Em mecânica quântica e física estatística , as estatísticas de Fermi-Dirac referem-se à distribuição estatística de férmions indistinguíveis (todos semelhantes) sobre os estados de energia de um sistema em equilíbrio termodinâmico . A distribuição em questão se deve a uma peculiaridade dos férmions : as partículas de spin meio inteiro estão sujeitas ao princípio de exclusão de Pauli , ou seja, que duas partículas não podem ocupar simultaneamente o mesmo estado quântico.
Antes do advento da distribuição Fermi-Dirac na década de 1920, a compreensão do comportamento dos elétrons nos metais era muito rudimentar. O modelo de Drude usando a estatística clássica de Maxwell-Boltzmann para descrever a dinâmica dos elétrons. Assim, os cientistas não entenderam completamente por que os elétrons participam em grande número na condução da corrente elétrica em um metal e que esse número se torna extremamente pequeno quando se trata de contribuir para a capacidade térmica do mesmo metal. Há claramente um problema estatístico aqui na avaliação da capacidade térmica dos metais.
A explicação foi dada pelo modelo de elétron livre de Arnold Sommerfeld (1927) que introduziu a distribuição de Fermi-Dirac, revelando que apenas estados localizados próximos ao nível de Fermi foram solicitados a contribuir para a capacidade térmica do metal.
A estatística Fermi-Dirac foi introduzida em 1926 por Enrico Fermi e Paul Dirac . Em 1927 , foi aplicado aos elétrons em um metal por Arnold Sommerfeld. Estatisticamente, o número n i de partículas no estado de energia E i é dado por:
ou :
Distribuições de Fermi-Dirac para férmions, junto com a distribuição análoga de Bose-Einstein para bósons , são usadas quando os efeitos quânticos são levados em consideração e quando as partículas são consideradas indistinguíveis . Isso corresponde a uma concentração de partículas ( N / V ) maior do que uma certa densidade de estado, ou seja, a distância intermolecular é menor do que o comprimento de onda térmico de de Broglie .
Distribuição de Fermi-Dirac em função de ε / μ e diferentes temperaturas
Representação de para bósons (curva superior) e férmions (curva inferior).
A entropia de um sistema constituído por férmions, descrita por funções de onda antissimétricas ( spin meio-inteiro), pode ser encontrada usando o princípio de exclusão de Pauli e a descrição estatística de J. Willard Gibbs . Ela quer
ou
Constante de Boltzmann , | |
número de ocupações (proporção de férmions em um determinado estado de energia), | |
número de estados possíveis no grupo j ( degeneração ). |
Seguindo o método estabelecido por JW Gibbs em física estatística e o princípio de exclusão de Pauli , contamos no sistema estudado os férmions de energia E j , seu número neste grupo N j , podendo cada um desses grupos incluir estados G j . O cálculo da entropia equivale a calcular o peso estatístico Ω de tal sistema, ou seja, o número de microestados acessíveis que permitem atingir este estado macroscópico. Cada grupo supostamente independente, temos Ω = Π j Ω j . O problema é, portanto, reduzido ao conhecimento de Ω j .
O número de possibilidades de distribuição de N j férmions idênticos em G j estados com no máximo uma partícula por estado (de acordo com o princípio de Pauli) é
Usando a fórmula de Stirling , calculamos a entropia
Ou, inserindo o número de ocupações
No conjunto microcanônico , as variáveis termodinâmicas em equilíbrio são obtidas maximizando a entropia sob restrição para respeitar o número total de férmions e a energia total . Usando o método dos multiplicadores de Lagrange , α para o número de partículas e β para a energia, a solução verifica
A solução deste sistema de equações independentes é a distribuição estatística de Fermi-Dirac
Podemos encontrar os valores de α e β a partir do primeiro princípio da termodinâmica . Portanto, α = -μ * β e β = ( k B T ) -1 .
Em alta temperatura, quando os efeitos quânticos não são mais sentidos, a estatística de Fermi-Dirac tende para a estatística de Maxwell-Boltzmann ; o mesmo se aplica à estatística de Bose-Einstein que rege os bósons. Em baixas temperaturas, enquanto as partículas ocupam principalmente os níveis de energia mais baixos, as estatísticas diferem. Por exemplo, em temperatura zero:
Os elétrons nos sólidos formam um gás férmion, cuja descrição requer estatísticas de Fermi-Dirac. Recentemente, o resfriamento de gases de átomos fermiônicos diluídos a temperaturas da ordem de K tornou possível a obtenção de condensados fermiônicos , que só podem ser descritos por esta estatística.