Matrizes de Pauli
As matrizes de Pauli , desenvolvidas por Wolfgang Pauli , formam, até o fator i , uma base da álgebra de Lie do grupo SU (2) .
Eles são definidos como o conjunto de matrizes complexas de dimensões 2 × 2 a seguir:
σ1=σx=(0110){\ displaystyle \ sigma _ {1} = \ sigma _ {x} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}
σ2=σy=(0-eueu0){\ displaystyle \ sigma _ {2} = \ sigma _ {y} = {\ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix}}}
σ3=σz=(100-1){\ displaystyle \ sigma _ {3} = \ sigma _ {z} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}
(onde i é a unidade imaginária de números complexos).
Essas matrizes são usadas na mecânica quântica para representar o spin das partículas , em particular desde 1927 no estudo não relativístico do spin do elétron: a equação de Pauli .
Propriedades
Identidades
- σ12=σ22=σ32=(1001)=eu2{\ displaystyle \ sigma _ {1} ^ {2} = \ sigma _ {2} ^ {2} = \ sigma _ {3} ^ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = I_ {2}}
![{\ displaystyle \ sigma _ {1} ^ {2} = \ sigma _ {2} ^ {2} = \ sigma _ {3} ^ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = I_ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deeb07e89c75b8b4535c36cb201bef08be1b867b)
- σ1σ2=euσ3{\ displaystyle \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} = i \ sigma _ {3} \, \!}
![{\ displaystyle \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} = i \ sigma _ {3} \, \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f14a48c2491aa6784a709e23541bfd11f2e3fa7)
- σ3σ1=euσ2{\ displaystyle \ sigma _ {3} \ sigma _ {1} = i \ sigma _ {2} \, \!}
![{\ displaystyle \ sigma _ {3} \ sigma _ {1} = i \ sigma _ {2} \, \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a9de5c8ab1b7dfdb8d6225eb27c9fc254d5e0c)
- σ2σ3=euσ1{\ displaystyle \ sigma _ {2} \ sigma _ {3} = i \ sigma _ {1} \, \!}
![{\ displaystyle \ sigma _ {2} \ sigma _ {3} = i \ sigma _ {1} \, \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffb2091f6c488d21063eb945309b3c784a64e925)
- σeuσj=-σjσeu para eu≠j{\ displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = - \ sigma _ {j} \ sigma _ {i} {\ mbox {para}} i \ neq j \, \!}
![{\ displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = - \ sigma _ {j} \ sigma _ {i} {\ mbox {para}} i \ neq j \, \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a070e8c0a02956d3378011b3a04d542e05be03f)
Essas identidades implicam na fórmula (no→⋅σ→)(b→⋅σ→)=no→⋅b→eu2+euno→×b→⋅σ→{\ displaystyle ({\ vec {a}} \ cdot {\ vec {\ sigma}}) ({\ vec {b}} \ cdot {\ vec {\ sigma}}) = {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}} \, I_ {2} + i \, {\ vec {a}} \ times {\ vec {b}} \ cdot {\ vec {\ sigma}}}
Valores próprios e vetores próprios
O determinante e o traço das matrizes de Pauli são:
det(σeu)=-1Tr(σeu)=0para eu∈{1;2;3}{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ det (\ sigma _ {i}) & = & - 1 & \\ [1ex] \ operatorname {Tr} (\ sigma _ {i}) & = & 0 & \ end {matriz}} \ quad {\ hbox {para}} \ i \ in \ {1; 2; 3 \}}![{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ det (\ sigma _ {i}) & = & - 1 & \\ [1ex] \ operatorname {Tr} (\ sigma _ {i}) & = & 0 & \ end {matriz}} \ quad {\ hbox {para}} \ i \ in \ {1; 2; 3 \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ae363b1b4da40faf339f42f5c93a4ee23093e77)
Portanto, os valores próprios de cada matriz são ± 1.
Cada uma das três matrizes tem dois vetores próprios:
- Para : eσ1{\ displaystyle \ sigma _ {1}}
(11){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix}}}
(1-1){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ - 1 \ end {pmatrix}}}
- Para : eσ2{\ displaystyle \ sigma _ {2}}
(1eu){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ i \ end {pmatrix}}}
(1-eu){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ - i \ end {pmatrix}}}
- Para : eσ3{\ displaystyle \ sigma _ {3}}
(10){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}
(01){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}
Outras propriedades
As matrizes de Pauli obedecem às seguintes relações de comutação e anticomutação :
[σeu,σj]=2euϵeujkσk{σeu,σj}=2δeuj⋅eu{\ displaystyle {\ begin {matrix} [\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j}] & = & 2i \, \ epsilon _ {ijk} \, \ sigma _ {k} \\ [1ex] \ {\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j} \} & = & 2 \ delta _ {ij} \ cdot I \ end {matriz}}}![{\ displaystyle {\ begin {matrix} [\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j}] & = & 2i \, \ epsilon _ {ijk} \, \ sigma _ {k} \\ [1ex] \ {\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j} \} & = & 2 \ delta _ {ij} \ cdot I \ end {matriz}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/373615c65651dbf9e1535b39b46839dc9c9a74cb)
onde está o símbolo de Levi-Civita , é o símbolo de Kronecker e é a matriz de identidade . As relações acima podem ser verificadas usando:
ϵeujk{\ displaystyle \ epsilon _ {ijk}}
δeuj{\ displaystyle \ delta _ {ij}}
eu{\ displaystyle I}![eu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f)
σeuσj=euϵeujkσk+δeuj⋅eu{\ displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = i \ epsilon _ {ijk} \ sigma _ {k} + \ delta _ {ij} \ cdot I}![{\ displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = i \ epsilon _ {ijk} \ sigma _ {k} + \ delta _ {ij} \ cdot I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351f859748ca4047b3d9800581d4b60ba3ac367a)
.
Essas relações de comutatividade são semelhantes às da álgebra de Lie e, de fato, podem ser interpretadas como a álgebra de Lie de todas as combinações lineares dos tempos imaginários das matrizes de Pauli , ou seja, como as anti-matrizes. - Hermitianos 2 × 2 com traço de 0 Nesse sentido, as matrizes de Pauli geram . Portanto, podem ser vistos como os geradores infinitesimais do grupo de Lie correspondente SU (2) .
svocê(2){\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}
svocê(2){\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}
eu{\ displaystyle i}
euσj{\ displaystyle i \ sigma _ {j}}
svocê(2){\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}
euσj{\ displaystyle i \ sigma _ {j}}![{\ displaystyle i \ sigma _ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b58d81b893a4b7c78fcf19f9093c4a88bcf00ebe)
A álgebra de é isomórfica à álgebra de Lie , que corresponde ao grupo de Lie SO (3) , o grupo de rotações tridimensionais. Em outras palavras, são as realizações de rotações "infinitesimais" em um espaço tridimensional (na verdade, são as realizações de uma dimensão inferior).
svocê(2){\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}
so(3){\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}
euσj{\ displaystyle i \ sigma _ {j}}![{\ displaystyle i \ sigma _ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b58d81b893a4b7c78fcf19f9093c4a88bcf00ebe)
Para um vetor de rotação tridimensional e o vetor composto por matrizes de Pauli, temos a seguinte relação:
ω→{\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}
σ→=(σ1,σ2,σ3){\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} = (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3})}![{\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} = (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee0afa4e0df870104dfa10e48846db373e9675e9)
e-euσ→⋅ω→/2=eu⋅porque(ω/2)-euω^⋅σ→pecado(ω/2){\ displaystyle e ^ {- i {\ vec {\ sigma}} \ cdot {\ vec {\ omega}} / 2} = I \ cdot \ cos (\ omega / 2) -i {\ hat {\ omega} } \ cdot {\ vec {\ sigma}} \ sin (\ omega / 2)}
onde está o ângulo de rotação (a norma de ) e .
ω{\ displaystyle \ omega}
ω→{\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}
ω^=ω→/ω{\ displaystyle {\ hat {\ omega}} = {\ vec {\ omega}} / \ omega}![{\ displaystyle {\ hat {\ omega}} = {\ vec {\ omega}} / \ omega}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8f4c1eb1ba592be5b1fe453594532a60e3b0d4e)
Outras formulações
Matrizes σ+ e σ-{\ displaystyle \ sigma ^ {+} {\ text {e}} \ sigma ^ {-}}
Na mecânica quântica, as matrizes de Pauli podem ser substituídas por matrizes , definidas por
σ+ e σ-{\ displaystyle \ sigma ^ {+} {\ text {e}} \ sigma ^ {-}}![{\ displaystyle \ sigma ^ {+} {\ text {e}} \ sigma ^ {-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11e36254f571da2889bb2565c41f0d46dba39c9)
σ+=12(σx+euσy)=(0100){\ displaystyle \ sigma ^ {+} = {\ frac {1} {2}} (\ sigma ^ {x} + i \ sigma ^ {y}) = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}
e .
σ-=12(σx-euσy)=(0010){\ displaystyle \ sigma ^ {-} = {\ frac {1} {2}} (\ sigma ^ {x} -i \ sigma ^ {y}) = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}![{\ displaystyle \ sigma ^ {-} = {\ frac {1} {2}} (\ sigma ^ {x} -i \ sigma ^ {y}) = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a942db695024204374798137759bc868abf5803)
Sua mudança é .
[σ+,σ-]=σz{\ displaystyle [\ sigma ^ {+}, \ sigma ^ {-}] = \ sigma ^ {z}}![{\ displaystyle [\ sigma ^ {+}, \ sigma ^ {-}] = \ sigma ^ {z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca54c6e091a57163ffd210e6cf413841b214ba86)
Ao escolher vetores como base , as matrizes agem como e .
VS2{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}
|↑⟩=(10),|↓⟩=(01){\ displaystyle | \ uparrow \ rangle = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}, | \ downarrow \ rangle = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}
σ+ e σ-{\ displaystyle \ sigma ^ {+} {\ text {e}} \ sigma ^ {-}}
σ+|↑⟩=0,σ+|↓⟩=|↑⟩{\ displaystyle \ sigma ^ {+} | \ uparrow \ rangle = 0, \ sigma ^ {+} | \ downarrow \ rangle = | \ uparrow \ rangle}
σ-|↓⟩=0,σ-|↑⟩=|↓⟩{\ displaystyle \ sigma ^ {-} | \ downarrow \ rangle = 0, \ sigma ^ {-} | \ uparrow \ rangle = | \ downarrow \ rangle}![{\ displaystyle \ sigma ^ {-} | \ downarrow \ rangle = 0, \ sigma ^ {-} | \ uparrow \ rangle = | \ downarrow \ rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/014b7b1971f4e28bb0ba0b14913df222ffb1d176)
Quatérnions
Os quatérnions verificam propriedades próximas às das matrizes de Pauli. De fato, é possível identificar a unidade real dos quatérnios com a matriz de identidade e as três unidades , e com as matrizes de Pauli (exceto por um fator multiplicativo ).
eu{\ displaystyle i}
j{\ displaystyle j}
k{\ displaystyle k}
±eu{\ displaystyle \ pm i}![\ pm eu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b7df63745bc6839de7b7df413c192f5816ff2e)
Fisica
Em mecânica quântica, os iσ j representam os geradores de rotações em partículas não relativísticas de spin ½. O estado dessas partículas é representado por espinores de dois componentes, que é a representação fundamental de SU (2). Uma propriedade interessante das partículas de ½ spin é que elas devem passar por uma rotação de 4π radianos para retornar à sua configuração original. Isso se deve ao fato de que SU (2) e SO (3) não são globalmente isomórficos, apesar de seu gerador infinitesimal, su (2) e assim (3), serem isomórficos. SU (2) é de fato um “revestimento de grau dois” de SO (3): a cada elemento de SO (3) correspondem dois elementos de SU (2).
Na mecânica quântica de multipartículas, o grupo de Pauli (en) G n também é útil. É definido como todos os produtos tensores n-dimensionais de matrizes de Pauli.
Com a matriz identidade I, às vezes denotada por σ 0 , as matrizes de Pauli formam uma base do espaço vetorial real das matrizes hermitianas complexas 2 × 2. Este espaço vetorial é equivalente ao conjunto de quatérnios . Quando usado como base para o operador de rotação de ½ spin, é o mesmo que para a representação de rotação de quatérnio correspondente.
Artigos relacionados
Referência
-
(en) Richard L. Liboff (en) , Introductory Quantum Mechanics , Addison-Wesley , 2002 ( ISBN 0805387145 )
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