Coeficiente de Poisson

Destacado (analiticamente) por Siméon Denis Poisson , o coeficiente de Poisson (também denominado coeficiente de Poisson principal ) permite caracterizar a contração da matéria perpendicular à direção da força aplicada.

Definição

ν=encolhimento transversal relativoalongamento longitudinal relativo=(eu0-eu)/eu0(eu-eu0)/eu0=1-eueu0eueu0-1{\ displaystyle \ nu = {\ frac {\ text {redução transversal relativa}} {\ text {alongamento longitudinal relativo}}} = {\ frac {(l_ {0} -l) / l_ {0}} {(L -L_ {0}) / L_ {0}}} = {\ frac {1 - {\ frac {l} {l_ {0}}}} {{\ frac {L} {L_ {0}}} - 1 }}}

No caso mais geral, o coeficiente de Poisson depende da direção do alongamento, mas:

• no caso importante de materiais isotrópicos , é independente deles;
• no caso de um material isotrópico transversal  (en), três coeficientes de Poisson são definidos (dois dos quais estão ligados por uma relação);
• no caso de um material ortotrópico , dois coeficientes de Poisson (ligados por uma relação) são definidos para cada uma das três direções principais.

O coeficiente de Poisson é uma das constantes elásticas . É necessariamente entre -1 e 0,5, mas geralmente positivo. Alguns materiais feitos pelo homem e alguns materiais naturais (algumas rochas sedimentares ricas em quartzo ) têm um coeficiente de Poisson negativo; esses materiais específicos são chamados de auxéticos . Os valores experimentais obtidos para qualquer material são freqüentemente próximos a 0,3.

Relacionamentos

Caso de um material isotrópico

• A variação do volume ΔV / V devido à contração do material pode ser dada pela fórmula (válida apenas para pequenas deformações):

ΔVV0≈(1-2ν)Δeueu0{\ displaystyle {\ frac {\ Delta V} {V_ {0}}} \ approx (1-2 \ nu) {\ frac {\ Delta L} {L_ {0}}}} Demonstração

Let Ser um cubo feito de um material isotrópico com um volume inicial e um volume final . Onde a relação entre os dois é, portanto: V0=eu03{\ displaystyle V_ {0} = L_ {0} ^ {3}}V=eu⋅eu2=eu0(1+ϵ)⋅(eu0(1-ν⋅ϵ))2{\ displaystyle V = L \ cdot l ^ {2} = L_ {0} (1+ \ epsilon) \ cdot (L_ {0} (1- \ nu \ cdot \ epsilon)) ^ {2}}
ϵ=Δeueu0{\ displaystyle \ epsilon = {\ frac {\ Delta L} {L_ {0}}}}

V=(V0+ΔV)=V0⋅(1+ϵ)⋅(1-ν⋅ϵ)2{\ displaystyle V = (V_ {0} + \ Delta V) = V_ {0} \ cdot (1+ \ epsilon) \ cdot (1- \ nu \ cdot \ epsilon) ^ {2}} , ou desenvolvendo:

V=(V0+ΔV)=V0⋅(1+ϵ-2⋅ν⋅ϵ+ν2⋅ϵ2-2⋅ν⋅ϵ2+ν2⋅ϵ3){\ displaystyle V = (V_ {0} + \ Delta V) = V_ {0} \ cdot (1+ \ epsilon -2 \ cdot \ nu \ cdot \ epsilon + \ nu ^ {2} \ cdot \ epsilon ^ { 2} -2 \ cdot \ nu \ cdot \ epsilon ^ {2} + \ nu ^ {2} \ cdot \ epsilon ^ {3})}

A suposição de pequenas deformações torna possível negligenciar os termos de segunda ordem, obtendo-se então:

V0+ΔV=V0⋅(1+ϵ-2⋅ν⋅ϵ){\ displaystyle V_ {0} + \ Delta V = V_ {0} \ cdot (1+ \ epsilon -2 \ cdot \ nu \ cdot \ epsilon)}

ΔV=V0⋅(ϵ-2⋅ν⋅ϵ){\ displaystyle \ Delta V = V_ {0} \ cdot (\ epsilon -2 \ cdot \ nu \ cdot \ epsilon)}

dividindo esta relação pelo volume inicial  : V0{\ displaystyle V_ {0}}

ΔVV0=(1-2ν)⋅ϵ{\ displaystyle {\ dfrac {\ Delta V} {V_ {0}}} = (1-2 \ nu) \ cdot \ epsilon}

• O módulo de elasticidade isostático ( ) está relacionado ao módulo de Young ( ) pelo coeficiente de Poisson ( ) através da relação:K{\ displaystyle K}E{\ displaystyle E}ν{\ displaystyle \ nu}

K=13E(1-2ν){\ displaystyle K = {\ frac {1} {3}} {\ frac {E} {(1-2 \ nu)}}}

Esta relação mostra que deve permanecer menor que ½ para que o módulo de elasticidade isostático permaneça positivo. Também observamos os valores particulares de ν: ν{\ displaystyle \ nu}

• para ν = 1/3 foi K = E .
• para ν → 0,5 temos K → ∞ incompressibilidade (caso da borracha , por exemplo)

• Com o módulo de Young ( ) expresso em função do módulo de cisalhamento ( ) e  :E{\ displaystyle E}G{\ displaystyle G}ν{\ displaystyle \ nu}

E=2(1+ν)⋅G{\ displaystyle E = 2 (1+ \ nu) \ cdot G}.

Esta relação destaca o fato de que não pode ser menor que -1, senão seu módulo de cisalhamento seria negativo (seria solicitado na tração assim que fosse comprimido!). ν{\ displaystyle \ nu}

Caso de um laminado (isotrópico transversal)

Um coeficiente de Poisson secundário é então definido pela seguinte relação:

E1ν12=E2ν21{\ displaystyle {\ frac {E_ {1}} {\ nu _ {12}}} = {\ frac {E_ {2}} {\ nu _ {21}}}}

onde e são os módulos de materiais de Young e é o coeficiente de Poisson secundário. E1{\ displaystyle E_ {1}}E2{\ displaystyle E_ {2}}ν21{\ displaystyle \ nu _ {21}}

Caixa de materiais naturais

O coeficiente de Poisson pode ser calculado a partir do alongamento longitudinal e da contração transversal, medidos diretamente.

Para materiais muito rígidos pode ser mais conveniente medir a velocidade de propagação das ondas P e S e derivar o coeficiente de Poisson, graças à relação:

ν=12[1-1(VPVS)2-1]{\ displaystyle \ nu = {\ frac {1} {2}} \ left [1 - {\ frac {1} {\ left ({\ frac {V _ {\ mathrm {P}}} {V _ {\ mathrm {S}}}} \ right) ^ {2} -1}} \ right]}.

Corpos simples

A maioria dos corpos simples no estado sólido tem um coeficiente de Poisson entre 0,2 e 0,4. De 64 desses corpos simples, apenas 6 têm um coeficiente maior que 0,4 ( Si  : 0,422; Au  : 0,424; Pb  : 0,442; Mo  : 0,458; Cs  : 0,460; Tl  : 0,468) e 4 um coeficiente menor que 0, 2 ( Ru  : 0,188; Eu  : 0,139; Be  : 0,121; U  : 0,095); nenhum é auxético .

Óxidos

160 óxidos testados em 2018, é um único auxica em condições ambientais , a cristobalite α ( ν = -0,164), e o restante 20 para a partir de de 1500  ° C . O quartzo também tem um coeficiente de Poisson significativamente menor do que os outros óxidos: ( ν = 0,08 à temperatura ambiente.

Para 97,4% dos óxidos, o coeficiente de Poisson está entre 0,150 e 0,400 ( média  : 0,256; desvio padrão  : 0,050). Em geral, o coeficiente de Poisson está positivamente correlacionado com a densidade  : (excluindo cristobalita e quartzo), mas o coeficiente de determinação r 2 não é muito alto: 0,28. A correlação é melhor quando consideramos apenas os óxidos que cristalizam no mesmo sistema reticular  : ν≈0,0285ρ-0,1227{\ displaystyle \ nu \ approx 0 {,} 0285 \, \ rho -0 {,} 1227}

Razão de óxidos de Poisson

Sistema	não	Equação de correlação	r 2
hexagonal	8	ν≈0,0506ρ+0,067{\ displaystyle \ nu \ approx 0 {,} 0506 \, \ rho +0 {,} 067}	0,99
trigonal	24	ν≈0,0852ρ-0,1267{\ displaystyle \ nu \ approx 0 {,} 0852 \, \ rho -0 {,} 1267}	0,83
cúbico	70	ν≈0,0852ρ-0,1267{\ displaystyle \ nu \ approx 0 {,} 0852 \, \ rho -0 {,} 1267}	0,46
tetragonal	19	ν≈0,0525ρ-0,0264{\ displaystyle \ nu \ approx 0 {,} 0525 \, \ rho -0 {,} 0264}	0,36
ortorrômbico	33	ν≈0,0129ρ+0,1873{\ displaystyle \ nu \ approx 0 {,} 0129 \, \ rho +0 {,} 1873}	0,27

1. O único óxido monoclínico estudado tem um coeficiente de Poisson de 2,271.
2. n  : número de óxidos considerados na regressão linear.

Silicatos

O coeficiente de Poisson dos 301 silicatos testados em 2018 (9 ciclosilicatos , 43 inosilicatos , 219 neossilicatos , 5 filossilicatos e 25 tectossilicatos ) varia entre 0,080 para quartzo e 0,365 para zircão . Se excluirmos esses dois extremos, ν varia entre 0,200 e 0,350 (média: 0,261; desvio padrão: 0,030).

Outros compostos inorgânicos

O coeficiente de Poisson de carbonatos , halogenetos , fosfatos , sulfatos e sulfuretos varia entre 0,091 e 0,379:

Razão de Poisson de diferentes compostos químicos

Compostos	não	Faixa de valores	Média	Desvio padrão
Carbonatos	12	0,178-0,319	0,288	0,041
Halides	10	0,133-0,310	0,258	0,048
Fosfatos	8	0,091-0,316	0,243	0,083
Sulfatos	8	0,191-0,379	0,305	0,057
Sulfuretos	10	0,160-0,376	0,290	0,086

Alguns valores numéricos

As características mecânicas dos materiais variam de uma amostra para outra. No entanto, para os cálculos, os seguintes valores podem ser considerados uma boa aproximação. O coeficiente de Poisson não tem unidade.

Metais puros Material ν Alumínio (Al)  0,346 Berílio (Be)  0,032 Boro (B)  0,21 Cobre (Cu)  0,33 Ferro (Fe)  0,21 - 0,259 Magnésio (Mg)  0,35 Ouro (Au)  0,42 Chumbo (Pb)  0,44 Titânio (Ti)  0,34

Ligas Material ν Aço estrutural  0,27 - 0,30 Aço inoxidável  0,30 - 0,31 Ferro fundido  0,21 - 0,26 Latão  0,37

Vidros, cerâmicas, óxidos, carbonetos metálicos, minerais Material ν Argila úmida  0,40 - 0,50 Concreto  0,20 Areia  0,20 - 0,45 Carboneto de silício (SiC)  0,17 Se 3 N 4  0,25 Vidro 0,18 - 0,3

Materiais naturais Material ν Polímeros , fibras  0,30 - 0,50 Borracha  0,50 Cortiça  0,05 - 0,40 Espuma  0,10 - 0,40 Plexiglas ( polimetil metacrilato )  0,40 - 0,43

Notas e referências

Notas

1. A cristobalita α é uma metaestável polimórfica de dióxido de silício SiO 2.
2. O quartzo não é estritamente um silicato (ou seja, um óxido ), mas é classificado como silicatos estruturais em várias classificações de minerais .

Referências

1. (en) Shaocheng Ji, Le Li, Hem Bahadur Motra, Frank Wuttke, Shengsi Sun et al. , "  Razão de Poisson e propriedades auxiliares de rochas naturais  " , Journal of Geophysical Research - Solid Earth , vol.  123, n o  2fevereiro de 2018, p.  1161-1185 ( DOI  10.1002 / 2017JB014606 ).
2. (em) A. Yeganeh-Haeri, DJ Weidner e JB Parise, "  Elasticity of α-cristobalite: A silicon dioxide with a negative Poisson's ratio  " , Science , vol.  257, n o  507031 de julho de 1992, p.  650-652 ( DOI  10.1126 / science.257.5070.650 ).

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