Em álgebra , a característica de um anel (unitário) A é por definição a ordem para a lei aditiva do elemento neutro da lei multiplicativa se esta ordem for finita; se essa ordem for infinita, a característica do anel é, por definição, zero .
Denotamos, para um anel unitário ( A , +, ×), 0 A o elemento neutro de "+" e 1 A o de "×".
A característica de um anel A é, portanto, o menor inteiro n > 0 tal que
se tal número inteiro existir. Caso contrário (em outras palavras, se 1 A é de ordem infinita), a característica é zero.
Observação. Esta definição é consistente com a literatura em XXI th século . Bourbaki diz explicitamente para definir a característica de um anel apenas se este anel contiver um corpo. Lang considera o ideal de Z formado pelo n tal que n .1 A = 0; se este ideal é primo, isto é, da forma a Z onde a é zero ou um número primo , define a característica de A como sendo o número a . Não o define de outra forma.
Existe um morfismo único de anéis unitários de em A ( é de fato um objeto inicial da categoria de anéis). Por definição, se n for um inteiro estritamente positivo, temos:
,onde 1 A é repetido n vezes. Por ser um anel euclidiano , o núcleo de é um ideal principal e, por definição, a característica de A é seu gerador positivo. Mais explicitamente, é o número natural único c tal que o kernel de é o ideal .
Isso decorre da definição acima e do teorema da fatoração . Deduzimos em particular:
De fato, o homomorfismo dos anéis unitários é o homomorfismo composto g ∘ f . Se p e q são as respectivas características de A e B , o núcleo de g ∘ f é , portanto , ou g ( f ( p )) = g (0 A ) = 0 B , de modo que contém p , ou seja, q divide p .
O resultado segue imediatamente da fórmula binomial de Newton e do fato de que p divide os coeficientes binomiais que aparecem na expansão.
Como para qualquer anel integral, a característica de um campo K é 0 ou um número primo p . Além disso, no segundo caso, como para qualquer anel de característica diferente de zero p , K contém uma cópia da qual (já que aqui p é primo) é um corpo: é o único corpo finito F p com p elementos.
Na verdade, tal campo K já contém (como qualquer anel com característica zero) uma cópia de . Como K é um campo, ele contém, portanto, o campo das frações de , ou seja, o campo das pessoas racionais. Qualquer corpo, portanto, tem um subcorpo mínimo, seu corpo primo , isomórfico (de acordo com sua característica) a um corpo finito F p ou ao corpo .
Se K for um corpo finito, ele tem, como qualquer anel finito, uma característica diferente de zero. Pelo acima, a sua característica é, portanto, um número primo p e K contém uma cópia do campo F p . Na verdade, K é um espaço vetorial em F p . Logo, sua cardinalidade é p à potência de sua dimensão (que, portanto, é necessariamente finita, ou seja, K é uma extensão finita de F p ).
por exemplo, o campo de frações racionais em F p ou o fechamento algébrico de F p .