Equivalência de distâncias
Diferentes noções de equivalência de distâncias são usadas em topologia , um ramo da matemática que diz respeito ao estudo de deformações espaciais por transformações contínuas (sem rasgar ou reconectar estruturas).
Dado um espaço topológico metrizáveis ( X , T ), pode-se encontrar várias distâncias que definem a mesma topologia T . Por exemplo, a topologia usual de ℝ pode ser definida pela distância d : ( x , y ) ↦ | x - y |, mas também por d / (1 + d ), ou qualquer múltiplo de d por um real estritamente positivo. Portanto, é necessário especificar as "equivalências" entre essas distâncias.
Definições
Dois distâncias d 1 e d 2 no mesmo conjunto X são disse:
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topologicamente equivalente se as topologias associadas forem idênticas (mesmo aberto ), ou seja, se o mapeamento de identidade , de ( X , d 1 ) em ( X , d 2 ), for um homeomorfismo , ou novamente (após a caracterização sequencial da continuidade ) se eles têm as mesmas sequências convergentes ;
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uniformemente equivalente se o mapa de identidade de X for uniformemente contínuo de ( X , d 1 ) a ( X , d 2 ) e também de ( X , d 2 ) a ( X , d 1 );
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bornologicamente equivalentes se forem uniformemente equivalentes e se as duas distâncias definirem as mesmas partes limitadas;
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Lipschitz-equivalente se não são estritamente positivos constantes de um e b de tal forma que ad 1 ≤ d 2 ≤ bd 1 .
Todas essas relações entre distâncias são relações de equivalências .
Exemplos
O exemplo a seguir permite destacar a não equivalência das várias noções de equivalências descritas acima: podemos fornecer ℝ com as quatro distâncias:
d1(x,y)=|x-y|{\ displaystyle d_ {1} (x, y) = | xy |}
;
d2(x,y)=|x3-y3|{\ displaystyle d_ {2} (x, y) = | x ^ {3} -y ^ {3} |}
;
d3(x,y)=min{1,d1(x,y)}{\ displaystyle d_ {3} (x, y) = \ min \ {1, d_ {1} (x, y) \}}
;
d4(x,y)=d1(x,y)/(1+d1(x,y)){\ displaystyle d_ {4} (x, y) = d_ {1} (x, y) / (1 + d_ {1} (x, y))}
.
Em seguida, verificar que as distâncias de d 1 e d 2 são topologicamente equivalentes, mas não são uniformemente equivalente (embora eles têm as mesmas sequências de Cauchy ), que as distâncias de d 1 e d 3 são uniformemente equivalente mas não são bornologically equivalente, em seguida, que as distâncias d 3 e d 4 são bornologicamente equivalentes, mas não são equivalentes a Lipschitz.
Notas e referências
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Y. Sonntag, Topologia e Análise Funcional .
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Isso permanece verdadeiro para distâncias igualmente associadas a qualquer espaço métrico ( E , d 1 ).
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Isso se deve apenas à escolha de uma distância ilimitada d 1 .
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