Aplicação linear

Em matemática , um mapa linear (também chamado de operador linear ou transformação linear ) é um mapa entre dois espaços vetoriais em um campo que respeita a adição de vetores e a multiplicação escalar e, portanto, de modo mais geral, preserva as combinações lineares . A expressão também pode ser usada para um morfismo entre dois módulos em um anel , com uma apresentação semelhante além das noções básicas e dimensão .

Essa noção estende a de função linear em análise real a espaços vetoriais mais gerais.

Definições

Caso Geral

Deixe- $E$ e $F$ espaços dois vetoriais sobre um campo $K$ . Um mapa $f : E \to F$ é dito ser $K-$ linear (ou " morfismo de $K$ -espaços vetoriais") se satisfizer ambos

aditividade

{\ displaystyle \ forall (x, y) \ in E ^ {2}, \ quad f (x + y) = f (x) + f (y)}

homogeneidade

{\ displaystyle \ forall \ lambda \ in \ mathbb {K} \ quad \ forall x \ in E, \ quad f (\ lambda x) = \ lambda f (x)}

Essas duas propriedades podem ser verificadas simultaneamente pela seguinte caracterização:

{\ displaystyle \ forall (x, y) \ in E ^ {2} \ quad \ forall \ lambda, \ mu \ in \ mathbf {K} \ quad f (\ lambda x + \ mu y) = \ lambda f ( x) + \ mu f (y)}

ou mais simplesmente:

{\ displaystyle \ forall (x, y) \ in E ^ {2} \ quad \ forall \ mu \ in \ mathbf {K} \ quad f (x + \ mu y) = f (x) + \ mu f ( y)}

De maneira equivalente, uma aplicação $f : E \to F$ é linear, se e apenas se o gráfico é um subespaço de $E x F$ .

O conjunto de mapas lineares de $E$ a $F$ é geralmente denotado $L ( E , F )$ ou $L K ( E ; F )$ ou mesmo $Hom K ( E , F )$ , com um índice muitas vezes omitido e implícito quando é fácil derivar de o contexto.

Casos especiais

Um isomorfismo de espaços vetoriais é um morfismo bijetivo . $Denotamos$ por $Isom ($ $E$ $,$ $F$ $)$ o conjunto de isomorfismos de $E$ sobre $F$ ;
Um endomorfismo é um morfismo com o mesmo espaço vetorial de partida e chegada. Denotamos por $L ( E )$ o conjunto $L ( E , E )$ de endomorfismos de E ;
Um automorfismo é um endomorfismo bijetivo. Denotamos por $GL ( E )$ o grupo de automorfismos de $E$ (também chamado de grupo linear de $E$ );
Se o espaço vetorial de chegada é o campo $K$ , falamos de forma linear . Denotamos por $E *$ o conjunto de formas lineares em $E$ (também chamado de espaço dual de $E$ ).

Exemplos e contra-exemplos

Dado um espaço vectorial $S$ sobre um campo $K$ , qualquer família de escalares $(um 1 , ..., um n) \in K n$ define um mapeamento linear do conjunto $E$ $n$ dos $n$ tuplos de vectores para $E$ . ${\ displaystyle (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \ mapsto \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} x_ {k}}$

Em particular, qualquer homotetia de vetor $x \mapsto a . x$ é linear.

No conjunto de funções reais diferenciáveis em um intervalo $I$ , a derivação constitui uma aplicação linear ao conjunto de funções reais. ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {1} (I, \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle u \ mapsto u '}$

A conjugação no conjunto $C$ de números complexos é um mapa $R-$ linear, mas não um $C-$ mapa linear. ${\ displaystyle z \ mapsto {\ overline {z}}}$

A composição à direita $f \mapsto f \circ g$ define um mapa linear, mas em geral não a composição à esquerda $f \mapsto h \circ f$ .

A integração da função , a avaliação em um ponto, $f \mapsto f (a)$ e os limites possíveis também são lineares no conjunto de funções para as quais essas operações são definidas.

No conjunto $K N$ de sequências de valores em um campo $K$ , o deslocamento $(u n) \mapsto (u n +1 )$ , o limite possível e a construção das séries associadas também são lineares. ${\ displaystyle (u_ {n}) \ mapsto \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {n} u_ {k} \ right)}$

No conjunto de matrizes , a multiplicação à esquerda e / ou à direita, a transposta e o traço são lineares.

A expectativa define um mapa linear sobre o conjunto de variáveis aleatórias reais que o admitem.

Qualquer aplicação induzida em homologia em um campo é linear neste campo.

Propriedades

Qualquer mapa linear preserva combinações lineares: para qualquer família finita $( x i ) i \in I$ de vetores e para qualquer família $(λ i ) i \in I$ de escalares (ou seja, elementos de $K$ ), ${\ displaystyle f \ left (\ sum _ {i \ in I} \ lambda _ {i} x_ {i} \ right) = \ sum _ {i \ in I} \ lambda _ {i} f (x_ {i })}$ .

Deixe- $E$ e $F$ dois espaços vector (resp. Dois módulos) para a esquerda sobre o corpo (resp. O anel) $K$ . O conjunto de $L ( E , F )$ de mapeamentos lineares a partir de $E$ a $F$ é um espaço vectorial (módulo A resp.) Sobre o centro de $K$ .

Demonstração

Mostram que a $L ( E , F )$ é um subespaço linear (resp. Um sub-módulo) do espaço vectorial (resp. O módulo) de aplicações $de E$ em $F$ no centro $C$ da $K$ . Não está vazio porque contém o aplicativo nulo. Se $um$ e $b$ são dois mapas lineares, sua soma é ainda linear. Finalmente, se $λ$ é um elemento de $C$ , o mapa $λ a$ também é linear, porque é obviamente aditivo e para todo $α \in K$ e todo $x \in E$ ,

{\ displaystyle (\ lambda a) (\ alpha x) = \ lambda \ alpha a (x) = \ alpha \ lambda (a (x) = \ alpha (\ lambda a) (x)}

O composto de dois mapas lineares é linear. Mais precisamente : ${\ displaystyle \ forall f \ in \ operatorname {L} (E, F) \ quad \ forall g \ in \ operatorname {L} (F, G) \ quad g \ circ f \ in \ operatorname {L} (E , G)}$ .Em particular, $\circ$ é uma lei de composição interna em $L ( E )$ .
O inverso de um isomorfismo também é linear.
Se $E$ é um $K$ espaço -vector (resp. Um $K$ -module livre), um mapeamento linear $f \in L ( E , F )$ é inteiramente determinada pela imagem sob $f$ de uma base de de $E$ . Mais precisamente: Para qualquer base $B$ para $E$ , qualquer aplicação de $B$ em $M$ estende-se de modo unicamente em um mapeamento linear de $E$ em $F$ . Qualquer escolha de uma base $B$ de $E,$ portanto, fornece uma bijeção . ${\ displaystyle \ operatorname {L} (E, F) \ a F ^ {B}, f \ mapsto f_ {| B}}$

Núcleo e imagem

Se $f$ é um mapa linear de $E$ a $F$ , então seu kernel , denotado $Ker ( f )$ , e sua imagem , denotada $Im ( f )$ , são definidos por:

{\ displaystyle \ operatorname {Ker} (f) = \ {x \ in E \ mid f (x) = 0 \} = f ^ {- 1} (\ {0 \})}

;

{\ displaystyle \ operatorname {Im} (f) = \ {f (x) \ mid x \ in E \} = f (E)}

$Ker$ vem de Kern , tradução de "kernel" em alemão . $Eu sou tirado$ da foto .

Um mapa linear é injetivo se e somente se seu kernel for espaço zero (esta é uma propriedade geral dos morfismos de grupo ). Uma aplicação (linear ou não) é sobrejetiva se e somente se sua imagem for igual a todo o seu conjunto de destino .

Todos $Ker ( f )$ é um subespaço linear de $E$ , e o conjunto $Im ( f )$ é um subespaço linear de $F$ . De forma geral,

a imagem inversa por $f$ de um subespaço vetorial de $F$ é um subespaço vetorial de $E$ ;
a imagem directa por $f$ um subespaço vector de $E$ é um subespaço de $F$ .

Para a família de geração $( e i ) i \in I$ de $E$ , $Im ( f )$ é o subespaço de $F$ gerado pela família $( f ( E i )) i \in I$ .

O espaço vetorial quociente $F / Im ( f ) é$ chamado de cokernel de $f$ .

O teorema da fatoração afirma que $f$ induz um isomorfismo do quociente $E / Ker ( f )$ na imagem $Im ( f )$ .

Todos os itens acima permanecem válidos se “espaço vetorial” for substituído por “módulo” e “corpo” por “anel”. O seguinte, por outro lado, é específico para espaços vetoriais em um corpo:

Em dimensão finita

Se $E$ é de dimensão finita e se o corpo $K$ é comutativo, então a dimensão de $L ( E , F )$ é dada por: ${\ displaystyle \ dim (\ operatorname {L} (E, F)) = \ dim (E) \ times \ dim (F)}$ .Em particular, se $F$ também é de dimensão finita, então $L ( E , F )$ também é finito .
Se $E$ e $F$ são espaços vetoriais de dimensão finita (resp. Módulos livres de tipo finito) à direita sobre um campo (resp. Um anel) $K$ , um mapa linear $f$ de $E$ a $F$ é representado por uma matriz em bases fixas em $E$ e $F$ . Esta representação de matriz é conveniente para calcular o kernel e a imagem de $f$ .

Dois espaços isomórficos com a mesma dimensão , segue do isomorfismo acima a seguinte relação (válida para $E$ e $F$ de dimensões finitas ou infinitas), chamada de teorema de classificação :

{\ displaystyle \ dim (\ operatorname {Ker} (f)) + \ dim (\ operatorname {Im} (f)) = \ dim (E)}

A dimensão de $Im ( f )$ também é chamada de classificação de $f$ e é denotada por $rg ( f )$ .

Notas

O termo operador é preferido entre espaços funcionais .
Lay 2004 , p. 77 e seguintes.
Muitos autores (por exemplo , Bourbaki, Histoire , p. 164) reservam o uso de " transformação " para aqueles que são bijetivos .
Bourbaki, Algebra , p. A-II-4, equação (5).
Artin, Algebra , p. 109, fórmula (1.2).
Artin, Álgebra , cap. 4
Bourbaki, Algebra , p. A-II-4, definição 4.
Bourbaki, Algebra , p. A-II-5.
Artin, Algebra , p. 87, definição (2.13).
Para uma demonstração, consulte por exemplo a § “Imagem de uma base” da lição sobre aplicações lineares na Wikiversidade .
Artin, álgebra , p. 110, fórmula (1.5).
(in) Jeff Miller " Primeiros usos conhecidos de algumas palavras da matemática " : " O uso de kernel em álgebra parece não estar relacionado ao uso de ict em equações integrais e na Análise de Fourier. O OED fornece a seguinte citação dos Grupos Topológicos de Pontrjagin i. 11 (traduzido por E. Lehmer 1946) "O conjunto de todos os elementos do grupo G que vão para a identidade do grupo G * sob o homomorfismo g é chamado de núcleo deste homomorfismo." " .
Bourbaki, álgebra , p. A-II-7.
Para uma demonstração, consulte por exemplo o § "Propriedades de L ( E , F )" da lição sobre mapas lineares na Wikiversidade .

Referências

(pt) Michael Artin , Algebra , : Prentice Hall Inc.,1991( ISBN 0-13-004763-5 ).
Nicolas Bourbaki , Álgebra: Capítulos 1 a 3 , Springer,2007( ISBN 978-3-540-33849-9 ).
Nicolas Bourbaki , Elementos da história da matemática , Springer,2007[ detalhe das edições ].
David C. Lay , Álgebra Linear: Teoria, Exercícios e Aplicações , De Boeck,2004, 576 p. ( ISBN 978-2-8041-4408-1 , leia online ).