Teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel

Em matemática , a teoria de Zermelo-Fraenkel , abreviado para ZF , é axiomático em lógica de primeira ordem da teoria dos conjuntos , uma vez que foi desenvolvido no último trimestre do XIX ° século por Georg Cantor . Axiomatização foi desenvolvido no início do XX ° século por vários matemáticos incluindo Ernst Zermelo e Abraham Fraenkel , mas Thoralf Skolem .

Essa axiomatização escapa aos paradoxos de uma teoria dos conjuntos excessivamente ingênua , como o paradoxo de Russell , ao deixar de lado o esquema irrestrito de compreensão (o fato de que qualquer propriedade pode definir um conjunto, a de objetos que possuem essa propriedade) para não manter algum especial casos úteis. Portanto, existem classes , coleções de objetos matemáticos definidos por uma propriedade compartilhada por todos os seus membros, que não são conjuntos.

Na teoria ZF e suas extensões, essas classes chamadas classes próprias não correspondem aos objetos da teoria e só podem ser tratadas indiretamente, ao contrário da teoria de classes muito semelhante de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG).

Devido ao seu status especial, geralmente consideramos que o axioma de escolha não faz parte da definição de ZF e denotamos por ZFC a teoria obtida pela adição desta.

A matemática usual pode teoricamente ser desenvolvida inteiramente dentro da estrutura da teoria ZFC, possivelmente adicionando axiomas, como os axiomas de grandes cardinais , para certos desenvolvimentos (os da teoria das categorias, por exemplo). Nesse sentido, é uma teoria dos fundamentos da matemática .

Em 1963, Paul Cohen usou a teoria ZFC para responder à questão de Cantor da hipótese do contínuo , mostrando que ela não era uma consequência dos axiomas dessa teoria e que o axioma da escolha não era uma consequência da teoria ZF. O método que ele desenvolveu, forçando , está na origem de muitos desenvolvimentos na teoria dos conjuntos. A grande maioria do trabalho dos teóricos dos conjuntos, pelo menos desde então, está dentro da estrutura da teoria ZF, suas extensões ou, às vezes, suas restrições.

A construtibilidade , um método desenvolvido por Kurt Gödel em 1936 como parte da teoria NBG para mostrar que a hipótese do contínuo e o axioma da escolha não estavam em contradição com os outros axiomas da teoria dos conjuntos, se adapta imediatamente à teoria ZF.

Ernst Zermelo v. 1900
Adolf Abraham Halevi Fraenkel

Teoria de Zermelo (Z)

A teoria de Zermelo é uma apresentação moderna da teoria publicada por Zermelo em 1908 , apresentado de forma explícita ou implícita dentro da estrutura da lógica de primeira ordem com igualdade. Muitas vezes aparece em livros introdutórios de teoria dos conjuntos. Possui os seguintes axiomas:

o axioma da extensionalidade que diz que se dois conjuntos A e B têm os mesmos elementos, então eles são iguais: ∀ A ∀ B [∀ x ( x ∈ A ⇔ x ∈ B ) ⇒ A = B ].
e os axiomas de "construção":
- o axioma do par que diz que se um e b são conjuntos, a par c também é um conjunto: ; ${\ displaystyle \ forall a \ forall b \ \ exists c \ \ forall x \ \ left [x \ in c \ Leftrightarrow (x = a \ vee x = b) \ right]}$
- o axioma da reunião que disse que para cada conjunto tem (cujos elementos são conjuntos), há um conjunto c que é a união dos elementos de um : ; ${\ displaystyle \ forall a \ \ exists c \ \ forall x \ \ left (x \ in c \ Leftrightarrow \ existe y \ (y \ in a \ wedge x \ in y) \ right)}$
- o axioma do conjunto de partes que diz que a coleção c das partes de um conjunto a é um conjunto :, onde a inclusão é escrita em termos de pertinência ; ${\ displaystyle \ forall a \ \ exists c \ \ forall x \ \ left [x \ in c \ Leftrightarrow x \ subset a \ right]}$ ${\ displaystyle x \ subset a}$ ${\ displaystyle \ forall y (y \ in x \ Rightarrow y \ in a)}$
- o axioma do infinito ;
- o esquema de axiomas de compreensão : para cada propriedade P “bem definida”, e para cada conjunto A , existe um conjunto que tem como elementos o conjunto de elementos de A verificando a propriedade P ;
- O axioma do conjunto vazio , às vezes introduzido separadamente, é deduzido do esquema de axiomas de compreensão (na lógica de primeira ordem ).

O teorema de Hartogs , visto como a existência para qualquer conjunto A de um conjunto ordenado que não injeta em A , é demonstrado na teoria de Zermelo.

A teoria de Zermelo também incluía originalmente o axioma da escolha . Em teoria (Z), o teorema de Zermelo e o lema de Zorn podem ser deduzidos desse axioma adicional e são, portanto, equivalentes a ele.

Teoria de Zermelo-Fraenkel (ZF)

A teoria de Zermelo-Fraenkel estende a teoria de Zermelo e inclui adicionalmente:

O esquema de axiomas de substituição permite, em particular, o desenvolvimento da teoria dos ordinais .

O esquema de axiomas de compreensão é deduzido do esquema de axiomas de substituição (e, portanto, em particular a existência do conjunto vazio, sendo admitido que qualquer conjunto de universo tem pelo menos um elemento).

O axioma do par é deduzido do axioma das partes e do esquema de substituição .

O axioma fundacional faz ou não parte da teoria segundo os autores. É independente dos outros e não é necessário para a teoria dos ordinais.

Teoria de Zermelo-Fraenkel com axioma de escolha (ZFC)

Também inclui:

Axioma de escolha

Outros axiomas

Outros axiomas podem ser adicionados à teoria ZFC, como

a hipótese do contínuo , que não pode adicionar uma nova contradição (se a teoria ZFC com a hipótese do contínuo é contraditória, é porque a teoria ZFC também o é),
os axiomas de grandes cardinais , que reforçam a teoria (pode-se demonstrar a consistência da teoria ZFC na teoria ZFC mais um grande axioma cardinal, o que significa que a coerência de ZFC mais um grande axioma cardinal não é deduzida daquela de ZFC, pelo segundo teorema da incompletude de Gödel ).

Veja também

Bibliografia

Livros introdutórios

(pt) Yiannis Moschovakis , Notes on Set Theory , Springer,2006, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1993), 278 p. ( ISBN 978-0-387-28723-2 , leia online )

Aspectos históricos

(pt) Abraham Fraenkel , Yehoshua Bar-Hillel e Azriel Levy , Foundations of Set Theory , North-Holland ,1973( 1 st ed. 1958) ( lido online )
(en) Akihiro Kanamori , " Set Theory from Cantor to Cohen ", em Andrew Irvine e John H. Woods (eds), The Handbook of the Philosophy of Science , volume 4, Mathematics, Cambridge University Press , 2008

links externos

(en) história da lógica: teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) na Enciclopédia Britânica .
(en) ZFC on Encyclopædia of Mathematics
(pt) Teoria dos conjuntos. Axiomas de Zermelo-Fraenkel. Paradoxo de Russell. Infinidade. , K. Podnieks
(pt) John J. O'Connor e Edmund F. Robertson , “A history of set theory” , no arquivo MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews ( ler online ).

Notas e referências

Por exemplo, Moschovakis 2006 .
Ver, por exemplo, Moschovakis 2006 , cap 8.