Teorema de Monsky
Em matemática , e mais precisamente em geometria , o teorema de Monsky afirma que é impossível particionar um quadrado em um número ímpar de triângulos da mesma área . Em outras palavras, um quadrado não admite uma equidissecção ímpar.
A pergunta foi feita por Fred Richman no American Mathematical Monthly em 1965, e os resultados demonstrados por Paul Monsky (in) em 1970.
Demonstração
A prova de Monsky combina técnicas de álgebra e análise combinatória ; aqui está ele em linhas gerais:
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Sem perda de generalidade , consideramos o quadrado unitário dos vértices em (0,0), (0,1), (1,0) e (1,1); em uma dissecção em n triângulos da mesma área, cada triângulo é, portanto, de área 1 / n .
- Usamos a avaliação 2-adic das coordenadas de cada ponto do quadrado para colorir este ponto com uma cor entre três cores distintas.
- Mostramos que uma linha contém apenas pontos com apenas duas cores diferentes.
- Os lema Sperner mostra que qualquer triangulação triângulos de um quadrado tendo lados comuns deve conter, pelo menos, um triângulo cujos três vértices têm cores distintas.
- Usamos a propriedade de coloração das linhas para deduzir que existe um triângulo tricolor em qualquer triangulação, mesmo que os triângulos não sejam de ponta a ponta.
- Um cálculo algébrico mostra que a avaliação 2-ádica da área de um triângulo tricolor é maior que 1 e, portanto, qualquer dissecação deve conter pelo menos um triângulo de avaliação> 1.
- A avaliação 2-ádica de 1 / n é 1 se n for ímpar, o que completa a prova.
Generalizações
O teorema pode ser generalizado em qualquer dimensão (sem muita modificação da prova): um hipercubo de dimensão d só pode ser subdividido em n simplexes do mesmo volume se n for um múltiplo de .
d!=1×2×3×⋯×d{\ displaystyle d! = 1 \ times 2 \ times 3 \ times \ dots \ times d}![{\ displaystyle d! = 1 \ times 2 \ times 3 \ times \ dots \ times d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c2db3431ca97aaa813e4c280e6bb5300761b363)
Notas e referências
(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em
inglês intitulado
" Teorema de Monsky " ( veja a lista de autores ) .
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(em) Martin Aigner e Günter M. Ziegler , Provas do Livro , Berlim, Springer-Verlag ,2010, 4 th ed. , 131-138 p. ( DOI 10.1007 / 978-3-642-00856-6_20 ) , "Um quadrado e um número ímpar de triângulos".
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(em) Paul Monsky, " Nós dividindo um quadrado em triângulos " , Amer. Matemática. Mensalmente , vol. 77,1970, p. 161-164 ( JSTOR 2317329 , ler online )
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(em) Uma análise detalhada da demonstração , por Moor Xu.
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Na realidade, esta valoração costuma ser definida apenas nos racionais , devendo ser estendida aos reais para poder concluir a prova; embora construir tal continuação sobre todo o R exija o axioma da escolha , o uso que Monsky faz dessa avaliação não exige esse axioma.
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(pt) Dissecando um quadrado em triângulos , onde um exemplo da coloração é encontrado.
Veja também
Trissecção do quadrado
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