Método de Newton

Em análise numérica , o método de Newton ou método de Newton-Raphson é, em sua aplicação mais simples, um algoritmo eficiente para encontrar numericamente uma aproximação precisa de um zero (ou raiz) de uma função real de uma variável real . Este método deve o seu nome aos matemáticos ingleses Isaac Newton (1643-1727) e Joseph Raphson (possivelmente 1648-1715), que foram os primeiros a descrevê-lo para a busca de soluções de uma equação polinomial . Thomas Simpson (1710-1761) amplia consideravelmente o campo de aplicação do algoritmo ao mostrar, graças à noção de derivada, como ele poderia ser usado para calcular uma solução de uma equação não linear , que pode não ser um polinômio, e um sistema formado a partir de tais equações.

Apresentação

Em sua forma moderna, o algoritmo pode ser apresentado resumidamente da seguinte forma: a cada iteração, a função para a qual estamos procurando um zero é linearizada na iteração atual (ou ponto) e a iteração seguinte é considerada igual ao zero do função linearizada. Esta descrição resumida indica que pelo menos duas condições são necessárias para o bom funcionamento do algoritmo: a função deve ser diferenciável nos pontos visitados (para poder linearizar a função ali) e as derivadas não devem ser canceladas (para que o linearizado função tem um zero); Além dessas condições, existe a forte restrição de ter que levar a primeira iteração perto o suficiente de um zero regular da função (ou seja, em que a derivada da função não desaparece), de modo que a convergência do processo seja assegurado.

O principal interesse do algoritmo de Newton é sua convergência quadrática local. Em termos pictóricos, mas imprecisos, isso significa que o número de dígitos significativos corretos das iterações dobra a cada iteração, assintoticamente . Como o número de dígitos significativos que podem ser representados por um computador é de cerca de 15 dígitos decimais (em um computador que está em conformidade com o padrão IEEE-754 ), podemos simplificar as propriedades de convergência do algoritmo de Newton dizendo que ele converge em menos de 10 iterações ou diverge. Na verdade, se a iteração inicial não for tomada suficientemente perto de zero, a sequência de iterações geradas pelo algoritmo tem um comportamento errático, cuja convergência possível só pode ser o resultado do acaso (uma das iterações é felizmente próxima de zero) .

A importância do algoritmo fez com que os numeristas estendessem sua aplicação e encontrassem soluções para suas falhas. Por exemplo, o algoritmo também permite encontrar um zero de uma função de várias variáveis com valores vetoriais, ou mesmo definidas entre espaços vetoriais de dimensão infinita; o método também leva a resultados de existência de zero (usados em certas provas do teorema das funções implícitas , os teoremas de Kantorovitch ). Também pode ser usado quando a função é diferenciável em um sentido mais fraco (diferenciável por partes, B-diferenciável , semi-suave , obliquamente diferenciável, etc. ), bem como para resolver sistemas de desigualdade não lineares, problemas de inclusão funcional , de equações diferenciais ou derivado parcial de desigualdades variacional de complementaridade , etc . Também desenvolvemos técnicas para a globalização do algoritmo, que visam forçar a convergência das sequências geradas a partir de uma iteração inicial arbitrária (não necessariamente próxima de zero), como busca linear e regiões de confiança atuando em uma função de mérito (muitas vezes a função de mínimos quadrados). Nas chamadas versões imprecisas ou truncadas , resolve-se o sistema linear a cada iteração apenas de forma aproximada. Finalmente, a família de algoritmos quase-Newton propõe técnicas que permitem prescindir do cálculo da derivada da função. No entanto, todas essas melhorias não garantem que o algoritmo encontrará um zero existente, independentemente da iteração inicial.

Aplicado à derivada de uma função real, este algoritmo possibilita a obtenção de pontos críticos (ou seja, zeros da função derivada). Esta observação está na origem de seu uso em otimização sem ou com restrições.

Elementos da história

O método de Newton foi descrito pelo matemático inglês Isaac Newton em De analysi per aequationes numero terminorum infinitas , escrito em 1669 e publicado em 1711 por William Jones . Ele foi novamente descrito em De metodis fluxionum et serierum infinitarum ( Sobre o método das fluxões e suítes infinitas ), escrito em 1671 , traduzido e publicado sob o título Métodos de Fluxões em 1736 por John Colson . No entanto, Newton aplicou o método apenas a polinômios. Como a noção de derivada e, portanto, de linearização não estava definida naquela época, sua abordagem difere daquela descrita na introdução: Newton buscou refinar uma aproximação grosseira de um zero de um polinômio por meio de um cálculo polinomial.

O exemplo que Newton dá é o de calcular a raiz real da equação cúbica

${\ displaystyle x ^ {3} -2x-5 = 0}$ ,

tomando como iteração inicial o ponto $x 1 = 2$ . que difere em menos de $0,1$ do valor verdadeiro da raiz única verdadeira. Ele então escreve $x = 2 + d 1$ , onde $d 1$ é, portanto, o aumento a ser dado a $2$ para obter a raiz $x$ . Ele substitui $x$ por $2 + d 1$ na equação, que se torna

${\ displaystyle d_ {1} ^ {3} +6 \, d_ {1} ^ {2} +10 \, d_ {1} -1 = 0}$

e cuja raiz deve ser encontrada para adicioná-lo a $2$ . Ele despreza $d 1 3 + 6 d 1 2$ por causa de sua pequenez (assumimos que $| d 1 | << 1$ ), de modo que $10 d 1 - 1 = 0$ ou $d 1 = 0,1$ permanecem , o que dá como uma nova aproximação da raiz $x 2 = x 1 + d 1 = 2,1$ . Ele então escreve $d 1 = 0,1 + d 2$ , onde $d 2$ é, portanto, o aumento a ser dado a $d 1$ para obter a raiz do polinômio precedente. Portanto, substitui $d 1$ por $0,1 + d 2$ no polinômio anterior para obter

${\ displaystyle d_ {2} ^ {3} +6 {,} 3 \, d_ {2} ^ {2} +11 {,} 23 \, d_ {2} +0 {,} 061 = 0}$ .

Obteríamos a mesma equação substituindo $x$ por $2,1 + d 2$ no polinômio inicial. Negligenciando os dois primeiros termos, resta $11,23 d 2 + 0,061 = 0$ ou $d 2 \approx -0,0054$ , o que dá como uma nova aproximação da raiz $x 3 = x 2 + d 2 \approx 2,0946$ . Você pode continuar as operações pelo tempo que desejar.

Este método foi tema de publicações anteriores. Em 1685 , John Wallis publicou uma primeira descrição dela em A Treatise of Algebra both Historical and Practical . Em 1690 , Joseph Raphson publicou uma descrição simplificada dele em Analysis aequationum universalis . Raphson considerou o método de Newton ainda como um método puramente algébrico e também restringiu seu uso apenas a polinômios. No entanto, ele destacou o cálculo recursivo de aproximações sucessivas de um zero de um polinômio em vez de considerar uma série de polinômios como Newton.

Foi Thomas Simpson ( 1710 - 1761 ) quem generalizou este método para o cálculo iterativo das soluções de uma equação não linear, usando as derivadas (que chamou de fluxões , como Newton). Simpson aplicou o método de Newton a sistemas de duas equações não lineares com duas incógnitas, seguindo a abordagem usada hoje para sistemas com mais de 2 equações, e a problemas de otimização irrestrita procurando um zero do gradiente. Arthur Cayley foi o primeiro a notar a dificuldade de generalizar o método de Newton para variáveis complexas em 1879 , por exemplo, para polinômios de grau maior que 3.

Pode-se consultar o artigo de Ypma (1995) para outras informações sobre a história do algoritmo. Este autor atribui a falta de reconhecimento aos outros contribuintes do algoritmo ao influente livro de Fourier, intitulado Analysis of Determined Equations (1831), que descreveu o método newtoniano sem referência a Raphson ou Simpson.

Função real de uma variável real

Algoritmo

Buscaremos, portanto, construir uma boa aproximação de um zero da função de uma variável real $f ( x )$ considerando sua expansão de Taylor de primeira ordem. Para tanto, partindo de um ponto $x 0$ que se escolhe preferencialmente próximo de zero para encontrar (fazendo estimativas grosseiras, por exemplo), aproxima-se a função de primeira ordem, ou seja, considera-se assintoticamente igual à sua tangente em este ponto:

$f (x) \ simeq f (x_0) + f '(x_0) (x-x_0).$

A partir daí, para encontrar um zero desta função de aproximação, basta calcular a interseção da linha tangente com o eixo x, ou seja, resolver a equação afim:

$0 = f (x_0) + f '(x_0) (x-x_0).$

Obtemos então um ponto $x 1$ que, em geral, tem uma boa chance de estar mais próximo do zero verdadeiro de $f do$ que o ponto $x 0$ precedente. Com esta operação, podemos, portanto, esperar melhorar a aproximação por iterações sucessivas (ver ilustração): aproximamos a função novamente por sua tangente para obter um novo ponto $x$ $2$ , etc. $x_ {1}$

Este método requer que a função tenha uma tangente em cada um dos pontos da sequência que construímos por iteração, por exemplo, basta que $f$ seja diferenciável .

Formalmente, partimos de um ponto $x 0$ pertencente ao conjunto de definição da função e construímos por indução o seguinte:

$x_ {k + 1} = x_k - \ frac {f (x_k)} {f '(x_k)},$

onde $f '$ denota a derivada da função $f$ . O ponto $x k +1$ é de fato a solução da equação afim . $f (x_k) + f '(x_k) (x-x_k) = 0$

Pode ser que a recorrência deva terminar, se na etapa $k$ , $x k$ não pertencer ao domínio de definição ou se a derivada $f ' ( x k )$ for zero; nesses casos, o método falha.

Se o desconhecido de zero $α$ é isolado, então existe um bairro de $α$ de tal modo que para todos os valores a partir $de x 0$ nesta vizinhança, a sequência $( x k )$ irá convergir para $α$ . Além disso, se $f ' ( α )$ for diferente de zero, então a convergência é (pelo menos) quadrática, o que intuitivamente significa que o número de dígitos corretos é aproximadamente dobrado em cada etapa.

Embora o método seja muito eficaz, existem alguns aspectos práticos que devem ser levados em consideração. Em primeiro lugar, o método de Newton requer que a derivada seja efetivamente calculada. Nos casos em que a derivada só é estimada tomando a inclinação entre dois pontos da função, o método leva o nome de método secante , menos eficiente (da ordem de 1,618 que é o número áureo ) e menor que d 'outros algoritmos. Por outro lado, se o valor inicial estiver muito longe do zero verdadeiro, o método de Newton pode entrar em um loop infinito sem produzir uma aproximação melhorada. Por causa disso, qualquer implementação do método de Newton deve incluir um código para controlar o número de iterações.

Exemplo

Para ilustrar o método, vamos encontrar o número positivo $x$ satisfazendo $cos ( x ) = x 3$ . Vamos reformular a questão para introduzir uma função que deve ser cancelada: procuramos o zero positivo (a raiz) de $f ( x ) = cos ( x ) - x 3$ . A derivação dá $f ' ( x ) = -sin ( x ) - 3 x 2$ .

Como com todo $x$ e $x$ $3$ $> 1$ para $x$ $> 1$ , sabemos que nosso zero está entre 0 e 1. Tentamos um valor inicial de $x$ $0$ $= 0,5$ . $\ cos (x) \ leqslant 1$

\ begin {matriz} x_1 & = & x_0 - \ frac {f (x_0)} {f '(x_0)} & = & 0,5- \ frac {\ cos (0,5) - 0,5 ^ 3} {- \ sin (0,5) - 3 \ vezes 0,5 ^ 2} & \ simeq & 1.112 \, 141 \, 637 \, 1 \\ x_2 & = & x_1 - \ frac {f (x_1)} { f '(x_1)} & & \ vdots & \ simeq & 0.909 \, 672 \, 693 \, 736 \\ x_3 & & \ vdots & & & \ vdots & \ simeq & 0.866 \, 263 \, 818 \, 209 \ \ x_4 & & \ vdots & & \ vdots & \ simeq & 0.865 \, 477 \, 135 \, 298 \\ x_5 & & \ vdots & & & \ vdots & \ simeq & 0.865 \, 474 \, 033 \, 111 \ \ x_6 & & \ vdots & & \ vdots & \ simeq & 0.865 \, 474 \, 033 \, 101 \\ x_7 & & \ vdots & & & \ vdots & \ simeq & 0.865 \, 474 \, 033 \, 102 \ fim {matriz}

Os primeiros 7 dígitos deste valor coincidem com os primeiros 7 dígitos do zero verdadeiro.

Convergência

A velocidade de convergência de uma seqüência $x n$ obtida pelo método de Newton pode ser obtida com a aplicação da fórmula de Taylor-Lagrange . Isso envolve a avaliação de uma marcação de $log | x n - a |$ .

$f$ é uma função definida na vizinhança de $a$ e duas vezes continuamente diferenciável. Supomos que $a$ passa a ser um zero de $f$ que tentamos abordar pelo método de Newton. Assumimos que $a$ é um zero de ordem 1, ou seja, $f ' ( a )$ é diferente de zero. A fórmula de Taylor-Lagrange é escrita:

0 = f (a) = f (x) + f '(x) (ax) + \ frac {f' '(\ xi)} {2} {(ax) ^ 2}

, com

ξ

entre

x

a

A partir da aproximação $x$ , o método de Newton fornece no final de uma iteração:

N_f (x) -a = x- \ frac {f (x)} {f '(x)} - a = \ frac {f' '(\ xi)} {2 \, f' (x)} (xa ) ^ 2

Para um compacto intervalo $I$ contendo $X$ e $um$ e incluídas no domínio de definição de $f$ , definimos: $m 1 = min x \in I | f ' ( x ) |$ bem como $M 2 = max x \in I | f '' ( x ) |$ . Então, para todo $x \in I$ :

\ left | N_f (x) - a \ right | \ leqslant \ frac {M_2} {2m_1} | xa | ^ 2

Por recorrência imediata, vem:

K \ left | x_n-a \ right | \ leqslant (K | x_0-a |) ^ {2 ^ n}

onde $K = H 2 / 2 m 1$ . Passando para o logaritmo :

\ log \ left | x_n-a \ right | \ leqslant 2 ^ n \ log (K | x_0-a |) - \ log (K)

A convergência de $x n$ para $a$ é, portanto, quadrática, desde que $| x 0 - a | <1 / K$ .

Exemplos de não convergência

A tangente à curva pode cruzar o eixo das abscissas fora do domínio de definição da função.

Se usarmos o algoritmo de Newton para encontrar o zero único $x * = 0$ da função tomando um $x$ $0$ $\neq 0$ iterado inicial , vemos que, para todos , $x$ $k$ $+1$ $= -$ $x$ $k$ ; a sequência gerada, portanto, não converge, mesmo localmente (ou seja, mesmo se $x$ $0$ for considerado próximo de zero $x$ $*$ $= 0$ ). O problema surge aqui, em particular, da não diferenciabilidade da função no único zero $x$ $*$ $= 0$ . $x \ in \ R \ mapsto | x | ^ {1/2}$ $k \ in \ mathbb {N}$

Critério de parada

Os possíveis critérios de parada, determinados relativamente a uma quantidade numericamente insignificante, são:

\ | f (x_k) \ | <\ varepsilon_1 \ qquad \ mathrm {ou} \ qquad \ | x_ {k + 1} -x_k \ | <\ varepsilon_2

onde representam erros de aproximação que caracterizam a qualidade da solução digital. $\ varejpsilon_1, \ varepsilon_2 \ in \ mathbb {R} ^ +$

Em todos os casos, é possível que o critério de parada seja verificado em pontos que não correspondem às soluções da equação a ser resolvida.

Outros exemplos

Raiz quadrada

Um caso especial do método de Newton é o método de Heron , também chamado de método babilônico : para calcular a raiz quadrada de $a$ , é uma questão de aplicar o método de Newton à função $f$ definida por

f (x) = x ^ 2 - a

Obtemos então, usando a fórmula da derivada $f ' ( x ) = 2 x$ , um método de aproximação da solução $\sqrt a$ dada pela seguinte fórmula iterativa:

{\ displaystyle x_ {k + 1}: = x_ {k} - {\ frac {x_ {k} ^ {2} -a} {2x_ {k}}} = {\ frac {1} {2}} \ esquerda (x_ {k} + {\ frac {a} {x_ {k}}} \ direita)}

Para todo $a \geq 0$ e qualquer ponto inicial $x 0 > 0$ , este método converge para $\sqrt a$ .

Podemos estendê-la para o cálculo de qualquer $n$ -simo raiz de uma série $um$ com a fórmula:

{\ displaystyle x_ {k + 1}: = x_ {k} - {\ frac {x_ {k} ^ {n} -a} {nx_ {k} ^ {n-1}}} = {\ frac {1 } {n}} \ left ({(n-1) x_ {k} + {\ frac {a} {x_ {k} ^ {n-1}}}} \ right)}

.Cruzamento de gráficos

Nós podemos determinar uma intersecção dos gráficos de duas funções deriváveis reais $f$ e $g$ , ou seja, um ponto $x$ tal que $f ( x ) = g ( x )$ , aplicando o modo de Newton para a função $f - g$ .

Funções holomórficas

O método também pode ser usado para encontrar zeros de funções holomórficas . Neste framework, conhece-se bem os comportamentos que podem ter a continuação das iterações de Newton. Podemos citar:

convergência para zero;
limite infinito;
a sequência admite um ciclo limite, ou seja, a sequência pode ser dividida em $p$ subsequências disjuntas da forma $( z n 0 + kp ) k$ que convergem para pontos distintos (que não são zeros de $f$ ) formando um ciclo periódico para o função $z - f ( z ) / f ' ( z )$ ;
a sequência se aproxima de todos os zeros da função sem que haja nenhum ciclo limite, e a cada passo da iteração, nos encontramos próximos de um zero diferente dos anteriores;
o resto tem um comportamento caótico , etc.

O conjunto de pontos a partir dos quais se obtém uma seqüência que converge para um zero fixo é denominado bacia de atração desse zero. Para muitas funções complexas, a bacia de atração é um fractal .

O estudo do método de Newton para polinômios com variáveis complexas encontra naturalmente seu lugar no estudo dinâmico de frações racionais e tem sido uma das motivações recentes para o estudo da dinâmica holomórfica .

Generalizações / variantes

Sistemas de equações com diversas variáveis

Também podemos usar o método de Newton para resolver um sistema de $n$ equações (não lineares) com $n$ incógnitas $x = ( x 1 , ..., x n )$ , o que equivale a encontrar um zero de uma função $F$ de in , que deve ser diferenciável . Na formulação dada acima, multiplique pelo inverso da matriz Jacobiana $F '$ $($ $x$ $k$ $) em$ vez de dividir por $f'$ $($ $x$ $k$ $)$ . Obviamente, para economizar tempo de computação, não calcularemos o inverso do Jacobiano, mas resolveremos o sistema de equações lineares seguindo $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

$F \, '(x_k) (x_ {k + 1} - x_k) = -F (x_k)$

no desconhecido $x k +1 - x k$ . Novamente, esse método funciona apenas para um valor inicial $x 0$ suficientemente próximo a um $F$ zero .

Método de Newton aproximado

Às vezes acontece que a derivada (ou a matriz Jacobiana para um sistema de equações com várias variáveis) da função $f$ é cara de calcular. A derivada pode então ser aproximada por meio de diferenças finitas . Por exemplo, aproximando a derivada $f ' ( x k )$ por

{\ displaystyle {\ frac {f (x_ {k}) - f (x_ {k-1})} {x_ {k} -x_ {k-1}}},}

obtemos o método secante . A convergência deste método não é mais quadrática, mas permanece sobre-linear (na verdade, da ordem $φ = 1 + \sqrt 5 / 2 \approx 1,618$ ).

Método de Newton não suave

Quando a função para a qual estamos procurando uma raiz não é diferenciável, mas apenas semi-suave , o método de Newton não gera necessariamente uma sequência convergente ${ x k }$ , mesmo que as iterações sejam pontos de diferenciabilidade de $f$ , arbitrariamente próximos de d um zero $F$ . Um contra-exemplo é fornecido por Kummer (1988).

Um algoritmo análogo ainda é possível assumindo um pouco mais do que a Lipschitzianidade de $F$ , mas sua semi-suavidade. O algoritmo de Newton para uma função semi-suave $f$ consiste então em gerar uma sequência , onde a nova iteração $x$ $k$ $+1$ é calculada a partir da iteração atual $x$ $k$ pela seguinte recorrência $\ {x_k \} \ subset \ mathbb {E}$

{\ displaystyle x_ {k + 1}: = x_ {k} -J_ {k} ^ {- 1} f (x_ {k}),}

onde $J k$ é um Jacobiano invertível do diferencial de Clarke $\partial CF ( x k )$ , que se presume existir.

Como o método de Newton clássico, o algoritmo newtoniano semi-suave converge sob duas condições. A primeira especifica que a função para a qual estamos procurando um zero $x *$ é suficientemente suave: ela deve ser semissuave . Também é necessário que neste zero a função tenha suas "inclinações" que não se cancelam em $x *$ ; isso é expresso pela hipótese de C-regularidade igual a zero. Também se trata de um resultado de convergência local , o que significa que a primeira iteração deve ser escolhida suficientemente perto de um zero que satisfaça as condições acima para que a convergência ocorra.

Convergência local do algoritmo semi-suave de Newton - Suponha que $f$ é semi-suave em uma solução C-regular $x *$ da equação $f ( x ) = 0$ . Então,

existe uma vizinhança $V$ de $x *$ tal que se o primeiro iterou $x 1 \in V$ , o algoritmo de Newton semi-suave é bem definido e gera uma sequência ${ x k }$ em $V$ , que converge superlinearmente para $x *$ ,
a convergência é quadrática se $f$ for fortemente semi-suave em $x *$ .

O estado da arte é fornecido por Izmailov e Solodov.

Método de intervalo de Newton

Em alguns casos, às vezes queremos evitar a condição de proximidade entre nosso valor inicial e o zero da função. Uma solução é usar o método de Newton por intervalos.

Consideramos , com $X$ um intervalo real, e supomos que temos uma extensão por intervalos $F '$ de $f'$ , ou seja, uma função $F '$ tomando como entrada um intervalo $Y$ $\subseteq$ $X$ e retornando um intervalo $F'$ $($ $Y$ $)$ tal que: ${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {C}} ^ {1} (X)}$

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} F '([y, y]) & = \ {f' (y) \} \\ F '(Y) & \ supseteq \ {f' (y) ~ | ~ y \ in Y \} \ end {alinhado}}}

Assume-se também que , de modo especialmente $f$ tem no máximo um zero $X$ . Agora podemos definir o operador: ${\ displaystyle 0 \ notin F '(X)}$

{\ displaystyle N (Y) = m + {\ frac {f (m)} {F '(Y)}} = \ left \ {\ left.m + {\ frac {f (m)} {z}} ~ \ right | ~ z \ in F '(Y) \ right \}}

para qualquer intervalo $y$ com centro $m$ . Observe que a hipótese em $F '$ implica que $N ( Y )$ é bem definido e é um intervalo (consulte aritmética de intervalo para mais detalhes sobre isso). Agora podemos criar a seguinte série de intervalos:

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} X_ {0} & = X \\ X_ {k + 1} & = N (X_ {k}) \ cap X_ {k} \ end {alinhado}}}

O teorema do incremento finito certifica que se houver um zero de $f$ em $X k$ , então ele ainda está em $X k +1$ . Além disso, a hipótese de positividade em $F '$ implica que o tamanho de $X k uma$ é, no máximo, a metade de $X k$ , de modo que os converge de sequência para o Singleton ${ x * }$ , onde $X *$ representa o zero do $f$ em $X$ .

Apêndices

Notas

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links externos

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Referências

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