Na mecânica dos fluidos , um fluido é considerado perfeito se for possível descrever seu movimento sem levar em conta os efeitos da viscosidade e da condução térmica . O movimento do fluido é, portanto , adiabático , descrito pelas equações de Euler .
Todos os fluidos têm viscosidade (exceto um superfluido , que na prática diz respeito apenas ao hélio de temperatura muito baixa e ao interior de uma estrela de nêutrons ). O fluido perfeito pode, portanto, ser apenas uma aproximação para uma viscosidade tendendo para zero. Isso faz com que o número de Reynolds tenda ao infinito. No entanto, este tipo de situação é muito comum, por exemplo, na aerodinâmica (onde estão envolvidos números de Reynolds muito grandes). Nessas condições, as áreas de alto cisalhamento (onde a viscosidade e a turbulência são influentes) estão concentradas em espaços apertados, chamados de camadas limites .
Em cosmologia , as diferentes formas de matéria que preenchem o universo podem ser consideradas, pelo menos em escalas onde o universo é homogêneo como fluidos perfeitos. Como o fluxo de tal fluido é isentrópico, exceto em regiões onde aparecem singularidades (choque, camada de deslizamento) descritas pelas relações Rankine-Hugoniot , a expansão do Universo é às vezes descrita como sendo adiabática , s 'Identificando em certos aspectos a expansão de um gás sem troca de calor com o exterior.
Um fluido incompressível perfeito obedece às equações de Euler de conservação de massa e momento , essas duas equações formando as equações básicas de fluidos não dissipativos, bem como uma versão do primeiro princípio da termodinâmica , sendo estes dois aspectos ( mecânica dos fluidos e termodinâmica ) próximos vinculado.
As duas primeiras equações são escritas, observando ρ a densidade do, fluido P sua pressão e v a velocidade :
, ,onde está a densidade das forças agindo sobre o fluido. Por exemplo, se considerarmos a gravidade , temos
,representando a aceleração da gravidade.
Normalmente, a densidade de energia interna de um sistema físico (no presente contexto, uma pequena região contendo um determinado fluido) depende da densidade desse fluido e de sua entropia . Na verdade, o primeiro princípio da termodinâmica afirma que a energia interna U de um sistema varia de acordo com
,onde P representa sua pressão , V o volume , T a temperatura e S a entropia. No caso de um fluido perfeito, temos por definição , portanto
,o que equivale a dizer que o elemento fluido tem uma relação um-para-um entre sua densidade de energia e sua pressão, não dependendo de um parâmetro externo. Se formos para a densidade de energia interna definida por
,nós começamos então
,de onde
.Um fluido perfeito pode ser descrito usando um pulso de energia tensor T . A partir das quais podemos encontrar as equações (conservação da massa e Euler, mais o primeiro princípio da termodinâmica) às quais o fluido perfeito obedece. Isto esta escrito
,ou, em termos de componentes,
,onde representa a densidade de energia do fluido, a soma de sua densidade de energia interna e densidade de energia de massa , sendo a densidade do elemento de fluido, ec a velocidade da luz , u a velocidade de quatro do fluido (ou seja, a velocidade geral de este elemento), eg o tensor métrico . A relatividade especial e a relatividade geral estipulam que o tensor de energia-momento de um fluido é “conservado”, ou seja, sua divergência é zero. Esta equação é escrita, em termos de componentes,
,D representando a derivada ordinária (na relatividade especial) ou a derivada covariante (na relatividade geral). O cálculo então dá
.É esta equação que permite encontrar as três equações acima mencionadas.
Demonstração 1Mostraremos que a equação anterior contém a conservação de energia. No caso clássico, isso equivale a tomar o componente temporal da equação (índice 0).
A quantidade mede a variação de uma quantidade X ao longo do caminho do elemento fluido. Portanto, corresponde à variação desta quantidade transportada pelo elemento fluido. É comumente observado , sendo o tempo natural associado ao elemento fluido. Assim obtemos
.Ao realizar o produto escalar desta equação com a velocidade quádrupla, chega-se então, notando por um ponto a derivada em relação a ,
.A velocidade quádrupla tendo uma norma constante, uma quantidade do tipo é zero. Então ele vem
.O termo , geralmente observado, é chamado de expansão do elemento fluido. Dentro do limite não relativístico , corresponde à divergência do vetor velocidade, que corresponde à taxa de variação de seu volume. Assim, temos
,o que torna possível reescrever a equação em
.Finalmente, a hipótese de conservação do número de partículas é escrita
,onde n representa a densidade da partícula. Está relacionado à sua densidade de energia de massa pela fórmula
,m sendo a massa das partículas. Esta equação é interpretada pelo fato de que o número de partículas do elemento fluido sendo constante, a variação da densidade destas ao longo do escoamento é apenas devido à variação do volume do elemento En Na prática, se voltarmos em em termos de coordenadas, a densidade das partículas é função das coordenadas do espaço e do tempo ,. Se o elemento fluido tem uma trajetória , então sua variação ao longo da trajetória é feita de acordo com aquela de e, portanto, corresponde a
.Assim, obtemos
,que podem ser agrupados em
.Assim, a equação inicial deixa apenas
,o que é reescrito
;conforme anunciado, encontramos a conservação da energia da partícula de fluido:
.Em um nível microscópico, o tensor de energia-momento de um fluido ainda pode ser determinado por um processo rigoroso, começando com uma quantidade chamada Lagrangiana . Por exemplo, o tensor de energia-momento de uma partícula pontual é imediatamente deduzido do Lagrangiano que a descreve. Na mecânica dos fluidos, considera-se que a distribuição das partículas que compõem o fluido pode, além de uma determinada escala, ser considerada um meio contínuo .
Por outro lado, a nível macroscópico, nada permite afirmar com certeza que o impulso tensorial de energia pode ser derivado de um Lagrangiano macroscópico. Normalmente, o tensor de energia momentum de um fluido é determinado primeiro escrevendo o tensor de energia momentum de uma partícula e, em seguida, assumindo uma certa distribuição de partículas em uma região do espaço (uma função de distribuição ), em seguida, calculando a média da energia momentum individual tensores sobre um volume pequeno em comparação com as dimensões do problema, mas grande em comparação com a separação entre partículas. Nada permite afirmar que é possível encontrar um momento tensorial de energia a partir de um Lagrangiano que já estaria “medido” em um conjunto de partículas. O fluido perfeito é neste aspecto um caso especial, porque é possível determiná-lo desta forma, embora a demonstração não seja trivial.
Além da aproximação perfeita de fluido, falamos de fluido viscoso, descrito pelas equações de Navier-Stokes .