Teorema de Noether (física)

Tomemos primeiro o caso de uma partícula livre, então temos o Lagrangiano

eu=12mq→˙2{\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m {\ dot {\ vec {q}}} ^ {2}}

invariante por tradução. Podemos ver claramente aqui que se mudarmos a origem das coordenadas, isso não modificará a física de nossa partícula livre. O Lagrangiano é, portanto, invariante pela transformação de tradução

com os componentes do vetor que descreve a tradução. Vemos aqui que temos, para uma tradução infinitesimal de um vetor , uma variação de nossas coordenadas generalizadas que é válida . As quantidades conservadas associadas a esta transformação são, portanto, αeu{\ displaystyle \ alpha _ {i}}δα→=δαeue→eu{\ displaystyle {\ vec {\ delta \ alpha}} = \ delta \ alpha _ {i} {\ vec {e}} _ {i}}δqeu=q~eu-qeu=δαeu{\ displaystyle \ delta q_ {i} = {\ tilde {q}} _ {i} -q_ {i} = \ delta \ alpha _ {i}}

eueu=∑j∂eu∂q˙j∂qj∂αeu=∑j∂eu∂q˙jδeuj=mq˙eu=peu{\ displaystyle I_ {i} = \ sum _ {j} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} {\ frac {\ partial q_ {j}} { \ parcial \ alpha _ {i}}} = \ sum _ {j} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ ponto {q}} _ {j}}} \ delta _ {ij} = m { \ dot {q}} _ {i} = p_ {i}} com o delta de Kronecker , encontramos as componentes do vetor momentum. δeuj{\ displaystyle \ delta _ {ij}} Momento cinematográfico

Consideremos agora o caso de um sistema invariante por rotação, tomemos por exemplo uma partícula colocada em um potencial central , temos então . Sendo o sistema invariante por rotação (a norma de velocidade é invariante por rotação), parece relevante ser colocado em coordenadas esféricas, então temos Φ(r){\ displaystyle \ Phi (r)}eu=12mq→˙2-Φ(r){\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m {\ dot {\ vec {q}}} ^ {2} - \ Phi (r)}

eu=m2(r˙2+r2θ˙2+r2pecado2⁡(θ)ϕ˙2)-Φ(r).{\ displaystyle L = {\ frac {m} {2}} \ left ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) {\ dot {\ phi}} ^ {2} \ right) - \ Phi (r).}

A transformação associada à rotação em coordenadas esféricas pode ser escrita como , com e os dois ângulos que caracterizam a transformação. Para uma transformação infinitesimal, portanto, temos e . Podemos, portanto, ver aqui que as duas quantidades conservadas serão (r,θ,ϕ)→(r,θ~=θ+χ,ϕ~=ϕ+ψ){\ displaystyle (r, \ theta, \ phi) \ rightarrow (r, {\ tilde {\ theta}} = \ theta + \ chi, {\ tilde {\ phi}} = \ phi + \ psi)}χ{\ displaystyle \ chi}ψ{\ displaystyle \ psi}δθ=δχ{\ displaystyle \ delta \ theta = \ delta \ chi}δϕ=δψ{\ displaystyle \ delta \ phi = \ delta \ psi}

euθ=∂eu∂θ˙∂θ∂χ=mr2θ˙eteuϕ=∂eu∂ϕ˙∂ϕ∂ψ=mr2pecado2⁡(θ)ϕ˙{\ displaystyle I _ {\ theta} = {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ ponto {\ theta}}}} {\ frac {\ parcial \ theta} {\ parcial \ chi}} = mr ^ {2} {\ dot {\ theta}} \ qquad \ mathrm {et} \ qquad I _ {\ phi} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ phi}}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial \ psi}} = mr ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) {\ dot {\ phi}}} isto é, os dois componentes angulares do momento angular multiplicados pela massa. Tenha cuidado com os índices, no entanto, temos e , e temos, é claro, por definição do produto vetorial. eu→=r→×v→{\ displaystyle {\ vec {L}} = {\ vec {r}} \ times {\ vec {v}}}euθ=meuϕ{\ displaystyle I _ {\ theta} = mL _ {\ phi}}euϕ=meuθ{\ displaystyle I _ {\ phi} = mL _ {\ theta}}eur=0{\ displaystyle L_ {r} = 0} Energia

Se fosse esse tempo um sistema é invariante no tempo, há então uma Lagrangiana que é independente do tempo , . A transformação é aqui uma tradução no tempo, e é traduzida para as coordenadas temporais poreu(t+δt)=eu(t){\ displaystyle L (t + \ delta t) = L (t)}∂teu=0{\ displaystyle \ partial _ {t} L = 0}

o que leva ao montante retido

eu=∑eu∂eu∂qeu˙∂qeu∂t.{\ displaystyle I = \ sum _ {i} {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {\ ponto {q_ {i}}}}} {\ frac {\ parcial q_ {i}} {\ parcial t} }.} Sendo o Lagrangiano também conservado, temos a quantidade total

H=∑eu∂eu∂q˙euq˙eu-eu{\ displaystyle H = \ sum _ {i} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} {\ dot {q}} _ {i} -L}

que é conservado, mas nada mais é do que o hamiltoniano do sistema. O hamiltoniano (energia) é, portanto, conservado para sistemas independentes de tempo (explicitamente).

Teoria de campo clássica

O teorema de Noether também é válido na teoria de campos clássica, onde o Lagrangiano é substituído por uma densidade Lagrangiana que depende de campos ao invés de variáveis ​​dinâmicas. A formulação do teorema permanece mais ou menos a mesma:

Teorema de Noether  -  Qualquer transformação infinitesimal que deixa a densidade Lagrangiana de um sistema invariante até uma quadridivergência corresponde a uma quantidade conservada.

Ou seja, uma densidade Lagrangiana onde denota uma dependência da densidade Lagrangiana nos campos escalares (a prova pode ser generalizada para campos vetoriais ou tensoriais) ( ) e de suas várias derivadas parciais no espaço e no tempo ( é o operador de derivação comparado para no índice, ou seja, :) . Cada campo depende de uma variável de espaço-tempo única onde representa o tempo e representa uma das três variáveis ​​de espaço com . De acordo com o princípio da ação mínima , a integral de ação deve ser estacionária: eu=eu[φeu(x),∂µφeu(x),x]{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (x), \ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i} (x), x]}[φeu(x),∂µφeu(x),x]{\ displaystyle [\ varphi _ {i} (x), \ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i} (x), x]}NÃO{\ displaystyle N}φeu(x){\ displaystyle \ varphi _ {i} (x)}eu=1,...,NÃO{\ displaystyle i = 1, ..., N}∂µ{\ displaystyle \ partial _ {\ mu}}µ∈{0,...,3}{\ displaystyle \ mu \ in \ {0, ..., 3 \}}∂µ≡∂∂xµ{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ equiv {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ mu}}}}x≡(x0,...,x3){\ displaystyle x \ equiv (x ^ {0}, ..., x ^ {3})}x0{\ displaystyle x ^ {0}}xj{\ displaystyle x ^ {j}}j=1,...,3{\ displaystyle j = 1, ..., 3}S[φeu(x)]{\ displaystyle S [\ varphi _ {i} (x)]}

S≡∫eu[φeu(x),∂µφeu(x),x]d4x{\ displaystyle S \ equiv \ int {\ mathcal {L}} [\ varphi _ {i} (x), \ parcial _ {\ mu} \ varphi _ {i} (x), x] d ^ {4} x}

δS=0{\ displaystyle \ delta S = 0.}

Este princípio de ação estacionária leva diretamente às equações de Euler-Lagrange na teoria de campo:

∂µ(∂eu∂(∂µφeu))-∂eu∂φeu=0{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial \ varphi _ {i}}} = 0}

onde a convenção de Einstein sobre índices repetidos é usada aqui. Let Ser uma transformação infinitesimal de um dos campos onde representa a deformação do campo e é um parâmetro infinitesimal (a prova pode ser facilmente generalizada com uma deformação de vários campos ao mesmo tempo). Se a densidade Lagrangiana é invariante, exceto por uma quadridivergência sob esta transformação infinitesimal, isto é: φeu(x)→φeu′(x)=φeu(x)+αΔφeu(x){\ displaystyle \ varphi _ {i} (x) \ rightarrow \ varphi _ {i} '(x) = \ varphi _ {i} (x) + \ alpha \ Delta \ varphi _ {i} (x)}Δφeu(x){\ displaystyle \ Delta \ varphi _ {i} (x)}α{\ displaystyle \ alpha}

eu→eu+αΔeu=eu+α∂µJµ(x){\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ rightarrow {\ mathcal {L}} + \ alpha \ Delta {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} + \ alpha \ partial _ {\ mu} J ^ {\ mu} (x)}

para uma determinada função . Então, comparando os termos à 1ª ordem da expansão de Taylor da densidade Lagrangiana: Jµ{\ displaystyle J ^ {\ mu}}

αΔeu=∂eu∂φeu(αΔφeu)+(∂eu∂(∂µφeu))∂µ(αΔφeu)=α∂µ(∂eu∂(∂µφeu)Δφeu)+α[∂eu∂φeu-∂µ(∂eu∂(∂µφeu))]Δφeu.{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ alpha \ Delta {\ mathcal {L}} & = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ varphi _ {i}}} (\ alpha \ Delta \ varphi _ {i}) + \ left ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) \ partial _ {\ mu} (\ alpha \ Delta \ varphi _ {i}) \\ & = \ alpha \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} { \ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ Delta \ varphi _ {i} \ direita) + \ alpha \ left [{\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ varphi _ {i}}} - \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ right) \ right] \ Delta \ varphi _ {i}. \ end {alinhado}}}

O segundo termo é nulo porque atua da equação de Euler-Lagrange para o campo . Portanto, finalmente, por comparação direta: φeu{\ displaystyle \ varphi _ {i}}

∂µJµ(x)=∂µ(∂eu∂(∂µφeu)Δφeu){\ displaystyle \ partial _ {\ mu} J ^ {\ mu} (x) = \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {i})}} \ Delta \ varphi _ {i} \ right)}

Assim, o valor retido do sistema é o seguinte:

jµ≡Jµ(x)-∂eu∂(∂µφeu)Δφeu{\ displaystyle j ^ {\ mu} \ equiv J ^ {\ mu} (x) - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ varphi _ { i})}} \ Delta \ varphi _ {i}}

Porque

∂µjµ=0{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} j ^ {\ mu} = 0.}

Invariância de calibre e segundo teorema de Noether

Geralmente consideramos para qualquer densidade Lagrangiana

cuja ação associada deve ser estacionária para qualquer transformação infinitesimal dos campos de acordo com o Princípio de Hamilton . Então nós temos

δS=∫d4x[∂eu∂ψeuδψeu+∂eu∂(∂µψeu)δ∂µψeu]=∫d4x[(∂eu∂ψeu-∂µ∂eu∂(∂µψeu))δψeu+∂µ(∂eu∂(∂µψeu)δψeu)]=0{\ displaystyle \ delta S = \ int d ^ {4} x \; \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ psi _ {i}}} \ delta \ psi _ {i} + {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ psi _ {i})}} \ delta \ parcial _ {\ mu} \ psi _ {i} \ right] = \ int d ^ {4} x \; \ left [\ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ psi _ {i}}} - \ parcial _ {\ mu} {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ psi _ {i})}} \ direita) \ delta \ psi _ {i } + \ parcial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ psi _ {i})}} \ delta \ psi _ {i} \ right) \ right] = 0}

onde usamos a convenção de Einstein para a soma de índices repetidos, e onde colocamos de lado as possíveis transformações do espaço-tempo (que tomamos ). Vemos, portanto, que podemos reformular este resultado de uma forma geral como δxµ=0{\ displaystyle \ delta x ^ {\ mu} = 0}

[ψ]eudψeu=-∂µ(∂eu∂(∂µψeu)δψeu),[ψ]eu=∂eu∂ψeu-∂µ∂eu∂(∂µψeu){\ displaystyle [\ psi] _ {i} d \ psi _ {i} = - \ parcial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi _ {i})}} \ delta \ psi _ {i} \ right), \ qquad [\ psi] _ {i} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} } {\ parcial \ psi _ {i}}} - \ parcial _ {\ mu} {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ mu} \ psi _ {i })}}}

com, portanto, representar as

[ψ]eu{\ displaystyle [\ psi] _ {i}}

ψeu{\ displaystyle \ psi _ {i}}

Estamos agora interessados ​​em uma densidade Lagrangiana invariante sob uma transformação de calibre, ou seja, uma transformação de campo local. Neste caso, veremos que aplicamos o segundo teorema de Noether desta vez.

Mais precisamente, consideramos aqui uma densidade Lagrangiana invariante sob um grupo de transformação de dimensão infinita e continuamente dependente de funções , grupo que iremos observar . Vemos que, no caso de tal transformação, a variação infinitesimal dos campos na equação acima se decompõe como ρ{\ displaystyle \ rho}pα(xµ),α=1,...,ρ{\ displaystyle p _ {\ alpha} (x ^ {\ mu}), \; \; \ alpha = 1, \; ..., \; \ rho}G∞ρ{\ displaystyle G _ {\ infty \ rho}}δψeu{\ displaystyle \ delta \ psi _ {i}}

δψeu=∑α[noαeu(ψeu,∂µψeu,xµ)Δpα(xµ)+bαeuν(ψeu,∂µψeu,xµ)∂νΔPα(xµ)]{\ displaystyle \ delta \ psi _ {i} = \ sum _ {\ alpha} \ left [a _ {\ alpha i} (\ psi _ {i}, \ partial _ {\ mu} \ psi _ {i} , x ^ {\ mu}) \ Delta p _ {\ alpha} (x ^ {\ mu}) + b _ {\ alpha i} ^ {\ nu} (\ psi _ {i}, \ partial _ {\ mu} \ psi _ {i}, x ^ {\ mu}) \ parcial _ {\ nu} \ Delta P _ {\ alpha} (x ^ {\ mu}) \ right]}

onde a notação denota o fato de que consideramos um infinitesimal. Portanto, vemos que podemos usar a equação anterior na forma integral para obter Δpα{\ displaystyle \ Delta p _ {\ alpha}}pα{\ displaystyle p _ {\ alpha}}

∫d4x[ψ]eu(noαeuΔpα+bαeuν∂νΔpα)=∫d4x(noαeu[ψ]eu-∂ν(bαeuν[ψ]eu))Δpα+∫d4x∂ν(bαeuν[ψ]eu∂νΔpα){\ displaystyle \ int d ^ {4} x \, [\ psi] _ {i} \ left (a _ {\ alpha i} \ Delta p _ {\ alpha} + b _ {\ alpha i} ^ {\ nu} \ parcial _ {\ nu} \ Delta p _ {\ alpha} \ right) = \ int d ^ {4} x \, \ left (a _ {\ alpha i} [\ psi] _ {i} - \ partial _ {\ nu} \ left (b _ {\ alpha i} ^ {\ nu} [\ psi] _ {i} \ right) \ right) \ Delta p _ {\ alpha} + \ int d ^ { 4} x \, \ partial _ {\ nu} \ left (b _ {\ alpha i} ^ {\ nu} [\ psi] _ {i} \ partial _ {\ nu} \ Delta p _ {\ alpha} \ direito)} ⟹∫d4x(noαeu[ψ]eu-∂ν(bαeuν[ψ]eu))Δpα=-∫d4x∂µ(∂eu∂(∂µψeu)δψeu+bαeuµ[ψ]euΔpα){\ displaystyle \ Longrightarrow \ qquad \ int d ^ {4} x \ left (a _ {\ alpha i} [\ psi] _ {i} - \ parcial _ {\ nu} \ left (b _ {\ alpha i } ^ {\ nu} [\ psi] _ {i} \ right) \ right) \ Delta p _ {\ alpha} = - \ int d ^ {4} x \, \ partial _ {\ mu} \ left ( {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ psi _ {i})}} \ delta \ psi _ {i} + b _ {\ alpha i} ^ {\ mu} [\ psi] _ {i} \ Delta p _ {\ alpha} \ right)} no entanto, vemos aqui que o segundo termo da segunda equação é um termo de borda e, sendo as funções arbitrárias, podemos sempre escolhê-las para que esse termo seja cancelado. Em seguida, obtemos o segundo teorema de Noetherpα{\ displaystyle p _ {\ alpha}}

Teorema  -  Se a ação S é invariante em um grupo de transformação, então existem relações . G∞ρ{\ displaystyle G _ {\ infty \ rho}}ρ{\ displaystyle \ rho}noαeu[ψ]eu-∂ν(bαeuν[ψ]eu)=0{\ displaystyle a _ {\ alpha i} [\ psi] _ {i} - \ partial _ {\ nu} \ left (b _ {\ alpha i} ^ {\ nu} [\ psi] _ {i} \ direita) = 0}

Exemplo

Considere, por exemplo, a densidade Lagrangiana

eu=(∂µ+euqNOµ)ψ(∂µ+euqNOµ)ψ∗-m2ψψ∗-14FµνFµν{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = (\ partial _ {\ mu} + iqA _ {\ mu}) \ psi (\ partial ^ {\ mu} + iqA ^ {\ mu}) \ psi ^ {* } -m ^ {2} \ psi \ psi ^ {*} - {\ frac {1} {4}} F ^ {\ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu}} onde depende apenas das primeiras derivadas de (no caso abeliano, pelo menos). É invariante sob a transformação do medidor local Fµν{\ displaystyle F _ {\ mu \ nu}}NOµ{\ displaystyle A _ {\ mu}}

ψ→ψ~=eeuqθ(x)ψ,ψ∗→ψ~∗=e-euqθ(x)ψ∗,NOµ→NO~µ=NOµ+∂µθ(x){\ displaystyle \ psi \ rightarrow {\ tilde {\ psi}} = e ^ {iq \ theta (x)} \ psi, \ qquad \ psi ^ {*} \ rightarrow {\ tilde {\ psi}} ^ {* } = e ^ {- iq \ theta (x)} \ psi ^ {*}, \ qquad A _ {\ mu} \ rightarrow {\ tilde {A}} _ {\ mu} = A _ {\ mu} + \ parcial _ {\ mu} \ theta (x)}

onde vê que aqui temos uma única função contínua em nosso grupo de transformação, que observamos . Esta transformação corresponde em forma infinitesimal a pα{\ displaystyle p _ {\ alpha}}θ(x){\ displaystyle \ theta (x)}

δψ=euqδθψ,δψ∗=-euqδθψ∗,δNOµ=∂µθ{\ displaystyle \ delta \ psi = iq \ delta \ theta \ psi, \ qquad \ delta \ psi ^ {*} = - iq \ delta \ theta \ psi ^ {*}, \ qquad \ delta A _ {\ mu} = \ parcial _ {\ mu} \ theta} então temos noψ=euqψ,noψ∗=-euqψ,bψ=bψ∗noNOµ=0,bNOµν=δµν.{\ displaystyle a _ {\ psi} = iq \ psi, \ qquad a _ {\ psi ^ {*}} = - iq \ psi, \ qquad b _ {\ psi} = b _ {\ psi ^ {*} } a_ {A_ {\ mu}} = 0, \ qquad b_ {A _ {\ mu}} ^ {\ nu} = \ delta _ {\ mu} ^ {\ nu}.}

Deduzimos que no caso desta densidade Lagrangiana temos a relação

[ψ]euqψ+[ψ∗](-euqψ∗)=∂µ([NOν]δνµ)=∂µ[NOµ].{\ displaystyle [\ psi] iq \ psi + [\ psi ^ {*}] (- iq \ psi ^ {*}) = \ partial _ {\ mu} \ left ([A _ {\ nu}] \ delta _ {\ nu} ^ {\ mu} \ right) = \ partial _ {\ mu} [A _ {\ mu}].}

Então vemos aqui que se as equações de movimento forem satisfeitas para os dois campos de massa e então temos ψ{\ displaystyle \ psi}ψ∗{\ displaystyle \ psi ^ {*}}

∂µ(∂eu∂NOµ-∂ν∂eu∂(∂νNOµ))=0{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial A _ {\ mu}}} - \ partial _ {\ nu} {\ frac { \ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ nu} A _ {\ mu})}} \ direita) = 0}

ou sabendo que temos e deduzimos que aqui a corrente é preservada. Isto implica em particular que é completamente anti-simétrico e, portanto, construído a partir de . ∂eu∂NOµ=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial A _ {\ mu}}} = 0}∂eu∂(∂νNOµ)=Fµν{\ displaystyle {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial _ {\ nu} A _ {\ mu})}} = F ^ {\ mu \ nu}}Jµ=∂νFµν{\ displaystyle J ^ {\ mu} = \ partial _ {\ nu} F ^ {\ mu \ nu}}Fµν{\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu}}∂µNOν-∂νNOµ{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} - \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu}}

Da mesma forma, se, ao contrário, impusermos que as equações do eletromagnetismo sejam satisfeitas, ou seja , obtemos a equação de conservação da corrente elétrica quadri usual [NOµ]=0{\ displaystyle [A _ {\ mu}] = 0}

∂µjµ=0,jµ=euq(ψ∗(∂µ+euqNOµ)ψ-ψ(∂µ+euqNOµ)ψ∗).{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} j ^ {\ mu} = 0, \ qquad j ^ {\ mu} = iq \ left (\ psi ^ {*} (\ partial ^ {\ mu} + iqA ^ { \ mu}) \ psi - \ psi (\ partial ^ {\ mu} + iqA ^ {\ mu}) \ psi ^ {*} \ right).}

Simetrias internas

Notas e referências

1. .
2. "  Visão geral da relação entre o Teorema de Noether e o Lagrangiano  " , em www-cosmosaf.iap.fr (tradução livre por J. Fric do Teorema de Noether em Nutshell de J. Baez ).
3. (en) Herbert Goldstein , Mecânica Clássica , p.  589.
4. (em) Katherine Brading e Harvey R. Brown, "  Noether's Theorems and Gauge Symmetries  " , arXiv ,2000( leia online ).

Veja também

Bibliografia

• Amaury Mouchet, The Elegant Effectiveness of Symmetries , cap.  10 , Dunod , 2013 ( ISBN  9782100589371 ) 240 páginas.
• (pt) Nina Byers , "  E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws  " , Proceedings of a Symposium on the Heritage of Emmy Noether , Bar-Ilan University , Israel,2-4 de dezembro de 1996, “  Physics / 9807044  ” , texto de acesso livre, em arXiv .
• (en) G. Sardanashvily  (en) , Leis de conservação de Noether na mecânica clássica , 2003. “  math-ph / 0302027  ” , texto de acesso livre, em arXiv .
• (en) G. Sardanashvily, Noether Conservation Law

• [Noether 1918] (de) Emmy Noether , “  Invariante Variationsprobleme  ” , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse , vol. 1918, N o  2,1918, p.  235-257 ( leia no Wikisource , leia online ).