Teorema de Earnshaw

Na física , no eletromagnetismo clássico , o teorema de Earnshaw afirma que um conjunto de cargas pontuais não pode ser mantido em equilíbrio estável apenas por interações eletrostáticas entre as cargas.

O teorema foi provado pela primeira vez em 1842 por Samuel Earnshaw (em) . É comumente usado para campos magnéticos , mas foi originalmente estudado para casos eletrostáticos . Na verdade, se aplica a qualquer combinação de forças que seguem uma lei em : efeitos de campos magnéticos, elétricos ou gravitacionais . ${\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}}}$

Explicações

Este teorema é uma consequência do teorema de Gauss . Intuitivamente, se considerarmos uma partícula em equilíbrio estável, pequenas perturbações não deveriam quebrar esse equilíbrio: ela deveria retornar à sua posição anterior. Isso decorre do fato de que todas as linhas de campo do campo de força em torno deste ponto apontam para esta posição de equilíbrio.

Assim, a divergência do campo próximo à posição de equilíbrio é estritamente negativa se o campo não for identicamente zero. O teorema de Gauss afirma, entretanto, que tal coisa é impossível: a força F ( r ) exercida sobre a partícula, que deriva de um potencial que satisfaça a equação de Laplace, deve ser de divergência zero:

{\ displaystyle \ nabla \ cdot F = 0 \,}

no vazio.

Assim, as linhas de campo não convergem para nenhum ponto no espaço vazio, então um equilíbrio estável não pode existir lá. Também é dito que não existem mínimos ou máximos locais do potencial.

O teorema estabelece ainda que não há configuração estática de ímãs que permitiria a levitação estável de um objeto contra a gravidade, mesmo que as forças magnéticas excedam em muito a força de atração gravitacional. A levitação magnética é, entretanto, possível, se o campo magnético puder ser variado ao longo do tempo.

O teorema de Earnshaw, junto com a instabilidade das partículas no modelo do átomo de Bohr , devido à radiação, sugeriu uma explicação quântica da estrutura atômica.

Demonstração para dipolos magnéticos

Introdução

Embora uma prova no caso geral possa ser fornecida, consideramos aqui três casos especiais.

A primeira é a de um dipolo magnético de momento magnético constante dipolar direcção fixa. Os próximos dois casos são os de um dipolo de orientação variável, que se alinha na direção (respectivamente na direção oposta) das linhas de campo de um campo magnético externo. Em materiais paramagnéticos (respectivamente diamagnéticos ), os dipolos são alinhados na direção (respectivamente, na direção oposta) das linhas de campo.

Lemas úteis

Os lemas estabelecidos nesta seção serão úteis no estudo dos seguintes casos especiais.

A energia U de um dipolo magnético M em um campo magnético externo B é

{\ displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} = - \ left (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z} \ direito) \,}

O dipolo será estável se e somente se sua energia atingir um mínimo, ou seja, se o Laplaciano da energia for positivo:

{\ displaystyle \ Delta U = \ nabla ^ {2} U = {\ parcial ^ {2} U \ sobre \ parcial x ^ {2}} + {\ parcial ^ {2} U \ sobre \ parcial y ^ {2 }} + {\ parcial ^ {2} U \ sobre \ parcial z ^ {2}}> 0}

Finalmente, uma vez que a divergência e a rotação de um campo magnético são zero na ausência de correntes e variações no campo elétrico , os Laplacianos dos componentes do campo magnético são zero:

{\ displaystyle \ Delta B_ {x} = \ Delta B_ {y} = \ Delta B_ {z} = 0 \,}

Uma demonstração será dada no final deste artigo.

Manifestações

A energia do dipolo de orientação fixa e de momento constante é:

{\ displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} \,}

Neste caso, o Laplaciano de energia é sempre zero:

{\ displaystyle \ Delta U = 0 \,}

O dipolo é, portanto, privado de um mínimo (e máximo) de energia: não há ponto no espaço que seja estável em todas as direções, ou instável em todas as direções.

Os dipolos alinhados na direção direta ou indireta com o campo externo correspondem, respectivamente, aos materiais paramagnéticos e diamagnéticos. A energia é então fornecida por:

{\ displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} = -k \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {B} \,}

Onde k é uma constante positiva para materiais paramagnéticos e negativa para materiais diamagnéticos. Então :

{\ displaystyle \ Delta \ left (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ right) \ geq 0 \,}

É assim mostrado que os materiais paramagnéticos têm um máximo (mas não mínimo) de energia, e vice-versa para materiais diamagnéticos.

Finalmente, o momento magnético de um ímã alinhado com o campo é dado por:

{\ displaystyle \ mathbf {M} = k {\ mathbf {B} \ over \ left | \ mathbf {B} \ right |} \,}

Sua energia é:

{\ displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} = -k {\ mathbf {B} \ over \ left | \ mathbf {B} \ right |} \ cdot \ mathbf {B} = - k {\ left (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ right) \ over \ left (B_ {x} ^ {2} + B_ { y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ right) ^ {1/2}} = - k \ left (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ right) ^ {1/2}}

É precisamente a raiz quadrada da energia do caso paramagnético (ou diamagnético) discutido acima. A função da raiz quadrada sendo estritamente crescente, induz uma bijeção que preserva os máximos e mínimos obtidos nos casos paramagnético ou diamagnético.

No entanto, não conhecemos nenhuma configuração estável de imãs que permita a levitação: deve haver outras razões que se opõem à manutenção de dipolos anti-alinhados com um campo (sem movimento rotacional, ver Levitron (en) ).

Dipolo de direção fixa

Mostraremos que em qualquer ponto do espaço:

{\ displaystyle \ Delta U = {\ frac {\ parcial ^ {2} U} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} U} {\ parcial y ^ {2} }} + {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial z ^ {2}}} = 0}

A energia U do dipolo M submetido a um campo externo é novamente:

{\ displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B}}

O Laplaciano de energia é então:

{\ displaystyle \ Delta U = - \ left [{\ frac {\ partial ^ {2} (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z})} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z})} {\ parcial y ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z})} {\ parcial z ^ {2}}} \ direita]}

Expandindo e reduzindo os termos laplacianos, se M for uma constante, obtemos:

{\ displaystyle \ Delta U = - \ left (M_ {x} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} B_ {x}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} B_ {x}} {\ parcial y ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} B_ {x}} {\ parcial z ^ {2}}} \ direita) + M_ {y} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} B_ {y}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} B_ {y}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} B_ {y}} {\ partial z ^ {2}}} \ right) + M_ {z} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} B_ {z}} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} B_ {z}} {\ parcial y ^ {2}}} + {\ frac { \ parcial ^ {2} B_ {z}} {\ parcial z ^ {2}}} \ direita) \ direita)}

{\ displaystyle \ Delta U = - \ left (M_ {x} \ Delta B_ {x} + M_ {y} \ Delta B_ {y} + M_ {z} \ Delta B_ {z} \ right) \,}

mas os laplacianos dos componentes do campo magnético são zero no vácuo (na ausência de radiação). A demonstração, portanto, termina com a obtenção:

{\ displaystyle \ Delta U = - \ left (M_ {x} 0 + M_ {y} 0 + M_ {z} 0 \ right) = 0 \,}

Dipolo alinhado em um campo externo

O caso de um dipolo paramagnético (ou diamagnético ) é considerado primeiro. Sua energia é dada por:

{\ displaystyle U = -k \ left (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ right) \,}

Expandindo e reduzindo sua expressão, obtemos:

{\ displaystyle \ Delta \ left (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ right) = 2 \ left [\ left | \ nabla B_ {x } \ right | ^ {2} + \ left | \ nabla B_ {y} \ right | ^ {2} + \ left | \ nabla B_ {z} \ right | ^ {2} + B_ {x} \ nabla ^ {2} B_ {x} + B_ {y} \ nabla ^ {2} B_ {y} + B_ {z} \ nabla ^ {2} B_ {z} \ right]}

mas uma vez que o Laplaciano de cada componente é zero no vácuo:

{\ displaystyle \ Delta \ left (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ right) = 2 \ left [\ left | \ nabla B_ {x } \ right | ^ {2} + \ left | \ nabla B_ {y} \ right | ^ {2} + \ left | \ nabla B_ {z} \ right | ^ {2} \ right]}

Finalmente, como o quadrado de um número real é positivo, obtemos:

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ left (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ right) \ geq 0}

Laplaciano do campo magnético

Mostramos nesta seção que o Laplaciano de cada componente do campo magnético é zero. Teremos de recorrer às propriedades dos campos magnéticos, como divergência zero e rotação zero na ausência de corrente e radiação, que derivam das equações de Maxwell .

O Laplaciano do componente ao longo de x do campo magnético é:

{\ displaystyle \ Delta B_ {x} = {\ parcial ^ {2} B_ {x} \ over \ parcial x ^ {2}} + {\ parcial ^ {2} B_ {x} \ over \ parcial y ^ { 2}} + {\ parcial ^ {2} B_ {x} \ sobre \ parcial z ^ {2}} = {\ parcial \ sobre \ parcial x} {\ parcial \ sobre \ parcial x} B_ {x} + { \ parcial \ sobre \ parcial y} {\ parcial \ sobre \ parcial y} B_ {x} + {\ parcial \ sobre \ parcial z} {\ parcial \ sobre \ parcial z} B_ {x}}

A rotação de B sendo zero,

{\ displaystyle {\ parcial B_ {x} \ over \ parcial y} = {\ parcial B_ {y} \ over \ parcial x}}

{\ displaystyle {\ parcial B_ {x} \ over \ parcial z} = {\ parcial B_ {z} \ over \ parcial x}}

Então nós temos :

{\ displaystyle \ Delta B_ {x} = {\ parcial \ sobre \ parcial x} {\ parcial \ sobre \ parcial x} B_ {x} + {\ parcial \ sobre \ parcial y} {\ parcial \ sobre \ parcial x } B_ {y} + {\ parcial \ sobre \ parcial z} {\ parcial \ sobre \ parcial x} B_ {z}}

No entanto, é diferenciável (e supomos que seja infinitamente). Então : $B_x$

{\ displaystyle \ Delta B_ {x} = {\ parcial \ sobre \ parcial x} \ esquerda ({\ parcial B_ {x} \ sobre \ parcial x} + {\ parcial B_ {y} \ sobre \ parcial y} + {\ parcial B_ {z} \ sobre \ parcial z} \ direita) = {\ parcial \ sobre \ parcial x} \ esquerda (\ nabla \ cdot \ mathbf {B} \ direita)}

A divergência de B é zero, portanto constante:

{\ displaystyle \ Delta B_ {x} = {\ parcial \ sobre \ parcial x} \ esquerda (\ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0 \ direita) = 0}

É o mesmo para os componentes ao longo de y e z do campo magnético.

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Teorema de Earnshaw " ( ver lista de autores ) .
(pt) S. Earnshaw, “Sobre a natureza das forças moleculares que regulam a constituição do éter luminífero”, em Trans. Camb. Phil. Soc. , voar. 7, 1842, pág. 97-112

links externos

(pt) Teorema Earnshaw e conseqüências levitação
(pt) von Samuel Earnshaw