Esfera de homologia

Na topologia algébrica , uma esfera de homologia (ou novamente, toda a esfera de homologia ) é uma multiplicidade de dimensões que tem os mesmos grupos de homologia que a esfera-padrão , ou seja: X{\ displaystyle X}não≥1{\ displaystyle n \ geq 1}não{\ displaystyle n} Snão{\ displaystyle S ^ {n}}

Hk(X;Z)={Zseuk∈{0,não},0seunãoonão.{\ displaystyle H_ {k} (X; \ mathbb {Z}) = \ left \ lbrace {\ begin {array} {rl} \ mathbb {Z} \ qquad & {\ rm {{si} \; k \ in \ {0, n \},}} \\ 0 \ qquad & {\ rm {caso contrário.}} \\\ end {array}} \ right.}

Tal variedade é relacionadas fechado (isto é compacto e sem borda ), orientável , e (para além de ) um único Betti número diferente de zero: . X{\ displaystyle X}b0=1{\ displaystyle b_ {0} = 1}bnão{\ displaystyle b_ {n}}

As esferas de homologia racional são definidas analogamente, com homologia com coeficientes racionais . Qualquer esfera inteira de homologia é uma esfera de homologia racional, mas o inverso não é verdade.

Grupo fundamental

Pois , a nulidade de não implica que ele está simplesmente conectado , mas apenas que seu grupo fundamental é perfeito (ver o teorema de Hurewicz ). não>1{\ displaystyle n> 1}b1{\ displaystyle b_ {1}}X{\ displaystyle X}

A única 3-esfera de homologia que é simplesmente conectada é a 3-esfera usual (veja a conjectura de Poincaré ). À parte da esfera de homologia de Poincaré (cf. abaixo), todas as outras têm um grupo fundamental infinito. S3{\ displaystyle S ^ {3}}

A existência de três esferas de homologia que não são simplesmente conectadas mostra que a conjectura de Poincaré não pode ser formulada em termos puramente homológicos.

Esfera de homologia de Poincaré

A esfera de homologia de Poincaré (não deve ser confundida com a esfera de Poincaré ) é uma esfera 3 particular de homologia. Seu grupo fundamental é o grupo binário icosaédrico  (en) . Este grupo admite apresentação , é da ordem 120 e é isomorfo ao grupo SL (2, Z / 5Z ). O grupo binário icosaédrico é o grupo de isometrias que deixa o invariante icosaedro elementar. É também o perfeito recobrimento duplo do grupo icosahedral . eu∗{\ displaystyle I ^ {*}} ⟨no,b|no2=b3=(b-1no)5⟩{\ displaystyle \ langle a, b | a ^ {2} = b ^ {3} = (b ^ {- 1} a) ^ {5} \ rangle}eu∗{\ displaystyle I ^ {*}} eu=NO5{\ displaystyle I = A_ {5}}

A esfera de homologia de Poincaré é construída de várias maneiras.

• Uma primeira é a partir do dodecaedro pela identificação de cada face com a face oposta, pela escolha do ângulo de rotação mínimo que se sobrepõe a essas duas faces (ver o artigo Espaço dodecaédrico de Poincaré ). Assim, obtemos uma variedade 3 fechada. (As outras duas escolhas possíveis de rotação fornecem uma variedade 3 hiperbólica  (em) - o espaço Seifert-Weber  (em) - ou o espaço projetivo ).RP3{\ displaystyle \ mathbb {R} P ^ {3}}

• Um segundo é o quociente SO (3) (que é homeomórfico para ) pelo grupo icosaédrico . Intuitivamente, isso significa que a esfera da homologia de Poincaré é o espaço de todas as posições visualmente distintas que um icosaedro regular de centro fixo pode assumir , no espaço euclidiano de dimensão 3.RP3{\ displaystyle \ mathbb {R} P ^ {3}}eu=NO5{\ displaystyle I = A_ {5}}

• Um terceiro, análogo ao anterior, é o quociente SU (2) (que é homeomórfico para , a cobertura universal de ) pelo grupo binário icosaédrico descrito acima.S3{\ displaystyle S ^ {3}}SO(3){\ displaystyle SO (3)}eu∗{\ displaystyle I ^ {*}}

• Uma quarta é a cirurgia Dehn  (em)  : a esfera de homologia de Poincaré é a cirurgia ao longo do nó do trifólio à direita com um emolduramento (em) .S3{\ displaystyle S ^ {3}} 

• Um quinto é colando novamente dois corpos com alças do mesmo tipo ao longo de sua borda de maneira apropriada (ver divisão de Heegaard  (en) ).

• Um sexto é a esfera de Brieskorn (veja abaixo).Σ(2,3,5){\ displaystyle \ Sigma (2,3,5)}

• Um sétimo é do pacote Seifert (veja abaixo).

• Outras formas são descritas em.

Construções e exemplos

Como as de Poincaré, as esferas da homologia podem ser construídas de várias maneiras.

• Qualquer cirurgia ao longo de um nó com ± 1 enquadramento dá uma 3-esfera de homologia.S3{\ displaystyle S ^ {3}}
• De forma mais geral, uma cirurgia também ao longo de um entrelaçamento , desde que a matriz formada pelos números de interseção (fora da diagonal) e os enquadramentos (na diagonal) tenha como determinante ± 1.
• Se , e são dois por dois inteiros positivos primos entre si, então o entrelaçamento da singularidade (ou seja, a interseção desta variedade 2- complexa com uma pequena 5-esfera centrada em 0) é a homologia 3-esferas de Brieskorn . É homeomórfico à esfera 3 padrão se , ou for igual a 1. A esfera de homologia de Poincaré é .p{\ displaystyle p}q{\ displaystyle q}r{\ displaystyle r}xp+yq+zr=0{\ displaystyle x ^ {p} + y ^ {q} + z ^ {r} = 0}Σ(p,q,r){\ displaystyle \ Sigma (p, q, r)}S3{\ displaystyle S ^ {3}}p{\ displaystyle p}q{\ displaystyle q}r{\ displaystyle r}Σ(2,3,5){\ displaystyle \ Sigma (2,3,5)}
• A soma conectada de duas esferas de homologia orientada é uma esfera de 3 homologia. Inversamente, na decomposição de Milnor ( essencialmente única ) de uma esfera 3 de homologia de soma conectada de variedades 3 indecomponíveis, os componentes são esferas de homologia.
• Se são dois ou dois primos entre eles, então a variedade de Seifert fibrosada correspondente à lista é uma esfera de homologia se e eles são escolhidos de forma que seja verificada. (Essa escolha de e de é sempre possível, e todas as escolhas dão a mesma esfera de homologia.) Sim , é simplesmente a 3-esfera usual. Sim , eles são 3 esferas de homologia não triviais e distintas. O caso onde e onde dá a esfera de Poincaré. Em todos os outros casos, a 3-esfera de homologia obtida é um espaço de Eilenberg-MacLane (ou seja, um espaço asférico ) e sua geometria de Thurston é modelada na cobertura universal de SL 2 ( R ) .no1,...,nor∈NÃO≥2{\ displaystyle a_ {1}, ..., a_ {r} \ in \ mathbb {N} _ {\ geq 2}}S2{\ displaystyle S ^ {2}}(b,(o1,0);(no1,b1),...,(nor,br)){\ displaystyle (b, (o_ {1}, 0); (a_ {1}, b_ {1}), ..., (a_ {r}, b_ {r}))}b{\ displaystyle b}bk{\ displaystyle b_ {k}}b+b1/no1+...+br/nor=1/(no1...nor){\ displaystyle b + b_ {1} / a_ {1} + ... + b_ {r} / a_ {r} = 1 / (a_ {1} ... a_ {r})}b{\ displaystyle b}bk{\ displaystyle b_ {k}}r≤2{\ displaystyle r \ leq 2}r>2{\ displaystyle r> 2}r=3{\ displaystyle r = 3}{no1,no2,no3}={2,3,5}{\ displaystyle \ {a_ {1}, a_ {2}, a_ {3} \} = \ {2,3,5 \}} K(π,1){\ displaystyle K (\ pi, 1)}

Invariantes

• Invariante de Rokhlin  (en) - Qualquer homologia 3-esfera tem uma estrutura de spin única e qualquer spin 3-variedade M faz fronteira com uma variedade de spin 4, cuja assinatura  (en) é divisível por 8 e cujo valor do módulo 16 depende apenas de M. Isso permite associar a qualquer esfera 3 de homologia um elemento invariante de .µ{\ displaystyle \ mu}Z/2Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}
• Invariante de Casson  (en) - com qualquer esfera 3 de homologia orientada é associado um inteiro , aditivo em relação à soma conectada, e mudança de sinal quando a orientação é invertida. Sua redução do módulo 2 é o invariante de Rokhlin. O invariante de Casson da esfera 3 padrão é 0; a da esfera de homologia de Poincaré é ± 1.λ{\ displaystyle \ lambda}
• Invariante de Taubes - Esta é uma reformulação analítica do invariante de Casson. Taubes mostrou isso .χ{\ displaystyle \ chi}λ{\ displaystyle \ lambda}χ=2λ{\ displaystyle \ chi = 2 \ lambda}
• Homologia Instanton Floer - Homologia Instanton Floer é uma homologia tipo Morse de dimensão infinita baseada na teoria de Chern-Simons. A característica de Euler da homologia de Floer de instantons é igual ao invariante de Taubes (e, portanto, ao duplo do invariante de Casson).χ{\ displaystyle \ chi}λ{\ displaystyle \ lambda}

Formulários

A suspensão de uma esfera 3 de homologia não padrão é uma variedade homológica 4 (en) que não é uma variedade topológica . A suspensão dupla é homeomórfica ao padrão de 5 esferas , mas sua triangulação (induzida por uma triangulação ) não é uma variedade linear por partes (em) . X{\ displaystyle X} X{\ displaystyle X}S5{\ displaystyle S ^ {5}}X{\ displaystyle X} 

A questão de saber se alguma variedade fechada de dimensão maior ou igual a 5 é homeomórfica a um complexo simplicial ainda está aberta. Galewski e Stern mostraram que é equivalente ao problema da existência de uma 3-esfera de homologia , de invariante de Rokhlin diferente de zero, tal que a soma conectada faz fronteira com uma variedade 4 acíclica (en) . Σ{\ displaystyle \ Sigma}Σ#Σ{\ displaystyle \ Sigma \ # \ Sigma} 

Veja também

Bibliografia

• (pt) Emmanuel Dror , “  Homology spheres  ” , Israel J. Math. , vol.  15,1973, p.  115-129 ( DOI  10.1007 / BF02764597 )
• ( fr ) David Galewski e Ronald Stern , “  Classification of simplicial triangulations of topological manifolds  ” , Ann. da matemática. , vol.  111, n o  1,1980, p.  1–34 ( ler online )
• (pt) Robion Kirby e Martin Scharlemann , "Oito faces da homologia 3-esfera de Poincaré" , em Topologia geométrica (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977) , Academic Press ,1979, p.  113-146
• (pt) Michel Kervaire , “  Smooth homology spheres and your fundamental groups  ” , Trans. Amargo. Matemática. Soc. , vol.  144,1969, p.  67-72, Link  Resenhas de matemática
• (pt) Nikolai Saveliev , “Invariants of Homology 3-Spheres” , em Encyclopaedia of Mathematical Sciences , vol.  140, Topologia de baixa dimensão, I, Springer ,2002( ISBN  3-540-43796-7 )

Referências

1. MA Kervaire, Smooth homology spheres and your fundamental groups, 1969
2. RC Kirby, MG Scharlemann, Eight Faces of the Poincaré Homology 3-sphere, 1977
3. CH Taubes, teoria invariante e de calibre de Casson, 1990

Link externo

(pt) A 16-Vertex Triangulation of the Poincaré Homology 3-Sphere e Non-PL Spheres com poucos vértices , por Anders Björner ( KTH ) e Frank H. Lutz ( TUB )

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado "  Homology sphere  " ( ver a lista de autores ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">