Equação de calor
Em matemática e física teórica , a equação do calor é uma equação diferencial parcial parabólica, para descrever o fenômeno físico da condução térmica , inicialmente introduzido em 1807 por Joseph Fourier , após experimentos de propagação do calor, seguido da modelagem da evolução da temperatura com trigonométricas séries , desde então denominadas séries de Fourier e transformadas de Fourier , permitindo um grande avanço na modelagem matemática dos fenômenos, em particular para os fundamentos da termodinâmica, e que também levaram a trabalhos matemáticos muito importantes para torná-los rigorosos, uma verdadeira revolução em ambas as físicas e matemática, ao longo de mais de um século.
Uma variante dessa equação está muito presente na física com o nome genérico de equação de difusão . É encontrada na difusão de massa em meio binário ou de carga elétrica em um condutor, transferência radiativa , etc. Também está relacionado à equação de Burgers e à equação de Schrödinger .
Obtendo a equação
Podemos definir uma lei de conservação para uma variável extensa impulsionada pela velocidade e incluindo um termo de produção de volume por:
ϕ{\ displaystyle \ phi}V{\ displaystyle \ mathbf {V}}S{\ displaystyle S}
∂ϕ∂t+∇⋅(ϕV)=S{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ phi \ mathbf {V}) = S}No nosso caso, vamos levar:
ϕ=h=Δhf0+∫T0TρVSPdT{\ displaystyle \ phi = h = \ Delta h_ {f} ^ {0} + \ int _ {T_ {0}} ^ {T} \ rho \, C_ {P} \, \ mathrm {d} T} |
entalpia de volume (em J m -3 ),
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ρ{\ displaystyle \ rho} |
densidade (em kg m -3 ),
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VSP{\ displaystyle C_ {P}} |
calor específico a pressão constante (em J kg −1 K −1 ),
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Δhf0{\ displaystyle \ Delta h_ {f} ^ {0}} |
calor de formação na temperatura T 0 , arbitrário (geralmente tomamos 293 K),
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V=jh{\ displaystyle \ mathbf {V} = {\ frac {\ mathbf {j}} {h}}} |
velocidade de difusão de energia no meio (em m s −1 ),
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j{\ displaystyle \ mathbf {j}} |
fluxo de difusão (em W m −2 ), a ser expresso,
|
A equação do calor será, portanto, expressa da seguinte forma:
∂h∂t+∇⋅j=S{\ displaystyle {\ frac {\ partial h} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j} = S}ou
ρVSP∂T∂t+∇⋅j=S{\ displaystyle \ rho C_ {P} {\ frac {\ parcial T} {\ parcial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j} = S}A propagação da energia é feita por um mecanismo browniano de fônons e portadores de carga elétrica (elétrons ou lacunas), portanto em uma escala característica muito pequena se comparada àquelas do problema macroscópico. É, portanto, descrito por uma equação do tipo difusão, a lei de Fourier:
j=-λ∇T{\ displaystyle \ mathbf {j} = - \ lambda \ nabla T}onde é a condutividade térmica (em W m −1 K −1 ), uma grandeza escalar que depende da composição e do estado físico do meio pelo qual o calor se difunde, e em geral também da temperatura. Também pode ser um tensor no caso de meios anisotrópicos como o grafite .
λ{\ displaystyle \ lambda}
Se o meio for homogêneo e sua condutividade depender muito pouco da temperatura, podemos escrever a equação do calor na forma:
∂T∂t-D∇2T=SρVSP{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial t}} - D \ nabla ^ {2} T = {\ frac {S} {\ rho C_ {P}}}}onde é o coeficiente de difusão térmica e o Laplaciano .
D=λρVSP{\ displaystyle D = {\ frac {\ lambda} {\ rho C_ {P}}}}∇2{\ displaystyle \ nabla ^ {2}}
Para fechar o sistema, geralmente é necessário especificar no domínio de resolução, limitado por , de saída normal :
Ω{\ displaystyle \ Omega}∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}não{\ displaystyle \ mathbf {n}}
- uma condição inicial : ;∀x∈Ω,T(x,0) = Teunãoeut(x){\ displaystyle \ forall \, \ mathbf {x} \, \ in \, \ Omega \ ,, \ quad T (\ mathbf {x}, 0) \ = \ T_ {init} (\ mathbf {x})}
- uma condição de limite na borda do campo , por exemplo:
x∈∂Ω{\ displaystyle \ mathbf {x} \, \ in \, \ partial \ Omega}
-
Condição de Dirichlet : ,T(x,t) = Tborda(x,t){\ displaystyle \ quad T (\ mathbf {x}, t) \ = \ T _ {\ text {edge}} (\ mathbf {x}, t)}
-
Condição Neumann : , dado.∂T(x,t)∂não = não(x)⋅∇T(x,t) = f(x,t){\ displaystyle \ quad {\ frac {\ partial T (\ mathbf {x}, t)} {\ partial n}} \ = \ \ mathbf {n} (\ mathbf {x}) \ cdot \ nabla T (\ mathbf {x}, t) \ = \ f (\ mathbf {x}, t)}f{\ displaystyle f}
Resolvendo a equação do calor pela série de Fourier
Um dos primeiros métodos de resolver a equação do calor foi proposto pelo próprio Joseph Fourier ( Fourier 1822 ).
Consideramos o caso simplificado da equação unidimensional, que pode modelar o comportamento do calor em uma barra. A equação é então escrita:
∂tT=α∂xx2T{\ displaystyle \ displaystyle \ partial _ {t} T = \ alpha \ partial _ {xx} ^ {2} T}com T = T ( x , t ) para x em um intervalo [0, L ], onde L é o comprimento da haste e t ≥ 0.
Damos a nós mesmos uma condição inicial:
T(x,0)=f(x)∀x∈[0,eu]{\ displaystyle T (x, 0) = f (x) \ quad \ forall x \ in [0, L]}e condições de contorno, aqui do tipo Dirichlet homogêneo:
T(0,t)=0=T(eu,t)∀t>0{\ displaystyle T (0, t) = 0 = T (L, t) \ quad \ forall t> 0}.
O objetivo é encontrar uma solução não trivial para a equação, o que exclui a solução nula. Em seguida, usamos o método de separação de variáveis , assumindo que a solução é escrita como o produto de duas funções independentes:
T(x,t)=X(x)Y(t).{\ displaystyle T (x, t) = X (x) Y (t).}Como T é a solução da equação diferencial parcial, temos:
Y′(t)αY(t)=X″(x)X(x).{\ displaystyle {\ frac {Y '(t)} {\ alpha Y (t)}} = {\ frac {X' '(x)} {X (x)}}.}Duas funções iguais que não dependem da mesma variável são necessariamente constantes, iguais a um valor anotado aqui −λ, ou seja:
Y′(t)=-λαY(t){\ displaystyle Y '(t) = - \ lambda \ alpha Y (t)}
X″(x)=-λX(x).{\ displaystyle X '' (x) = - \ lambda X (x).}
É verificado que as condições de contorno proíbem o caso λ ≤ 0 de ter soluções diferentes de zero:
- Suponha que λ <0. Então, existem constantes reais B e C tais queX(x)=Be-λx+VSe--λx{\ displaystyle X (x) = Be ^ {{\ sqrt {- \ lambda}} \, x} + Ce ^ {- {\ sqrt {- \ lambda}} \, x}}.Porém as condições de contorno impõem X (0) = 0 = X ( L ), ou seja, B = 0 = C e, portanto, T é zero.
- Suponha λ = 0. Não é, em seguida, o mesmo verdadeiro constantes B , C de tal modo que X ( x ) = Bx + C . Mais uma vez, as condições de contorno resultam em X zero e, portanto, T zero.
Resta, portanto, o caso λ> 0. Existem, então, constantes reais A , B , C tais que
Y(t)=NOe-λαt{\ displaystyle Y (t) = Ae ^ {- \ lambda \ alpha t}}
X(x)=Bpecado(λx)+VSporque(λx).{\ displaystyle X (x) = B \ sin ({\ sqrt {\ lambda}} \, x) + C \ cos ({\ sqrt {\ lambda}} \, x).}
As condições de contorno agora impõem C = 0 e que existe um número inteiro positivo n tal que
λ=nãoπeu.{\ displaystyle {\ sqrt {\ lambda}} = n {\ frac {\ pi} {L}}.}Assim, obtemos uma forma da solução. No entanto, a equação estudada é linear, portanto, qualquer combinação linear de soluções é em si uma solução. Assim, a forma geral da solução é dada por
T(x,t)=∑não=1+∞Dnãopecado(nãoπxeu)e-não2π2αteu2.{\ displaystyle T (x, t) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} D_ {n} \ sin \ left ({\ frac {n \ pi x} {L}} \ right) e ^ {- {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2} \ alpha t} {L ^ {2}}}}.}O valor da condição inicial dá:
f(x)=T(x,0)=∑não=1+∞Dnãopecado(nãoπxeu).{\ displaystyle f (x) = T (x, 0) = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} D_ {n} \ sin \ left ({\ frac {n \ pi x} {L} } \ direito).}Reconhecemos um desenvolvimento na série de Fourier , que fornece o valor dos coeficientes:
Dnão=2eu∫0euf(x)pecado(nãoπxeu)dx.{\ displaystyle D_ {n} = {\ frac {2} {L}} \ int _ {0} ^ {L} f (x) \ sin \ left ({\ frac {n \ pi x} {L}} \ direita) \, \ mathrm {d} x.}
Generalização
Outra forma de encontrar este resultado passa pela aplicação do teorema de Sturm-Liouville e a decomposição da solução com base nas soluções próprias da parte espacial do operador diferencial em um espaço que satisfaça as condições de contorno.
No caso visto anteriormente, isso equivale a determinar as soluções próprias do operador no espaço das funções duas vezes continuamente diferenciáveis e nulas nas arestas de [0, L ]. Os autovetores deste operador têm a forma:
Δvocê=∂xx2você{\ displaystyle \ Delta u = \ partial _ {xx} ^ {2} u}
enão(x)=2eupecado(nãoπxeu), ∀não⩾1,{\ displaystyle e_ {n} (x) = {\ sqrt {\ frac {2} {L}}} \ sin \ left ({\ frac {n \ pi x} {L}} \ right), \ \ forall n \ geqslant 1,}autovalores associados
Δenão=-não2π2eu2enão{\ displaystyle \ Delta e_ {n} = - {\ frac {n ^ {2} \ pi ^ {2}} {L ^ {2}}} e_ {n}}.
Assim, podemos mostrar que a base de ( e n ) é ortonormal para um produto escalar , e que qualquer função que satisfaça f (0) = f ( L ) = 0 pode decompor-se exclusivamente nesta base, que é um espaço sub-denso de L 2 ((0, L )). Continuando o cálculo, encontramos a forma esperada da solução.
Solução fundamental
Tentamos resolver a equação do calor em Rd×]0,∞[{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d} \ times] 0, \ infty [}
∂você∂t=12Δvocê{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} = {\ frac {1} {2}} \ Delta u}onde se nota , com a condição inicial . Portanto, apresentamos a equação fundamental:
Δvocê=∑eu=1d∂2você∂xeu2{\ displaystyle \ Delta u = \ sum _ {i = 1} ^ {d} {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial x_ {i} ^ {2}}}}você(⋅,0)=f{\ displaystyle u (\ cdot, 0) = f}
{∂K0∂t=12ΔK0K0(⋅,0)=δ0{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ displaystyle {\ frac {\ partial K_ {0}} {\ partial t}} = {\ frac {1} {2}} \ Delta K_ {0}} \\ K_ {0} (\ cdot, 0) = \ delta _ {0} \ end {casos}}}onde denota a massa de Dirac em 0. A solução associada a este problema (ou núcleo de calor ) é obtida, por exemplo, considerando a densidade de um movimento browniano:
δ0{\ displaystyle \ delta _ {0}}
K0(x,t)=1(2πt)d/2exp(-|x|22t){\ displaystyle K_ {0} (x, t) = {\ frac {1} {(2 \ pi t) ^ {d / 2}}} \ exp \ left (- {\ frac {| x | ^ {2 }} {2t}} \ right)},
e a solução do problema geral é obtida por convolução:
você(x,t)=K0(⋅,t)∗f=∫RdK0(x-y,t)f(y)dy=1(2πt)d/2∫Rdexp(-|x-y|22t)f(y)dy{\ displaystyle u (x, t) = K_ {0} (\ cdot, t) \ ast f = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} K_ {0} (xy, t) f (y ) \ mathrm {d} y = {\ frac {1} {(2 \ pi t) ^ {d / 2}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} \ exp \ left (- { \ frac {| xy | ^ {2}} {2t}} \ right) f (y) \ mathrm {d} y},
desde então satisfaz a equação e a condição inicial graças às propriedades do produto de convolução.
você{\ displaystyle u}
Problemas inversos
A solução da equação do calor satisfaz o seguinte princípio máximo :
∀(x,t)∈Ω×[0,T],min(0,infΩT0)⩽T⩽max(0,e aíΩT0).{\ displaystyle \ forall (x, t) \ in \ Omega \ times [0, T], \, \ min (0, \ inf _ {\ Omega} T_ {0}) \ leqslant T \ leqslant \ max (0 , \ sup _ {\ Omega} T_ {0}).}Com o tempo, a solução nunca assumirá valores inferiores ao mínimo dos dados iniciais, nem superiores ao máximo deste.
A equação do calor é uma equação diferencial parcial estável porque pequenos distúrbios das condições iniciais levam a pequenas variações na temperatura posteriormente devido a este princípio máximo. Como qualquer equação de difusão, a equação do calor tem um forte efeito regularizante na solução: mesmo que os dados iniciais apresentem descontinuidades, a solução será regular em qualquer ponto do espaço uma vez que o fenômeno de difusão tenha começado.
O mesmo não é verdade para problemas inversos, como:
- equação do calor retrógrado, ou seja, o problema dado em que se substitui a condição inicial por uma condição final do tipo ,∀x∈Ω,T(x,tf) = Tf(x){\ displaystyle \ forall \, x \, \ in \, \ Omega \ ,, \ quad T (x, t_ {f}) \ = \ T_ {f} (x)}
- a determinação das condições de contorno a partir do conhecimento da temperatura em vários pontos ao longo do tempo.
Esses problemas estão mal colocados e só podem ser resolvidos impondo uma restrição de regularização da solução.
Generalizações
A equação do calor é generalizada naturalmente:
Notas e referências
Notas
-
Se o meio for homogêneo, a condutividade é uma função simples da temperatura . Por isso, depende do espaço através das variações espaciais de temperatura: . Se depende muito pouco de ( ), também depende muito pouco de espaço.λ(T){\ displaystyle \ lambda (T)}∂λ∂x=dλdT∂T∂x{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial x}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ lambda} {\ mathrm {d} T}} \, {\ frac {\ partial T} {\ parcial x}}}λ{\ displaystyle \ lambda}T{\ displaystyle T}dλdT≈0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ lambda} {\ mathrm {d} T}} \ aprox 0}
Referências
-
Memória sobre a propagação do calor em corpos sólidos , conhecida através de um resumo publicado em 1808 sob a assinatura de Siméon Denis Poisson no Nouveau Bulletin des sciences par la Société philomathique de Paris , t. I, p. 112-116, no.6.
-
Jean Zinn-Justin , Integral de caminho em mecânica quântica: introdução , Ciências EDP ,2003, 296 p. ( ISBN 978-2-86883-660-1 , leia online ).
-
Robert Dautray, métodos probabilísticos para as equações da física , Eyrolles ,1989( ISBN 978-2-212-05676-1 ).
Veja também
Bibliografia
- Joseph Fourier , Teoria Analítica do Calor ,1822[ detalhe das edições ]
- Jean Dhombres e Jean-Bernard Robert, Joseph Fourier (1768-1830): criador da física-matemática , Paris, Belin , col. "Um estudioso, uma era,"1998, 767 p. ( ISBN 978-2-7011-1213-8 , OCLC 537928024 )
- Haïm Brezis , Análise funcional: teoria e aplicações [ detalhe das edições ]
Artigos relacionados
links externos
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