O teorema de Stark-Heegner é um teorema da teoria dos números que indica precisamente qual dos campos quadráticos imaginários tem um anel de inteiros fatoriais . Resolve o caso n = 1 do problema do número de classes gaussianas, que consiste em determinar quantos campos quadráticos imaginários têm seu número de classes igual a n .
Seja ℚ o campo dos números racionais e seja d ≠ 1 um inteiro sem fator quadrado (isto é, produto, ou oposto de um produto, de números primos distintos). Então, o campo numérico ℚ ( √ d ) é uma extensão de grau 2 de ℚ, chamada de extensão quadrática . O número de classes de ℚ ( √ d ) é o número de classes de equivalência do ideal não zero do anel de todo este corpo , onde dois ideais I e J são equivalentes se e somente se não houver elementos Desenha a e b do anel, tal como um I = b J . Assim, o anel de inteiros de ℚ ( √ d ) é principal (ou novamente: fatorial, que é equivalente aqui porque este anel é de Dedekind ) se e somente se seu número de classes for igual a 1. Teorema de Stark -Heegner pode então ser declarado da seguinte forma:
Teorema - Se d <0 , então o número de classes do anel de inteiros de ℚ ( √ d ) é igual a 1 se e somente se
Este resultado foi conjecturado pela primeira vez pelo matemático alemão Gauss e demonstrado por Kurt Heegner em 1952, embora a prova de Heegner não fosse aceita até que Harold Stark fornecesse uma prova em 1967 e mostrasse que era de fato equivalente à de Heegner.
Se, ao contrário, d > 0, a conjectura de Gauss segundo a qual existiria uma infinidade de campos quadráticos reais cujo número de classes é igual a 1 ainda não foi resolvida. Os resultados dos cálculos indicam que existe um grande número de tais corpos.
(pt) Noam D. Elkies , “The Klein Quartic in Number Theory” , em The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve , col. " MSRI Publicações" ( n o 35)1998( leia online ) , p. 51-101, o que explica a nova prova de Monsur A. Kenku (1985)