Vetor de posição
Mudança
A posição é um deslocamento, cuja origem é o ponto de partida.
Em geometria , o vetor de posição , ou vetor de raio , é o vetor usado para indicar a posição de um ponto em relação a um sistema de coordenadas . A origem do vetor está na origem fixa do sistema de coordenadas e sua outra extremidade na posição do ponto. Se denotarmos esta posição por M e a origem por O , o vetor posição é denotado . Também é observado ou .
OM→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}}ℓ→{\ displaystyle {\ vec {\ ell}}}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}
Em física , o vetor de deslocamento de um ponto material ou de um objeto é o vetor que conecta uma posição antiga a uma nova, portanto, o vetor de posição final menos o vetor de posição inicial. O trabalho de uma força , por exemplo, é igual ao produto da força pelo deslocamento de seu ponto de aplicação . Se denotarmos por A e B as posições de dois pontos, o vetor de deslocamento de A para B é denotado .
NOB→=OB→-ONO→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {AB}}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {OB}}} - {\ overrightarrow {\ mathrm {OA}}}}
Tamanho físico
Deslocamento e comprimento
Um deslocamento e um comprimento são expressos em metros , mas essas duas quantidades não são equivalentes. O termo “ comprimento ” é bastante reservado para a medição geométrica de um objeto, uma distância ou um caminho, é o resultado de uma integral curvilínea . Esse comprimento é então um escalar extenso (o comprimento total de um trem é a soma dos comprimentos de seus componentes). Por outro lado, um “deslocamento” é uma grandeza vetorial (caracterizada por uma direção e uma norma) e intensiva (é definida em cada ponto, não podendo ser adicionada de um ponto a outro).
Do ponto de vista da análise dimensional , essas duas quantidades são comprimentos, mas a quantidade de orientação é diferente: o comprimento é um escalar em L · 1 0 enquanto o deslocamento é um vetor em L · 1 x .
Ao longo de uma curva, o deslocamento elementar é uma quantidade cuja integral sobre a totalidade de um segmento pode levar a:
dℓ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {d} \ ell}}}
eu=∫NOBdℓ=∫NOB‖∂OM→dvocê‖dvocê{\ displaystyle L = \ int _ {\ mathrm {A}} ^ {\ mathrm {B}} \ mathrm {d} \ ell = \ int _ {\ mathrm {A}} ^ {\ mathrm {B}} \ esquerda \ | {\ frac {\ parcial \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ mathrm {d} u}} \ direita \ | \ mathrm {d} u}, onde
u é uma
parametrização da curva ;
- o deslocamento entre suas duas extremidades (cujo módulo é o comprimento da corda AB ):
NOB→=∫NOBdℓ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {AB}}} = \ int _ {\ mathrm {A}} ^ {\ mathrm {B}} {\ overrightarrow {\ mathrm {d} \ ell}}}.
Deslocamento e posição
Ao contrário do vetor posição, o vetor deslocamento não se refere a uma origem, mas a um ponto inicial. A diferença entre posição e deslocamento depende apenas do estado do ponto de origem: o vetor de deslocamento é igual ao vetor de posição quando a origem é tomada em relação ao ponto de partida; e, inversamente, o vetor posição é o deslocamento que deve ser realizado para ir da origem ao ponto considerado.
Essas duas noções estão relacionadas na cinemática de ponto : a velocidade é definida como a derivada do vetor posição com respeito ao tempo, mas a velocidade primitiva (definida até uma origem arbitrária) não é de interesse, ao contrário da integral desta velocidade sobre um intervalo de tempo, que fornece o vetor de deslocamento deste ponto.
Escrevendo um vetor
Coordenadas cartesianas
Em coordenadas cartesianas (origem O e vetores de base ):
ex→,ey→,ez→{\ displaystyle {\ vec {e_ {x}}}, {\ vec {e_ {y}}}, {\ vec {e_ {z}}}}
OM→=(xyz)=xex→+yey→+zez→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} = {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}} = x \, {\ vec {e_ {x}}} + y \, {\ vec {e_ {y}}} + z \, {\ vec {e_ {z}}}}onde x , y e z são as coordenadas do ponto M no sistema de coordenadas cartesianas.
Coordenadas cilíndricas
Em coordenadas cilíndricas (origem O e vetores de base ):
er→,eθ→,ez→{\ displaystyle {\ vec {e_ {r}}}, {\ vec {e _ {\ theta}}}, {\ vec {e_ {z}}}}
OM→=(r0z)=rer→+zez→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} = {\ begin {pmatrix} r \\ 0 \\ z \ end {pmatrix}} = r \, {\ vec {e_ {r}}} + z \, {\ vec {e_ {z}}}}Relação com coordenadas cartesianas (ortonormal)
As coordenadas polares r e θ do ponto M estão ligados ao seu plano cartesiano coordenadas x e y por:
x=rporque(θ){\ displaystyle x = r \ cos (\ theta)}
y=rpecado(θ){\ displaystyle y = r \ sin (\ theta)}
Os vetores de base e dependem de θ :
er→{\ displaystyle {\ vec {e_ {r}}}}eθ→{\ displaystyle {\ vec {e _ {\ theta}}}}
er→=ex→porque(θ)+ey→pecado(θ){\ displaystyle {\ vec {e_ {r}}} = {\ vec {e_ {x}}} \ cos (\ theta) + {\ vec {e_ {y}}} \ sin (\ theta)}
eθ→=-ex→pecado(θ)+ey→porque(θ){\ displaystyle {\ vec {e _ {\ theta}}} = - {\ vec {e_ {x}}} \ sin (\ theta) + {\ vec {e_ {y}}} \ cos (\ theta) }
Coordenadas esféricas
Em coordenadas esféricas (origem O e vetores de base ):
eρ→,eθ→,eφ→{\ displaystyle {\ vec {e _ {\ rho}}}, {\ vec {e _ {\ theta}}}, {\ vec {e _ {\ varphi}}}}
OM→=(ρ00)=ρeρ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} = {\ begin {pmatrix} \ rho \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}} = \ rho \, {\ vec {e _ {\ rho} }}}Relação com coordenadas cartesianas (ortonormal)
As coordenadas esféricas ρ , θ e φ do ponto M são conectadas às suas coordenadas cartesianas planas x , y e z por:
x=ρpecado(θ)porque(φ){\ displaystyle x = \ rho \ sin (\ theta) \ cos (\ varphi)}
y=ρpecado(θ)pecado(φ){\ displaystyle y = \ rho \ sin (\ theta) \ sin (\ varphi)}
z=ρporque(θ){\ displaystyle z = \ rho \ cos (\ theta)}
Os vetores de base , e dependem de θ e φ :
eρ→{\ displaystyle {\ vec {e _ {\ rho}}}}eθ→{\ displaystyle {\ vec {e _ {\ theta}}}}eφ→{\ displaystyle {\ vec {e _ {\ varphi}}}}
eρ→=ex→pecado(θ)porque(φ)+ey→pecado(θ)pecado(φ)+ez→porque(θ){\ displaystyle {\ vec {e _ {\ rho}}} = {\ vec {e_ {x}}} \ sin (\ theta) \ cos (\ varphi) + {\ vec {e_ {y}}} \ sin (\ theta) \ sin (\ varphi) + {\ vec {e_ {z}}} \ cos (\ theta)}
eθ→=ex→porque(θ)porque(φ)+ey→porque(θ)pecado(φ)-ez→pecado(θ){\ displaystyle {\ vec {e _ {\ theta}}} = {\ vec {e_ {x}}} \ cos (\ theta) \ cos (\ varphi) + {\ vec {e_ {y}}} \ cos (\ theta) \ sin (\ varphi) - {\ vec {e_ {z}}} \ sin (\ theta)}
eφ→=-ex→pecado(θ)pecado(φ)+ey→pecado(θ)porque(φ){\ displaystyle {\ vec {e _ {\ varphi}}} = - {\ vec {e_ {x}}} \ sin (\ theta) \ sin (\ varphi) + {\ vec {e_ {y}}} \ sin (\ theta) \ cos (\ varphi)}
Conceitos relacionados
O vetor de deslocamento é definido como a diferença entre os vetores de posição de um ponto em dois momentos diferentes.
A derivada de um vetor de posição com respeito ao tempo fornece um vetor de velocidade .
Notas e referências
-
Entrada "vetor de posição" em Richard Taillet Loïc Villain e Pascal Febvre, Dicionário de Física , Bruxelas, Oxford University Press ,2008( ISBN 978-2-8041-5688-6 , aviso BnF n o FRBNF41256105 ) , p. 519( online no Google Livros ).
Veja também
Artigos relacionados
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