Estatística de Bose-Einstein
Estatística de Bose-Einstein
Na mecânica quântica e na física estatística , as estatísticas de Bose-Einstein referem-se à distribuição estatística de bósons indistinguíveis (todos semelhantes) sobre os estados de energia de um sistema em equilíbrio termodinâmico . A distribuição em questão resulta de uma particularidade dos bósons : as partículas de spin inteiro não estão sujeitas ao princípio de exclusão de Pauli , ou seja, vários bósons podem ocupar simultaneamente o mesmo estado quântico .
Distribuição Bose-Einstein
A estatística de Bose-Einstein foi introduzida por Satyendranath Bose em 1920 para fótons e generalizada para átomos por Albert Einstein em 1924 . Estatisticamente, em equilíbrio termodinâmico, o número n i de partículas de energia E i é
nãoeu=geuexp(Eeu-µkBT)-1{\ displaystyle n_ {i} = {\ frac {g_ {i}} {\ exp \ left ({\ frac {E_ {i} - \ mu} {k _ {\ rm {B}} T}} \ right ) -1}} \,}ou :
Entropia e derivação no conjunto microcanônico
A entropia de um sistema consistindo de bósons indistinguíveis , descrito por funções de onda simétricas ( spin inteiro), pode ser encontrada usando a descrição estatística de J. Willard Gibbs . Ela quer
S=kB∑jGj[(1+nãoj)registro(1+nãoj)-nãojregistronãoj]{\ displaystyle S = k _ {\ rm {B}} \ sum _ {j} G_ {j} \ left [(1 + n_ {j}) \ log {(1 + n_ {j})} - n_ { j} \ log n_ {j} \ right]}ou
k B
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Constante de Boltzmann ,
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n j
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número de ocupações (proporção de bósons em um determinado estado de energia),
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G j
|
número de estados possíveis no grupo j ( degeneração ).
|
Demonstração
Seguindo o método estabelecido por JW Gibbs em física estatística, contamos no sistema estudado os bósons de energia E j , seu número neste grupo N j , cada um desses grupos podendo incluir estados G j . Calcular a entropia equivale a calcular o peso estatístico Ω de tal sistema, ou seja, o número de microestados disponíveis para realizar este macroestado. Cada grupo supostamente independente, temos Ω = Π j Ω j . O problema é, portanto, reduzido ao conhecimento de Ω j .
O número de possibilidades de distribuição de N j partículas indistinguíveis em G j estados é
Ωj=(Gj+NÃOj-1)!(Gj-1)!NÃOj!{\ displaystyle \ Omega _ {j} = {\ frac {(G_ {j} + N_ {j} -1)!} {(G_ {j} -1)! N_ {j}!}}}Usando a fórmula de Stirling , retemos a aproximação e calculamos a entropia (vamos supor que 1 é desprezível em comparação com N j ou G j )
registroNÃO!≈NÃOregistroNÃO{\ displaystyle \ log {N!} \ aprox N \ log {N}}
S=kBregistroΩ=kB∑jregistroΩj=kB∑j[-GjregistroGj-NÃOjregistroNÃOj+(Gj+NÃOj)registro(Gj+NÃOj)]{\ displaystyle S = k _ {\ rm {B}} \ log \ Omega = k _ {\ rm {B}} \ sum _ {j} \ log \ Omega _ {j} = k _ {\ rm {B }} \ sum _ {j} \ left [-G_ {j} \ log {G_ {j}} - N_ {j} \ log {N_ {j}} + (G_ {j} + N_ {j}) \ log {(G_ {j} + N_ {j})} \ direita]}Ou, inserindo o número de ocupações nãoj=NÃOjGj{\ displaystyle n_ {j} = {\ tfrac {N_ {j}} {G_ {j}}}}
S=kB∑jGj[(1+nãoj)registro(1+nãoj)-nãojregistronãoj]{\ displaystyle S = k _ {\ rm {B}} \ sum _ {j} G_ {j} \ left [(1 + n_ {j}) \ log {(1 + n_ {j})} - n_ { j} \ log n_ {j} \ right]}
No conjunto microcanônico , as variáveis termodinâmicas em equilíbrio são obtidas maximizando a entropia sob restrição para respeitar o número total de bósons e a energia total . Usando o método dos multiplicadores de Lagrange , α para o número de partículas e β para a energia, a solução verifica
NÃO=∑euGeunãoeu{\ displaystyle N = \ sum _ {i} G_ {i} n_ {i}}E=∑eunãoeuGeuEeu{\ displaystyle E = \ sum _ {i} n_ {i} G_ {i} E_ {i}}
∂∂nãoj(S-αNÃO-βE)=0,∀j{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial n_ {j}}} \ left (S- \ alpha N- \ beta E \ right) = 0 \ ,, \ qquad \ forall j}A solução deste sistema de equações independentes é a distribuição estatística de Bose-Einstein
nãoj=1eα+βEj-1{\ displaystyle n_ {j} = {\ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {\ alpha + \ beta E_ {j}} - 1}}}Podemos encontrar os valores de α e β a partir do primeiro princípio da termodinâmica . Portanto, α = - μ β e β = ( k B T ) -1 .
Limite clássico e comparação com férmions
Em altas temperaturas, quando os efeitos quânticos não são mais sentidos, a estatística de Bose-Einstein, como a estatística de Fermi-Dirac que governa os férmions , tende para a estatística de Maxwell-Boltzmann . Em baixas temperaturas, no entanto, as duas estatísticas diferem uma da outra. Assim, a temperatura zero:
- com a estatística de Bose-Einstein, o nível de energia mais baixo contém todos os bósons;
- com a estatística de Fermi-Dirac, cada um dos níveis de energia mais baixos contém no máximo g i fermions .
Condensado de Bose-Einstein
Como visto anteriormente, a estatística de Bose-Einstein prevê que, à temperatura zero, todas as partículas ocupam o mesmo estado quântico, o de menor energia. Este fenômeno é observável em escala macroscópica e constitui um condensado de Bose-Einstein .
Notas e referências
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(in) Lev Landau e Evgeny Lifshitz , Statistical Physics , Pergamon Press ,1969( leia online )
Veja também
Bibliografia
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[Bose 1924] (de) Satyendra Nath Bose ( traduzido do inglês por Albert Einstein ), " Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese " ["Lei de Planck e a hipótese do quantum de luz"], Zeitschrift für Physik , vol. 26,Dez. 1924, p. 178-181 ( OCLC 4646217659 , DOI 10.1007 / BF01327326 , Bibcode 1924ZPhy ... 26..178B , resumo , ler online [PDF] ) :
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[Bose 2005] Satyendra Nath Bose ( traduzido do alemão por Georges Frick), a lei de Planck e a hipótese dos quanta de luz, in José Leite-Lopes e Bruno Escoubès ( ed. e anterior ) ( pref. por Jean-Marc Lévy-Leblond ), Fontes e evolução da física quântica: textos fundadores , Les Ulis, EDP Sciences , fora col. ,Novembro de 2005, 1 r ed. , 1 vol. , XIV -316 p. , doente. , fig. , gráfico. e portr. , 16 × 24 cm ( ISBN 2-86883-815-4 , EAN 9782868838155 , OCLC 80146859 , aviso BNF n O FRBNF39987077 , SUDOC 094109842 , apresentação on-line , ler on-line ) , cap. 3 , seita. 3.1 , art. VIII [“Estatísticas do bóson”], p. 85-88.
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[Einstein 1924] (de) Albert Einstein , " Quantentheorie des einatomigen idealen Gases " [" Monatomic ideal gas quantum theory"], Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften ,1924, p. 261-267.
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[Einstein 1925a] (de) Albert Einstein , " Quantentheorie des einatomigen idealen Gases: zweite Abhandlung " [" Teoria quântica do gás ideal monatômico : segunda dissertação"], Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften ,1925, p. 3-14.
-
[Einstein 1925b] (de) Albert Einstein , " Zur Quantentheorie des idealen Gases " ["Quantum theory of ideal gas"], Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften ,1925, p. 18-25.
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