\ displaystyle \ sigma ^ {-} = {\ frac {1} {2}} (\ sigma ^ {x} -i \ sigma ^ {y}) = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}
Sua mudança é .
[σ+,σ-]=σz{\ displaystyle [\ sigma ^ {+}, \ sigma ^ {-}] = \ sigma ^ {z}}
Ao escolher vetores como base , as matrizes agem como e .
VS2{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}|↑⟩=(10),|↓⟩=(01){\ displaystyle | \ uparrow \ rangle = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}, | \ downarrow \ rangle = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}σ+ e σ-{\ displaystyle \ sigma ^ {+} {\ text {e}} \ sigma ^ {-}}σ+|↑⟩=0,σ+|↓⟩=|↑⟩{\ displaystyle \ sigma ^ {+} | \ uparrow \ rangle = 0, \ sigma ^ {+} | \ downarrow \ rangle = | \ uparrow \ rangle}σ-|↓⟩=0,σ-|↑⟩=|↓⟩{\ displaystyle \ sigma ^ {-} | \ downarrow \ rangle = 0, \ sigma ^ {-} | \ uparrow \ rangle = | \ downarrow \ rangle}
Quatérnions
Os quatérnions verificam propriedades próximas às das matrizes de Pauli. De fato, é possível identificar a unidade real dos quatérnios com a matriz de identidade e as três unidades , e com as matrizes de Pauli (exceto por um fator multiplicativo ).
eu{\ displaystyle i}j{\ displaystyle j}k{\ displaystyle k}±eu{\ displaystyle \ pm i}
Fisica
Em mecânica quântica, os iσ j representam os geradores de rotações em partículas não relativísticas de spin ½. O estado dessas partículas é representado por espinores de dois componentes, que é a representação fundamental de SU (2). Uma propriedade interessante das partículas de ½ spin é que elas devem passar por uma rotação de 4π radianos para retornar à sua configuração original. Isso se deve ao fato de que SU (2) e SO (3) não são globalmente isomórficos, apesar de seu gerador infinitesimal, su (2) e assim (3), serem isomórficos. SU (2) é de fato um “revestimento de grau dois” de SO (3): a cada elemento de SO (3) correspondem dois elementos de SU (2).
Na mecânica quântica de multipartículas, o grupo de Pauli (en) G n também é útil. É definido como todos os produtos tensores n-dimensionais de matrizes de Pauli.
Com a matriz identidade I, às vezes denotada por σ 0 , as matrizes de Pauli formam uma base do espaço vetorial real das matrizes hermitianas complexas 2 × 2. Este espaço vetorial é equivalente ao conjunto de quatérnios . Quando usado como base para o operador de rotação de ½ spin, é o mesmo que para a representação de rotação de quatérnio correspondente.
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Referência
-
(en) Richard L. Liboff (en) , Introductory Quantum Mechanics , Addison-Wesley , 2002 ( ISBN 0805387145 )
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