Número poligonal

Em matemática , um número poligonal é um número figurativo que pode ser representado por um polígono regular . Os antigos matemáticos descobriram que os números podiam ser representados organizando de alguma forma pedras ou sementes. Por exemplo, o número 10 pode ser representado por um triângulo

Mas 10 não pode ser representado por um quadrado , enquanto o número 9 pode ser representado organizando cruzes para formar um quadrado.

Alguns números, como 36, podem ser um quadrado e um triângulo.

O método para ampliar um polígono é estender dois lados adjacentes por um único ponto e, em seguida, completar a figura com pontos para obter os lados faltantes adicionais. Nos diagramas a seguir, cada camada adicional é representada por pontos vermelhos. Para o $n-$ ésimo número $k$ -gonal, o número de pontos vermelhos é 1 + ( k - 2) ( n - 1).

Números triangulares

1		3		6		10

Números quadrados

1		4		9		16

Números hexagonais

1		6		15		28

Para qualquer inteiro k ≥ 3, o primeiro número $k$ -gonal é P k , 1 = 1, o segundo é P k , 2 = k , o $n$ -ésimo é a soma dos n primeiros termos da sequência aritmética do primeiro termo 1 e da razão k - 2:

{\ displaystyle P_ {k, n} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (1+ (k-2) (i-1) \ right) = n + (k-2) \ { \ frac {n (n-1)} {2}} = n \ {\ frac {(k-2) n- (k-4)} {2}} = n + (k-2) P_ {3, n- 1}}

Se $k$ é estranho, ${\ displaystyle (k-2) P_ {k, n} + {\ frac {(k-3) (k-5)} {8}} = P_ {3, (k-2) n- (k-3 ) / 2}}$ .

k	Sobrenome	P k, n	não										Link OEIS
k	Sobrenome	P k, n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Link OEIS
3	triangular	n ( n + 1) / 2	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	A000217
4	quadrado	n 2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	A000290
5	pentagonal	n (3 n - 1) / 2	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	A000326
6	hexagonal	n (2 n - 1)	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	A000384
7	heptagonal	n (5 n - 3) / 2	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	A000566
8	octogonal	n (3 n - 2)	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	A000567
9	eneagonal	n (7 n - 5) / 2	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325	A001106
10	decagonal	n (4 n - 3)	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	A001107
11	undecagonal	n (9 n - 7) / 2	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415	A051682
12	dodecagonal	n (5 n - 4)	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460	A051624
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
10.000	miriagonal	n (4999 n - 4998)	1	10.000	29.997	59.992	99.985	149.976	209.965	279.952	359 937	449 920	A167149

A Enciclopédia Eletrônica de Sequência Completa evita termos que usam prefixos gregos (como "octogonal") e preferencialmente usa termos que usam prefixos numéricos (como "8-gonal").

Interesse

Além de vários jogos aritmético-geométricos , temos na aritmética aditiva / combinatória aditiva o seguinte poderoso teorema.

Teorema de Fermat-Cauchy

Teorema do número poligonal de Fermat : Qualquer número natural é a soma de no máximo k números k-gonais.

Assim, qualquer número inteiro positivo é a soma de no máximo 3 números triangulares, 4 quadrados ... ou 10 números decagonais.

Por exemplo :

17 = 10 + 6 + 1 ( números triangulares ) 17 = 16 + 1 ( números quadrados ) 17 = 12 + 5 ( números pentagonais ).

Este teorema foi declarado pela primeira vez sem provas por Pierre de Fermat , que proclamou sua intenção de escrever um livro que revolucionaria esta parte da aritmética, mas nenhum livro apareceu.

Joseph Louis Lagrange então estabeleceu, em 1770, seu teorema dos quatro quadrados : Qualquer número inteiro positivo é a soma de no máximo 4 quadrados perfeitos .

Portanto, 7 = 4 + 1 + 1 + 1.

Então, em 1796, Gauss lidou com o caso dos números triangulares.

Finalmente, o teorema foi totalmente provado por Cauchy em 1813.

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Número poligonal " ( ver a lista de autores ) .

Paul Tannery e Charles Henry , Works of Fermat , t. 3, 1896, pág. 252: Comentário de Bachet sobre IV, 31 .

Veja também

Bibliografia

(pt) Melvyn Nathanson , " Uma curta prova do teorema do número poligonal de Cauchy " , Proc. Amargo. Matemática. Soc. , vol. 99,1987, p. 22-24 ( ler online )
(en) David Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (en) , Penguin Books, 1997 ( ISBN 0-14-026149-4 )

Link externo

(en) Eric W. Weisstein , “ Polygonal Number ” , no MathWorld