Em matemática , um quadrado perfeito (um quadrado se não houver ambigüidade) é o quadrado de um inteiro . Os primeiros 70 quadrados (suíte A000290 do OEIS ) são:
0 2 = 0 | 5 2 = 25 | 10 2 = 100 | 15 2 = 225 | 20 2 = 400 | 25 2 = 625 | 30 2 = 900 | 35 2 = 1225 | 40 2 = 1.600 | 45 2 = 2.025 | 50 2 = 2.500 | 55 2 = 3.025 | 60 2 = 3.600 | 65 2 = 4.225 |
1 2 = 1 | 6 2 = 36 | 11 2 = 121 | 16 2 = 256 | 21 2 = 441 | 26 2 = 676 | 31 2 = 961 | 36 2 = 1296 | 41 2 = 1.681 | 46 2 = 2 116 | 51 2 = 2 601 | 56 2 = 3 136 | 61 2 = 3.721 | 66 2 = 4 356 |
2 2 = 4 | 7 2 = 49 | 12 2 = 144 | 17 2 = 289 | 22 2 = 484 | 27 2 = 729 | 32 2 = 1.024 | 37 2 = 1369 | 42 2 = 1.764 | 47 2 = 2 209 | 52 2 = 2 704 | 57 2 = 3.249 | 62 2 = 3.844 | 67 2 = 4.489 |
3 2 = 9 | 8 2 = 64 | 13 2 = 169 | 18 2 = 324 | 23 2 = 529 | 28 2 = 784 | 33 2 = 1.089 | 38 2 = 1444 | 43 2 = 1.849 | 48 2 = 2.304 | 53 2 = 2 809 | 58 2 = 3.364 | 63 2 = 3 969 | 68 2 = 4.624 |
4 2 = 16 | 9 2 = 81 | 14 2 = 196 | 19 2 = 361 | 24 2 = 576 | 29 2 = 841 | 34 2 = 1.156 | 39 2 = 1.521 | 44 2 = 1936 | 49 2 = 2 401 | 54 2 = 2 916 | 59 2 = 3481 | 64 2 = 4096 | 69 2 = 4 761 |
Em nosso sistema de numeração usual, o dígito das unidades de um quadrado perfeito só pode ser 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. Na base doze , seria necessariamente 0, 1, 4 ou 9.
Dizemos que um inteiro q é um módulo de resíduo quadrático um inteiro m se existe um inteiro n tal que:
.É um conceito muito útil; torna possível, em particular, mostrar que certas equações diofantinas não admitem solução. Por exemplo, com k inteiros, a equação não admite solução em . De fato, os resíduos quadráticos módulo 4 sendo 0 e 1, um quadrado perfeito não pode ter um resto igual a 2 na divisão euclidiana por 4.
Consideramos um e b diferentes de zero inteiros naturais .
3. Se a é um quadrado perfeito, então existe um inteiro m > 0 tal que a = m 2 . Observando a decomposição de em fatores primos, deduzimos: portanto, todos os expoentes na decomposição de a são pares. Inversamente, se todos os expoentes na decomposição de a são pares, então a tem a forma .
4. Suponha que pgcd ( a , b ) = 1 e que ab = n 2 onde .
Denote por c = pgcd ( a , n ) . Então nós temos:
.Da mesma forma, b = (pgcd ( b , n )) 2 .
5. Apenas observe isso .
6. Pela propriedade 3, a é um quadrado perfeito se e somente se os expoentes j p em sua fatoração principal forem todos pares, o que é equivalente à desigualdade do produto . Agora, este produto é o número de divisores de a .
7. Cf. “ Resíduos quadráticos módulo 10 ”.
8. Consulte “ Soma dos primeiros n cubos ”.
Um número quadrado é um número poligonal (portanto, um inteiro estritamente positivo ) que pode ser representado geometricamente por um quadrado . Por exemplo, 9 é um número quadrado, pois pode ser representado por um quadrado de 3 × 3 pontos. Os números de quadrados são, portanto, os diferentes de zero quadrados perfeitos , o n- th sendo n 2 .
O produto de dois números quadrados é um número quadrado.
A representação do primeiro número quadrado é um ponto. A do N- th é obtido pela fronteira com dois lados consecutivos do quadrado precedente por 2 n - 1 pontos:
1 + 3 = 2 2 = 4
4 + 5 = 3 2 = 9
9 + 7 = 4 2
1 + 3 + 5 + 7 = 4 2
O n- ésimo número quadrado é, portanto, a soma dos primeiros n números ímpares : ,
que fornece um meio prático de formar uma tabela de quadrados: escreve-se em uma primeira linha os inteiros sucessivos dos quais se deseja formar os quadrados, depois os números ímpares sucessivos. Em uma terceira linha, começando com 1, cada vez que somamos o número ímpar imediatamente à direita e acima, construímos naturalmente a sequência de quadrados perfeitos. Essa propriedade também é usada para um método de extração de raiz quadrada e, de forma ainda mais prática, para a extração de raiz quadrada com um ábaco .
O n- ésimo número quadrado também é igual à soma do n- ésimo número triangular e o anterior:
A soma de dois números quadrados consecutivos é um número quadrado centralizado .
A soma dos primeiros n números quadrados é igual ao n- ésimo número da pirâmide quadrada :
Os matemáticos frequentemente se interessavam por algumas curiosidades sobre números quadrados. A mais conhecida, principalmente por sua referência ao teorema de Pitágoras , é a igualdade 3 2 + 4 2 = 5 2 , que dá início ao estudo dos triplos pitagóricos. De acordo com o teorema de Fermat-Wiles , demonstrado em 1995, apenas os números quadrados podem fazer uma identidade como a dos triplos pitagóricos. Por exemplo, não há solução para a 3 + b 3 = c 3 com a , b e c inteiros diferentes de zero.
Quadrado perfeito em recreomath.qc.ca
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