Perpendicularidade
A quadratura (do latim per-pêndulo , " prumo ") é o caráter de ambas as entidades geométricas se cruzando em ângulos retos . A perpendicularidade é uma propriedade importante da geometria e da trigonometria , um ramo da matemática baseado em triângulos retângulos , dotado de propriedades particulares graças aos seus dois segmentos perpendiculares.
Na geometria plana , duas linhas são perpendiculares quando se cruzam em um ângulo reto. A noção de perpendicularidade se estende ao espaço para linhas ou planos .
As noções de ortogonalidade e perpendicularidade, embora semelhantes, possuem especificidades próprias e não devem ser confundidas.
Em geometria plana
Na geometria euclidiana plana, duas linhas não paralelas são sempre secantes. Quando eles se cruzam em um ângulo reto (ou seja, quatro ângulos retos), eles são considerados perpendiculares. As direções das linhas sendo ortogonais , as linhas também são ditas ortogonais. Por outro lado, dois segmentos podem ter direções ortogonais sem se cruzarem. Somente se os segmentos se cruzarem em um ângulo reto, eles serão considerados perpendiculares.
No plano, através de um determinado ponto, apenas uma linha passa perpendicular a uma determinada linha.
No plano, as noções de linhas perpendiculares e paralelas são vinculadas pelas seguintes propriedades:
- Se duas linhas são perpendiculares, qualquer linha paralela a uma é perpendicular à outra.
- Se duas linhas são paralelas, qualquer linha perpendicular a uma é perpendicular à outra.
- Se duas linhas são perpendiculares à mesma linha, elas são paralelas uma à outra.
Se o plano é fornecido com um sistema de coordenadas ortonormal [podemos, assumindo adquirido o teorema de Pitágoras , através da condição mencionada na ilustração, encontrar a condição clássica (ac + bd = 0) de modo que dois vetores u (a, b) ev (c, d) são perpendiculares (também dizemos ortogonais)], e se as retas são definidas pelas equações e , as retas são perpendiculares se e somente se o produto de seus coeficientes-guia aa 'for igual a -1.
Se o plano tem um sistema de coordenadas ortonormal e se as retas são definidas pelas equações e , as retas são perpendiculares se e somente se .
Notamos a perpendicularidade com o símbolo ; assim, indica que o segmento PQ é perpendicular ao segmento AB.
No espaço tridimensional
Linhas perpendiculares
Duas linhas no espaço são perpendiculares se e somente se elas se cruzam em um ângulo reto. No espaço, as linhas não paralelas não podem se cruzar. Se uma das linhas for paralela a uma linha perpendicular à outra, as duas linhas são consideradas ortogonais . Eles só serão ditos perpendiculares se forem secantes.
No espaço, se uma linha é fornecida e se um ponto não localizado na linha é fornecido, há apenas uma linha passando pelo ponto dado e perpendicular à linha dada. Se o ponto estiver localizado na linha, há uma infinidade de linhas passando por este ponto e perpendiculares à linha dada.
No espaço, as noções de paralelos e perpendiculares não estão mais ligadas.
- Se duas linhas são perpendiculares, qualquer linha paralela a uma é apenas ortogonal à outra. Só será perpendicular ao outro se o cortar.
- Se duas linhas são paralelas, qualquer linha perpendicular a uma é apenas ortogonal à outra. Só será perpendicular ao outro se o cortar
- Duas linhas podem ser perpendiculares à mesma linha sem serem paralelas, basta, por exemplo, pegar as três linhas que sustentam as bordas do canto de um cubo .
Linha perpendicular a um plano
No espaço, se uma linha não é paralela a um plano, ela sempre cruza esse plano. Se a linha é perpendicular a duas linhas que se cruzam no plano, diremos que a linha é perpendicular ao plano. A linha será ortogonal a todas as linhas do plano. Essa propriedade às vezes é chamada de teorema da porta porque explica por que uma porta pode girar nas dobradiças se seu eixo de rotação for perpendicular ao chão.
No espaço, por um determinado ponto, passa apenas uma linha perpendicular a um determinado plano e apenas um plano perpendicular a uma determinada linha.
Em seguida, encontramos relações mais interessantes em perpendicular e paralelo
- Se uma linha é perpendicular a um plano, qualquer linha paralela à primeira também é perpendicular ao plano, qualquer plano paralelo ao primeiro plano também é perpendicular à linha
- Se duas linhas são paralelas, qualquer plano perpendicular a uma é perpendicular à outra. Se dois planos são paralelos, qualquer linha perpendicular a um é perpendicular ao outro.
- Se dois planos são perpendiculares à mesma linha, eles são paralelos. Da mesma forma, se duas linhas são perpendiculares ao mesmo plano, elas são paralelas.
A direção perpendicular a uma superfície em um ponto costuma ser chamada de direção normal à superfície ou ortogonal .
Planos perpendiculares
A noção de planos perpendiculares, embora intuitiva, é muito perigosa porque praticamente não possui propriedades. Para entender a noção de planos perpendiculares, devemos retornar à primeira definição de perpendículo ( linha de prumo ) e à noção de plano vertical e plano horizontal . Um plano horizontal é um plano perpendicular à direção do fio de prumo. Um plano vertical é um plano que contém a direção da linha de prumo. Um plano vertical é então considerado perpendicular ao plano horizontal.
Desta primeira noção nasce a seguinte definição: Um plano é perpendicular a outro, se contém uma reta perpendicular ao segundo plano. Provamos que esta relação é simétrica.
Não há noção de planos ortogonais na dimensão 3. Dois planos seriam ortogonais se qualquer direção do primeiro plano fosse ortogonal a qualquer direção do segundo plano, o que é materialmente impossível.
Devemos ser cautelosos com a noção de planos perpendiculares. Por exemplo :
- dois planos perpendiculares podem conter linhas paralelas
- dois planos perpendiculares a um terceiro não são necessariamente paralelos (veja as faces do cubo ).
No entanto, ainda existem algumas propriedades
- Se dois planos são perpendiculares, um plano paralelo a um é perpendicular ao outro
- Se dois planos são paralelos, um plano perpendicular a um é perpendicular ao outro.
Noção geral de subespaços perpendiculares em qualquer dimensão
Em um espaço euclidiano , dois subespaços de vetor são considerados ortogonais quando qualquer vetor de um é ortogonal a qualquer vetor do outro. Eles são, então, automaticamente diretos . Assim, dois planos do espaço euclidiano tridimensional não podem ser ortogonais.
Dois subespaços de vetor são considerados perpendiculares quando seus subespaços ortogonais suplementares são ortogonais. Assim, dois planos vetoriais do espaço tridimensional são perpendiculares quando suas linhas normais são ortogonais.
Notas e referências
- Serge Lang, álgebra linear 1 , intereditions, p. 13 e 17