Matriz de dirac
As matrizes de Dirac são matrizes introduzidas por Paul Dirac , durante a pesquisa de uma equação de onda relativística do elétron .
Interesse
A contrapartida relativística da equação de Schrödinger é a equação de Klein-Gordon . Isso descreve partículas de spin 0 e não é adequado para elétrons de spin 1/2. Dirac então tentou encontrar uma equação linear como a de Schrödinger na forma:
eu∂ψ∂t=(1euα⋅∇+βm)ψ≡Hψ{\ displaystyle i {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} = \ left ({\ frac {1} {i}} \ mathbf {\ alpha} \ cdot \ nabla + \ beta m \ right) \ psi \ equiv H \ psi}onde é uma função de onda vetorial , a massa da partícula, o hamiltoniano e são respectivamente um vetor de matrizes ermíticas e uma matriz eremítica . A equação de Dirac deve respeitar as três restrições a seguir:
ψ{\ displaystyle \ psi} m{\ displaystyle m}H{\ displaystyle H}α,β{\ displaystyle \ mathbf {\ alpha}, \ beta}
- Os componentes de devem satisfazer a equação de Klein-Gordon, uma onda plana cuja solução é:
ψ{\ displaystyle \ psi}
E2=p2+m2{\ displaystyle E ^ {2} = \ mathbf {p} ^ {2} + m ^ {2}} ;
- Existe um quadrivetor de densidade de corrente conservado e cuja componente temporal é uma densidade positiva (identificada com a carga elétrica);
- Os componentes de não devem satisfazer nenhuma condição auxiliar, isto é que em um dado momento são funções independentes de .ψ{\ displaystyle \ psi}x{\ displaystyle x}
Matrizes de Dirac
Dirac propôs que as matrizes ermíticas sejam anticommutantes e quadradas iguais a um. Ou seja, eles obedecem à seguinte álgebra :
{αeu,αk}=0,eu≠k{\ displaystyle \ left \ {\ alpha _ {i}, \ alpha _ {k} \ right \} = 0 \ ,, \ qquad i \ neq k}
{αeu,β}=0{\ displaystyle \ left \ {\ alpha _ {i}, \ beta \ right \} = 0}
αeu2=β2=eu{\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {2} = \ beta ^ {2} = I}
onde os colchetes são o anti-switch e a matriz de identidade.
{NO,B}=NOB+BNO{\ displaystyle \ left \ {A, B \ right \} = AB + BA}eu{\ displaystyle I}
Ao elevar a equação de Dirac ao quadrado, verificamos imediatamente se a primeira condição foi satisfeita. Em seguida, apresentamos as matrizes de Dirac adequadas:
γµ{\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu}}
γ0=β{\ displaystyle \ gamma ^ {0} = \ beta}
γeu=βαeu,eu=1,2,3{\ displaystyle \ gamma ^ {i} = \ beta \ alpha ^ {i} \ ,, \ qquad i = 1,2,3}
{γµ,γν}=2gµνeu,µ,ν=0,1,2,3{\ displaystyle \ left \ {\ gamma ^ {\ mu}, \ gamma ^ {\ nu} \ right \} = 2g ^ {\ mu \ nu} I \ ,, \ qquad \ mu, \ nu = 0,1, 2 , 3}
onde está a métrica de Minkowski.
gµν=deunog(1,-1,-1,-1){\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu} = \ mathrm {diag} (1, -1, -1, -1)}
The slash Feynman
Também apresentamos a " barra " de Feynman :
⧸no=γµnoµ{\ displaystyle \ not \! a = \ gamma ^ {\ mu} a _ {\ mu}}A equação de Dirac assume a forma:
(euγµ∂µ-m)ψ≡(eu⧸∂-m)ψ=0{\ displaystyle \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} -m \ right) \ psi \ equiv \ left (i \ not \! \ partial -m \ right) \ psi = 0}Uma representação explícita, chamada de "representação padrão", é dada por:
γ0=(eu00-eu){\ displaystyle \ gamma ^ {0} = {\ begin {pmatrix} I & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & -I \ end {pmatrix}}}
γeu=(0σeu-σeu0){\ displaystyle \ gamma ^ {i} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & \ sigma ^ {i} \\ - \ sigma ^ {i} & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}
β=(eu00-eu){\ displaystyle \ beta = {\ begin {pmatrix} I & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & -I \ end {pmatrix}}}
αeu=(0σeuσeu0){\ displaystyle \ alpha ^ {i} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & \ sigma ^ {i} \\\ sigma ^ {i} & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}
onde é a matriz unitária 2 × 2 e são as matrizes de Pauli .
eu{\ displaystyle I}σeu{\ displaystyle \ sigma ^ {i}}
Esta representação é particularmente prática porque destaca o caráter spinor (devido ao spin meio-inteiro) da função de onda do elétron e separa os componentes da energia positiva e negativa. Então, escrevendo a função de onda como um bispinor :
ψ=(ϕχ){\ displaystyle \ psi = {\ begin {pmatrix} \ phi \\\ chi \ end {pmatrix}}}onde e são dois espinores , a equação de Dirac torna-se:
ϕ{\ displaystyle \ phi}χ{\ displaystyle \ chi}
eu∂ϕ∂t=mϕ+1euσ⋅∇χ{\ displaystyle i {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} = m \ phi + {\ frac {1} {i}} \ mathbf {\ sigma} \ cdot \ nabla \ chi}
eu∂χ∂t=-mχ+1euσ⋅∇ϕ{\ displaystyle i {\ frac {\ partial \ chi} {\ partial t}} = - m \ chi + {\ frac {1} {i}} \ mathbf {\ sigma} \ cdot \ nabla \ phi}
Ao introduzir a função de onda conjugada como:
ψ¯=ψ†γ0{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} = \ psi ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0}}Nós achamos :
ψ¯(eu⧸∂←+m)=0{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ left (i {\ overleftarrow {\ not \! \ partial}} + m \ right) = 0}E com a equação de Dirac, isso dá:
ψ¯(⧸∂←+⧸∂→)ψ≡∂µ(ψ¯γµψ)=0{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ left ({\ overleftarrow {\ not \! \ partial}} + {\ overrightarrow {\ not \! \ partial}} \ right) \ psi \ equiv \ partial _ { \ mu} \ left ({\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi \ right) = 0}O que dá uma corrente conservada:
jµ=ψ¯γµψ{\ displaystyle j ^ {\ mu} = {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi}Cujo componente temporal é positivo.
j0=ρ=ψ¯γ0ψ=ψ†ψ{\ displaystyle j ^ {0} = \ rho = {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {0} \ psi = \ psi ^ {\ dagger} \ psi}
Também definimos a matriz:
γ5=euγ0γ1γ2γ3{\ displaystyle \ \ gamma ^ {5} = i \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3}}O uso de, portanto, torna possível construir diferentes tipos de combinações, tais como:
γ5{\ displaystyle \ gamma ^ {5}}
- de vectores : ;ψ¯γµψ{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {\ mu} \ psi}
- de pseudovecteurs : ;ψ¯γ5γµψ{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {5} \ gamma ^ {\ mu} \ psi}
- de escalares : ;ψ¯ψ{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ psi}
- de pseudoscalar : .ψ¯γ5ψ{\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ gamma ^ {5} \ psi}
Verificamos facilmente a covariância relativística de todo esse formalismo.
Traços
Para o cálculo de seções transversais em física de partículas, muitas vezes é útil ter esses poucos resultados nos traços dessas matrizes:
-
Tr[γαγβ]=4gαβ{\ displaystyle Tr [\ gamma ^ {\ alpha} \ gamma ^ {\ beta}] = 4g ^ {\ alpha \ beta}} ;
-
Tr[γαγβγµγν]=4(gαβgµν-gαµgβν+gανgβµ){\ displaystyle Tr [\ gamma ^ {\ alpha} \ gamma ^ {\ beta} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu}] = 4 (g ^ {\ alpha \ beta} g ^ {\ mu \ nu} -g ^ {\ alpha \ mu} g ^ {\ beta \ nu} + g ^ {\ alpha \ nu} g ^ {\ beta \ mu})} ;
-
Tr[γ5]=0{\ displaystyle Tr [\ gamma ^ {5}] = 0} ;
-
Tr[γ5γαγβ]=0{\ displaystyle Tr [\ gamma ^ {5} \ gamma ^ {\ alpha} \ gamma ^ {\ beta}] = 0} ;
-
Tr[{\ displaystyle Tr [}de um número ímpar de .γ]=0{\ displaystyle \ gamma] = 0}
Representações
As matrizes de Dirac são totalmente determinadas pela relação:
γµγν+γνγµ=2ηµν.eu4{\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} + \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ mu} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu} .I_ {4}}onde está o tensor de Minkowski . Nós também temos .
ηµν{\ displaystyle \ eta ^ {\ mu \ nu}}γµγµ=4{\ displaystyle \ gamma _ {\ mu} \ gamma ^ {\ mu} = 4}
Há um número infinito de soluções possíveis para a relação anterior. Para matrizes 4 × 4, o conjunto de soluções é uma álgebra 4-dimensional, uma álgebra de Clifford conhecida e as quatro matrizes de Dirac formam uma base. De acordo com a base escolhida, as matrizes de Dirac possuem coeficientes diferentes, e essa escolha é chamada de representação das matrizes de Dirac .
VS-{\ displaystyle \, \ mathbb {C} -}VSeu1,3VS{\ displaystyle \, Cl_ {1,3} \ mathbb {C} \,}
Representação de Dirac
Esta é a "representação padrão". É obtido a partir da representação de Weyl graças ao operador da unidade U:
você=12(11-11){\ displaystyle U = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 e 1 \\ - 1 e 1 \ end {pmatrix}}}As matrizes são então escritas:
γDµ=vocêγCµvocê†{\ displaystyle \ gamma _ {D} ^ {\ mu} = U \ gamma _ {W} ^ {\ mu} U ^ {\ dagger}}
γD0=(eu00-eu){\ displaystyle \ gamma _ {D} ^ {0} = {\ begin {pmatrix} I & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & -I \ end {pmatrix}}}
γDeu=(0σeu-σeu0){\ displaystyle \ gamma _ {D} ^ {i} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & \ sigma _ {i} \\ - \ sigma _ {i} & \ mathbf {0} \ end { pmatrix}}}
γD5=(0eueu0){\ displaystyle \ gamma _ {D} ^ {5} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & I \\ I & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}
Representação de Weyl
Representação que aparece "naturalmente" quando se busca derivar a equação de Dirac usando as representações irredutíveis do grupo de Lorentz . Nesta base, as matrizes possuem a seguinte forma:
γµ{\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu}}
γC0=(0eueu0){\ displaystyle \ gamma _ {W} ^ {0} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & I \\ I & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}
γCeu=(0σeu-σeu0){\ displaystyle \ gamma _ {W} ^ {i} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & \ sigma _ {i} \\ - \ sigma _ {i} & \ mathbf {0} \ end { pmatrix}}}
γC5=(-eu00eu){\ displaystyle \ gamma _ {W} ^ {5} = {\ begin {pmatrix} -I & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & I \ end {pmatrix}}}
Representação de Majorana
A representação de Majorana é obtida a partir da "representação padrão" usando a seguinte matriz de unidade U:
você=12(γD0γD2+γD0){\ displaystyle U = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (\ gamma _ {D} ^ {0} \ gamma _ {D} ^ {2} + \ gamma _ {D} ^ {0 })}Esta representação tem a interessante propriedade de que todas as matrizes são puramente imaginárias, o que torna os cálculos convenientes quando se considera o operador de conjugação de carga.
γµ{\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu}}
Representação quiral
γ0=β=(0-eu-eu0){\ displaystyle \ gamma ^ {0} = \ beta = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & -I \\ - I & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}
α=(σ00-σ){\ displaystyle \ mathbf {\ alpha} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {\ sigma} & \ mathbf {0} \\\ mathbf {0} & - \ mathbf {\ sigma} \ end {pmatrix}}}
γ=(0σ-σ0){\ displaystyle \ mathbf {\ gamma} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & \ mathbf {\ sigma} \\ - \ mathbf {\ sigma} & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}
Sua vantagem é que os dois spinors se transformam independentemente sob rotações e translações . É particularmente útil para partículas sem massa, sendo as equações consideravelmente simplificadas. Foi usado para o neutrino, embora as oscilações dos neutrinos mostrem que sua massa não é zero.
Notas e referências
-
W. Pauli (1936), “Contribuições matemáticas para a teoria das matrizes de Dirac”, em Annales de l'Institut Henri Poincaré (Vol. 6, No. 2, pp. 109-136). Editoras universitárias da França.
-
Esta definição corresponde àquela que encontramos, por exemplo, no livro de Edgard Elbaz Quantique (elipses, 1995), outra definição, que difere apenas pela adição de um sinal -, está presente em Lev Landau e Evgueni Lifchits , Teórico Física , t. 4: Eletrodinâmica quântica [ detalhe das edições ], § 22.
Veja também
Artigos relacionados
Link externo
Bibliografia
- Lev Landau e Evgueni Lifchits , Física Teórica , t. 4: Eletrodinâmica quântica [ detalhe das edições ]
- Choquet-Bruhat, Y. (1982). Solução global das equações de Maxwell-Dirac-Klein-Gordon . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 31 (2), 267-288 ( resumo ).
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(pt) Itzykson, C., & Zuber, JB (2005). Teoria Quântica de Campos . Publicações Courier Dover .
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- McLenaghan, RG, & Spindel, P. (1979). Integrais primários das equações de Dirac no espaço curvo . Touro. Soc. Matemática. Belg, 31, 30.
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(en) Mandl, F., & Shaw, G. (2010). Teoria Quântica de Campos . John Wiley & Sons .
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- Nelipa, N. física de partículas elementares
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<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">