Equação geodésica

Em uma variedade Riemanniana , obtemos a equação de uma geodésica expressando que seu comprimento é mínimo - por definição.

Um sistema de coordenadas dado o tensor métrico indica o comprimento de uma curva infinitesimal: $x ^ {i}$

{\ displaystyle \ mathrm {d} s = {\ sqrt {\ pm g_ {ij} \ mathrm {d} x ^ {i} \ mathrm {d} x ^ {j}}}}

O sinal opcional é escolhido de acordo com o sinal do intervalo e a assinatura do tensor métrico. $\ PM$

Se a curva é parametrizada por meio de uma variável , escrevemos $\ tau$

{\ displaystyle {\ dot {s}} = {\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} \ tau}} = {\ sqrt {\ pm g_ {ij} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j}}}}

onde o ponto superior representa a derivada total em relação a . O comprimento da trajetória é, portanto, igual ao integral: $\ tau$

{\ displaystyle \ int {\ sqrt {\ pm g_ {ij} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j}}} \ mathrm {d} \ tau}

Ao usar o método de Lagrange relativo ao cálculo das variações para expressar que a integral é mínima, obtém-se a equação geodésica

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ dot {s}}} {\ partial x ^ {k}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ tau}} \ left ({\ frac {\ partial {\ dot {s}}} {\ partial {\ dot {x}} ^ {k}}} \ right) = 0}$

A parametrização canônica das trajetórias permite obter uma equação envolvendo os símbolos de Christoffel : ${\ displaystyle \ tau = s}$

{\ displaystyle {\ ddot {x}} ^ {k} + \ Gamma _ {ij} ^ {k} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} = 0}

Demonstração

Explicando na equação geodésica anterior: ${\ ponto {s}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ dot {s}}} {\ partial x ^ {k}}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ tau}} \ left ({\ frac {\ partial {\ dot {s}}} {\ partial {\ dot {x}} ^ {k}}} \ right) = 0}

tem-se, observando a derivada parcial do tensor métrico em comparação com a coordenada k -ésima: ${\ displaystyle g_ {ij, k} = \ parcial _ {k} g_ {ij}}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 {\ dot {s}}}} g_ {ij, k} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} - { \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ tau}} \ left ({\ frac {1} {\ dot {s}}} g_ {ki} {\ dot {x}} ^ {i } \ right) = 0}

Parametrizemos a trajetória por seu comprimento , ou seja, postulemos . Com esta escolha, temos e a equação geodésica torna-se $s$ ${\ displaystyle \ tau = s}$ ${\ displaystyle {\ dot {s}} = 1}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} g_ {ij, k} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} - {\ frac {\ mathrm {d }} {\ mathrm {d} s}} \ left (g_ {ki} {\ dot {x}} ^ {i} \ right) = 0}

Uma vez que o tensor métrico depende, mas não explicitamente , temos e a equação geodésica assume a forma $x ^ {i}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} ^ {i}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ mathrm {d} g_ {ki}} {\ mathrm {d} s}} = g_ {ki, j} {\ tfrac {\ mathrm {d} x ^ {j}} {\ mathrm {d} s}} = g_ {ki, j} {\ ponto {x}} ^ {j}}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} g_ {ij, k} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} -g_ {ki, j} {\ ponto {x}} ^ {i} {\ ponto {x}} ^ {j} -g_ {ki} {\ ddot {x}} ^ {i} = 0}

ou novamente, usando o fato de que os índices i e j desempenham papéis simétricos e, portanto, que : ${\ displaystyle g_ {ki, j} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} = g_ {kj, i} {\ dot {x}} ^ {i} { \ dot {x}} ^ {j}}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left (g_ {ij, k} -g_ {ki, j} -g_ {kj, i} \ right) {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} -g_ {ki} {\ ddot {x}} ^ {i} = 0}

No entanto, a nulidade da derivada covariante do tensor métrico permite afirmar que:

{\ displaystyle g_ {ij, k} = \ Gamma _ {ik} ^ {l} g_ {lj} + \ Gamma _ {jk} ^ {l} g_ {il}}

{\ displaystyle g_ {ki, j} = \ Gamma _ {kj} ^ {l} g_ {li} + \ Gamma _ {ij} ^ {l} g_ {kl}}

{\ displaystyle g_ {kj, i} = \ Gamma _ {ki} ^ {l} g_ {lj} + \ Gamma _ {ij} ^ {l} g_ {kl}}

portanto, usando a simetria do tensor métrico e os símbolos de Christoffel:

{\ displaystyle g_ {ij, k} -g_ {ki, j} -g_ {kj, i} = - 2 \ Gamma _ {ij} ^ {l} g_ {kl}}

e entao :

{\ displaystyle - \ Gamma _ {ij} ^ {l} g_ {kl} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j} = g_ {ki} {\ ddot {x }} ^ {i} = g_ {kl} {\ ddot {x}} ^ {l}}

renomeando o índice i para l no último empate. Basta então aplicar o inverso do tensor g para concluir que:

{\ displaystyle {\ ddot {x}} ^ {l} = - \ Gamma _ {ij} ^ {l} {\ dot {x}} ^ {i} {\ dot {x}} ^ {j}}

Exemplo

Considere o semiplano de Poincaré , cujos pontos são identificados por um par ( x , y ), com y > 0. A métrica neste semiplano é dada no ponto ( x , y ) por:

{\ displaystyle g (x, y) = {\ frac {dx ^ {2} + dy ^ {2}} {y ^ {2}}}}

O cálculo dos símbolos de Christoffel a partir deste tensor fornece:

{\ displaystyle \ Gamma _ {xx} ^ {y} = - \ Gamma _ {xy} ^ {x} = - \ Gamma _ {yx} ^ {x} = - \ Gamma _ {yy} ^ {y} = {\ frac {1} {y}}}

A equação da geodésica dá, observando e : ${\ displaystyle v_ {x} = {\ dot {x}}}$ ${\ displaystyle v_ {y} = {\ dot {y}}}$

{\ displaystyle {\ dot {v}} _ {x} - {\ frac {2} {y}} v_ {x} v_ {y} = 0}

{\ displaystyle {\ dot {v}} _ {y} + {\ frac {1} {y}} (v_ {x} ^ {2} -v_ {y} ^ {2}) = 0}

ao qual podemos adicionar a equação que foi usada como pressuposto para estabelecer a equação das geodésicas, que dá aqui: ${\ displaystyle g (v_ {x}, v_ {y}) = 1}$

{\ displaystyle {\ frac {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}} {y ^ {2}}} = 1}

Se substituirmos por na primeira equação, obteremos cujas soluções têm a forma de uma certa constante . A relação então se dá . $v_ {y}$ ${\ displaystyle {\ dot {y}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dv_ {x}} {dy}} - {\ frac {2} {y}} v_ {x} = 0}$ ${\ displaystyle v_ {x} = \ alpha y ^ {2} = {\ dot {x}}}$ $\alfa$ ${\ displaystyle {\ frac {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}} {y ^ {2}}} = 1}$ ${\ displaystyle v_ {y} = \ pm y {\ sqrt {1- \ alpha ^ {2} y ^ {2}}} = {\ dot {y}}}$

Se for zero, obtém-se, respectivamente, x constante e (escolhendo adequadamente a origem dos tempos). A geodésica é uma linha paralela a O y , percorrida exponencialmente. Aproximamo-nos da aresta y = 0 indefinidamente ou nos afastamos indefinidamente fazendo com que t tenda ao infinito. $\alfa$ ${\ displaystyle y = e ^ {\ pm t}}$

Se não for zero, a integração da equação leva a (escolhendo adequadamente a origem dos tempos). Então, a integração da equação leva a (até a translação paralela a O x ). Pode-se ver que e as geodésicas são semicírculos de diâmetro carregados por O x . Quando t tende ao infinito, nos aproximamos indefinidamente da aresta O y que constitui um limite do semiplano de Poincaré localizado no infinito. $\alfa$ ${\ displaystyle {\ dot {y}} = \ pm y {\ sqrt {1- \ alpha ^ {2} y ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {1} {\ alpha \ cosh (t)}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {x}} = \ alpha y ^ {2}}$ ${\ displaystyle x = {\ frac {\ tanh (t)} {\ alpha}}}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = {\ frac {1} {\ alpha ^ {2}}}}$

Veja também

Notas e referências

Usamos a convenção de soma de Einstein , permitindo que os símbolos de soma sejam iluminados.