Fluxo de Stokes

Quando um fluido viscoso flui lentamente em um lugar estreito ou ao redor de um objeto pequeno , os efeitos viscosos dominam os efeitos inerciais . Seu fluxo é então chamado de fluxo de Stokes (ou fluxo lento ; às vezes falamos de fluido de Stokes em oposição a fluido perfeito ). Na verdade, é regido por uma versão simplificada da equação de Navier-Stokes : a equação de Stokes , na qual os termos inerciais estão ausentes. O número de Reynolds mede o peso relativo dos termos viscosos e inerciais na equação de Navier-Stokes . O fluxo de Stokes, portanto, corresponde a um número de Reynolds baixo (muito menor que 1).

A equação de Stokes permite, em particular, descrever a sedimentação de partículas muito pequenas em líquidos ou mesmo gases (no caso de cristais de gelo que se depositam na alta atmosfera ou mesmo nevoeiro comum), bem como os fluxos de líquido nos dispositivos. . Os fluxos Couette e Poiseuille também são descritos por esta equação.

Equação de Stokes

A equação de Stokes, que descreve o fluxo de um fluido newtoniano incompressível em estado estacionário e baixo número de Reynolds , está escrita:

{\ displaystyle \ mu \ Delta {\ vec {v}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, p- \ rho {\ vec {f}}}

ou :

$\ vec {v} (\ vec {r})$ é a velocidade do fluido;
$p (\ vec {r})$ é a pressão no fluido;
$\ rho$ é a densidade do fluido;
$\ mu$ é a viscosidade dinâmica do fluido;
$\ vec {f}$ é uma força de massa exercida no fluido (gravidade, por exemplo);
$\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}$ e são, respectivamente, os operadores gradiente e diferencial Laplaciano . $\Delta$

Condições de aplicação

A equação de Stokes é uma forma simplificada da equação de momento contida nas equações de Navier-Stokes . Para um fluido newtoniano, está escrito:

{\ displaystyle \ rho {\ frac {\ partial {\ vec {v}}} {\ partial t}} + \ rho \ left ({\ vec {v}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}} } \ right) {\ vec {v}} = \ rho {\ vec {f}} - {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, p + \ mu \ Delta \, {\ vec {v}} + \ left (\ mu '+ {\ frac {\ mu} {3}} \ right) {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} (\ mathrm {div} \, {\ vec {v}})}

ou :

${\ displaystyle {\ vec {v}} ({\ vec {r}}, t)}$ é a velocidade do fluido;
${\ displaystyle p ({\ vec {r}}, t)}$ é a pressão no fluido;
$\ rho$ é a densidade do fluido;
$\ mu$ é a (principal) viscosidade do fluido;
${\ displaystyle \ mu '}$ é a segunda viscosidade do fluido;
$\ vec {f}$ é uma força de massa exercida no fluido (por exemplo: gravidade );
$t$ representa o tempo ;
$\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}$ , e são, respectivamente, os operadores gradiente , divergência e diferencial Laplaciano . ${\ displaystyle {\ text {div}}}$ $\Delta$

NB: para estabelecer esta fórmula, devemos assumir que as variações espaciais de e são desprezíveis. $\ mu$ ${\ displaystyle \ mu '}$

Se, além disso, o fluido for incompressível (boa aproximação para líquidos), então e a equação é simplificada: ${\ displaystyle {\ text {div}} \, {\ vec {v}} = 0}$

{\ displaystyle \ rho {\ frac {\ partial {\ vec {v}}} {\ partial t}} + \ rho \ left ({\ vec {v}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}} } \ right) {\ vec {v}} = \ rho {\ vec {f}} - {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, p + \ mu \ Delta \, {\ vec {v}} }

Na maioria dos casos, escrevemos a equação de Stokes para um fluxo estacionário (ou quase estacionário), onde o termo é insignificante em comparação com o termo viscoso . A equação simplifica ainda mais: . ${\ displaystyle \ rho {\ frac {\ parcial {\ vec {v}}} {\ parcial t}}}$ ${\ displaystyle \ mu \ Delta \, {\ vec {vb}}}$ ${\ displaystyle \ rho \ left ({\ vec {v}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \ right) {\ vec {v}} = \ rho {\ vec {f}} - { \ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, p + \ mu \ Delta \, {\ vec {v}}}$

Podemos avaliar a ordem de magnitude dos termos inerciais e viscosos nesta equação. Se a velocidade característica do líquido é , e se a escala espacial típica de variação da velocidade é (isso poderia ser imposto pelas dimensões do canal em que o líquido flui, as dimensões do objeto em torno do qual o líquido flui, etc. .), então: $você$ $A$

{\ displaystyle \ rho \ left ({\ vec {v}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \ right) {\ vec {v}} \ sim {\ frac {\ rho U ^ {2 }}{A}}}

{\ displaystyle \ mu \ Delta \, {\ vec {v}} = \ rho \ nu \ Delta \, {\ vec {v}} \ sim {\ frac {\ rho \ nu U} {L ^ {2} }}}

onde é a viscosidade cinemática do líquido. $\nu$

O termo inercial será, portanto, insignificante em comparação com o termo viscoso se: ${\ displaystyle \ rho \ left ({\ vec {v}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \ right) {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle \ mu \ Delta \, {\ vec {vb}}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ rho U ^ {2}} {L}} \ ll {\ frac {\ rho \ nu U} {L ^ {2}}}}

, ou :

{\ displaystyle {\ frac {UL} {\ nu}} \ ll 1}

onde reconhecemos a expressão do número de Reynolds .

Propriedades das soluções da equação de Stokes

Ao contrário da equação de Navier-Stokes, a equação de Stokes é linear (o termo inercial, não linear, é de fato desprezível). Os fluxos de solução desta equação, conseqüentemente, têm propriedades muito específicas:

unicidade : para determinadas condições de contorno (valor da velocidade ao nível das paredes e / ou no infinito), existe um e apenas um escoamento que satisfaz a equação de Stokes;
aditividade : as soluções da equação de Stokes verificam o princípio da superposição : se e são soluções, então qualquer combinação linear também o será (isso não é incompatível com a propriedade de unicidade: apenas o escoamento que satisfaça as boas condições nos limites será observado ); $\ vec {vb} _1$ $\ vec {vb} _2$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} {\ vec {v}} _ {1} + \ lambda _ {2} {\ vec {v}} _ {2}}$
reversibilidade : se um campo de velocidade é uma solução para a equação, então também o é, desde que o sinal dos gradientes de pressão, bem como as velocidades da parede e no infinito, sejam alterados (esta é uma consequência direta da sobreposição do princípio) ; essa propriedade é contrária à nossa intuição, baseada em nossa experiência de fluxos macroscópicos: a reversibilidade de fluxos de baixo número de Reynolds levou, portanto, seres vivos muito pequenos a desenvolver meios originais de propulsão; ${\ displaystyle {\ vec {v}} ({\ vec {r}})}$ ${\ displaystyle - {\ vec {v}} ({\ vec {r}})}$
Paradoxo de Stokes : deve-se ter cuidado para que as soluções matemáticas da equação de Stokes, em um dado caso ou em certas regiões do domínio da solução, possam ser fisicamente falsas. Isto deve-se ao “paradoxo de Stokes”, nomeadamente que as condições físicas que permitem reduzir a equação de Navier-Stokes à equação de Stokes não se realizam necessariamente em todo o domínio da solução, a priori. Isso leva a soluções que exibem um comportamento potencialmente aberrante dentro de certos limites. É o caso, por exemplo, do “no infinito”, onde muitas vezes o termo inercial acaba vencendo o termo viscoso, sem que seja possível prejulgá-lo a priori.

Solução para uma esfera

A equação de Stokes pode ser resolvida analiticamente para calcular a força exercida em uma esfera de raio r :

{\ displaystyle {\ vec {F}} = - 6 \ pi \ mu r {\ vec {v}}}

Porém, de acordo com o hábito dos engenheiros quando se trata de esferas e cilindros, é mais conveniente usar o diâmetro D da esfera do que seu raio (engenheiros, mesmo em aerodinâmica, usam muito pouco o raio porque não sabem como Meça isto); o arrasto da esfera no regime de Stokes é então escrito:

{\ displaystyle {\ vec {F}} = - 3 \ pi \ mu D {\ vec {v}}}

A partir dessa equação, fica claro que o arrasto da esfera é proporcional à viscosidade dinâmica, à velocidade v e ao diâmetro D da esfera. É então natural considerar que o escalar 3π caracteriza a forma da esfera e é o coeficiente de arrasto adimensional da esfera (com referência ao seu diâmetro D ). Horace Lamb teve a intuição disso em 1911 e caracterizou o arrasto de seus cilindros infinitos por um coeficiente adimensional que Zdravkovich chama de coeficiente de resistência de Lamb .

No entanto, a fim de relacionar o resultado de GG Stokes para a esfera com todos aqueles obtidos para os números de Reynolds mais altos (ainda para a esfera), Wieselsberger, desenhando sua curva (veja abaixo a curva unificada de Wieselsberger após levar em consideração o medições mais recentes) teve que adotar, para a faixa de Stokes, o coeficiente de arrasto clássico adimensional (que qualificaremos como quadrático):

{\ displaystyle C_ {x} = {\ frac {| F |} {(1/2) \ rho v ^ {2} \ pi r ^ {2}}}}

A adoção deste coeficiente quadrático leva, após simplificação a:

{\ displaystyle C_ {x} = {\ frac {24} {R_ {eD}}}}

$R eD$ sendo o número de Reynolds com base no diâmetro D = 2 r da esfera, ou seja:

{\ displaystyle R_ {eD} = {\ frac {\ rho vD} {\ mu}}}

Esta escolha de Wieselsberger tende, no entanto, face à curva unificada resultante, "a dar a impressão de que a resistência ao baixo Reynolds está a assumir valores enormes", segundo Zdravkovich. Isso é explicado pelo fato de que este quadrático $C x$ , tão útil e eloqüente no Reynolds forte, não tem mais qualquer significado no regime de Stokes: na verdade, ao contrário do que acontece no alto Reynolds, o arrasto nos Stokes não forma proporcional ao quadrado da velocidade, nem à superfície frontal do corpo e menos ainda à densidade do fluido (que também se supõe que não atue em Reynolds muito baixos).

Ao contrário, pode-se pensar, de acordo com a proposição de Horace Lamb, em caracterizar os movimentos da esfera (e de todos os outros corpos) no regime de Stokes por um coeficiente linear adimensional de arrasto que será constante no regime de Stokes. Este coeficiente linear adimensional de arrasto pode ser chamado de $C x$ linear (mas também pode ser chamado de coeficiente de Lamb) e é definido da seguinte forma:

{\ displaystyle C_ {x {\ text {Lin Ref.L}}} = {\ frac {| F |} {\ mu Lv}}}

definição onde F é o arrasto (ou a projeção da resultante hidrodinâmica no eixo x), a viscosidade dinâmica, v é a velocidade no eixo xe L é um comprimento característico do corpo. $\ mu$

Para a esfera, como dito anteriormente, esse comprimento característico ganha por ser tomado como o diâmetro D , o que leva (com referência a este diâmetro) ao linear $C x$ 3π, constante sob o regime de Stokes.

Para todos os outros corpos neste mesmo regime, o $C x$ linear será igualmente constante: esta é uma das características dos fluxos de Stokes. Citemos, por exemplo, o $C x$ linear do cubo que vale 4π em relação ao seu lado (em todas as direções) ou o $C x$ linear do disco que vale 8 e 5,333 em movimentos frontais e coplanares (com referência a seu diâmetro). Quando conhecemos o $C x$ linear de qualquer corpo, o arrasto é então facilmente obtido multiplicando seu $C x$ linear pelo comprimento característico que presidiu ao seu estabelecimento, por µ e pela velocidade v do escoamento.

Da mesma forma que no Reynolds alto, a superfície de referência que foi usada para estabelecer um $C x$ quadrático deve sempre ser especificada, o comprimento que foi usado para estabelecer um $C x$ linear deve sempre ser especificado.

Solução para outros corpos além da esfera

A equação de Stokes foi resolvida para outros corpos além da esfera. Assim, Oberbeck obteve em 1876 o valor exato do arrasto do elipsóide de revolução (alongado ou achatado). Isto dá, pelo achatamento deste elipsóide, tanto quanto possível, o linear Cx do disco (8) em deslocamentos frontais ou 5,333 em deslocamentos no seu próprio plano (estes dois linear $C x$ com referência ao diâmetro do disco). Da mesma forma, maximizando o elipsóide, obtemos o $C x$ linear de "agulhas elipsoidais" que por muito tempo foi usado para cilindros longos ou "hastes".

O arrasto do toro (mesmo contíguo) foi calculado da mesma forma, bem como o da lente biesférica e das esferas fundidas, bem como o das calotas esféricas ocas ou o das esferas deslocadas simetricamente. Assim, o $C x$ linear do hemisfério oco é a média do disco (8) e da esfera (3π) é 8,7124 (com referência ao diâmetro da esfera integral e do disco).

Cox calculou o arrasto das "hastes cilíndricas" (isto é, cilindros delgados de comprimento / diâmetro razoavelmente grandes) em deslocamentos transversais ou axiais. Ele estendeu sua demonstração ao cone e ao bicone (estocadas sempre bem fortes).

Bartuschat et al. calcularam mais recentemente, pelo método treliça de Boltzmann 3D, as características de arrasto de corpos hemisférico-cilíndricos de esbeltez 2 a 7 em deslocamentos transversais ou axiais. Tais métodos combinando princípios matemáticos e recursos computacionais deram acesso às características de arrasto (ainda no regime de Stokes) de cilindros curtos (Roger e Ui) ou placas retangulares ou quadradas (Sunada, Tokutake e Okada); o $C x$ linear da placa quadrada delgada emerge dela valendo, em relação ao seu lado, 9,15 para os deslocamentos frontais e 6,13 para os deslocamentos em seu próprio plano (deslocamentos coplanares).

As características de arrasto de prismas retangulares foram aproximadas por experimento (Heiss & Coull, Malaika). Mais recentemente, S. Sunada, R. Ishida, H. Tokutake e S. Okada determinaram essas características por cálculo. Um panorama desses resultados mostra que o problema do arrasto de prismas retangulares está prestes a ser resolvido.

EO Tuck, matemático australiano, inventou um método inverso que permite desenhar aleatoriamente quaisquer corpos de revolução (de grande esbeltez L / D) cujo arrasto já conhecemos. Alguns desses corpos de revolução arbitrários podem estar muito próximos de corpos geométricos, como corpos com gerador circular ou corpos hemi-elipsoido-cilíndricos (dos quais os corpos hemisférico-cilíndricos são casos especiais).

O arrasto do cubo foi determinado satisfatoriamente por experimento ( $C x$ linear = 4π, com referência ao seu lado).

Para corpos de revolução (ou corpos simétricos axiais, como prismas baseados em quadrados) de esbeltez L / D bastante grande, costuma-se dizer que seu arrasto transversal é quase o dobro de seu arrasto axial (em fluido e velocidade idênticos). Isso só é verdadeiro para esbeltez muito forte (este quociente de arrasto atinge apenas ~ 1,75 para um cilindro circular ou elipsóide de esbeltez 1000, por exemplo).

No que diz respeito a corpos 2D, como cilindros de comprimento infinito de seção circular ou elíptica ou paletes (também de comprimento infinito), os matemáticos, tropeçando no paradoxo de Stokes, só foram capazes de determinar seu arrasto no regime descrito pelas equações de Stokes-Oseen ( para os Reynolds em torno da unidade onde a inércia começa a ser sentida).

Outras soluções da equação de Stokes

A relativa simplicidade da lei de Stokes permite uma mudança de escala ( média de volume ou homogeneização ), levando a resultados teóricos importantes:

estabelecimento da lei de Darcy para fluxo de baixa velocidade em meios porosos,
construção de “leis de parede” (condições de contorno para uma parede lisa equivalente) para o escoamento sobre uma superfície rugosa que, na ausência de aplicações diretas, geralmente esclarece este difícil problema.

Referências e bibliografia

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(em) George K. Batchelor , An Introduction to Fluid Mechanics , Cambridge / New York, Cambridge University Press ,2000, 615 p. ( ISBN 0-521-66396-2 )
(em) Momchilo Mr. Zdravkovich, " Uma observação crítica sobre o uso do coeficiente de arrasto em números de Reynolds baixos " , Coleção de trabalhos do Instituto de Matemática, Nova Série , Vol. 3, n o 11,1979( leia online [PDF] ).
(em) Carl Wieselsberger, " Mais informações sobre as leis de resistência a fluidos " , NACA TN No. 121 ,1922( leia online ).
Veja por exemplo a imagem: Linear Cx de prismas retangulares no regime de Stokes de acordo com Sunada et al.
(em) Stephen Whitaker, The Averaging Method of issue , Kluwer Academic Publishers ,2010, 471 p. ( ISBN 978-3-642-05194-4 )
Y. Achdou, P. Le Tallec, F. Valentin e O. Pironneau , " Construindo leis de parede com Decomposição de Domínio ou técnicas de expansão assintótica ", Métodos de Computador em Mecânica Aplicada e Engenharia , vol. 151, nos . 1-2,1998, p. 215-232

E. Guyon , J.-P. Hulin, L. Petit, hidrodinâmica físicas , Edições CNRS - Ciências da EDP , 2 nd ed. ( 1 st ed. 1991), em 2001.
J. Happel e H. Brenner, Low Reynolds number hydrodynamics , Prentice Hall , 1965.