Switch (teoria do grupo)

Na teoria dos grupos (matemática), o comutador de um par ( x , y ) de elementos de um grupo G é, na maioria dos autores, definido por

{\ displaystyle \ [x, y] = x ^ {- 1} y ^ {- 1} xy.}

Alguns autores tomam por definição

{\ displaystyle \ [x, y] = xyx ^ {- 1} y ^ {- 1}.}

Seja qual for a definição é adotada, é claro que x e y comutar se e somente se [ x , y ] = 1.

Se A e B são dois subgrupos de G, denotamos por [A, B] o subgrupo de G gerado pelos interruptores [a, b], a atravessando A eb atravessando B. Uma vez que os inversos dos elementos de A são exatamente os elementos de A e que os inversos dos elementos de B são exatamente os elementos de B, [A, B] não depende da definição escolhida para os comutadores.

Qualquer que seja a definição escolhida para as chaves, [b, a] é o inverso de [a, b], então se A e B são dois subgrupos de G, [A, B] = [B, A].

O subgrupo [G, G] de G , ou seja, o subgrupo de G gerado pelas chaves dos elementos de G, é o grupo derivado de G.

Alguns fatos

A seguir, vamos adotar a definição

{\ displaystyle \ [x, y] = x ^ {- 1} y ^ {- 1} xy}

e, para todos os elementos x , y de um grupo G, denotaremos

{\ displaystyle \ x ^ {y} = y ^ {- 1} xy.}

Então é um conjugado de x e sempre temos ${\ displaystyle \ x ^ {y}}$

{\ displaystyle \ (xy) ^ {z} = x ^ {z} y ^ {z}}

e não

{\ displaystyle \ x ^ {yz} = (x ^ {y}) ^ {z}.}

{\ displaystyle \ x ^ {yz} = (x ^ {z}) ^ {y}.}

Se A e B são dois subgrupos de G, então [A, B] = 1 se e somente se qualquer elemento de A comuta com qualquer elemento de B.
Se f é um homomorfismo de um grupo G em um grupo, ${\ displaystyle f ([x, y]) = [f (x), f (y)]}$ e ${\ displaystyle f ([A, B]) = [f (A), f (B)]}$ para todos os elementos x , y e todos os subgrupos A, B de G.
Aplicando isso ao automorfismo interno de G, obtemos ${\ displaystyle t \ mapsto t ^ {z}}$ ${\ displaystyle \ [x, y] ^ {z} = [x ^ {z}, y ^ {z}]}$ e ${\ displaystyle \ [A, B] ^ {z} = [A ^ {z}, B ^ {z}]}$ para todos os elementos x , y e z e todos os subgrupos A, B de G. Segue-se que se A e B são dois subgrupos distintos de G, [A, B] é ele próprio também um subgrupo distinto de G.
O mesmo argumento, aplicado a qualquer automorfismo (não necessariamente interior) de G mostra que se A e B são subgrupos característicos de G, então [A, B] também é um subgrupo característico de G.
Sejam A e B dois subgrupos de G. Para que [A, B] esteja contido em B, é necessário e suficiente que A normalize B (isto é, esteja contido no normalizador de B).
Portanto, se A e B se normalizam (e, em particular, se ambos são distintos em G), [A, B] está contido em . $A \ cap B$
Em particular, se A e B são dois subgrupos de G que se normalizam e cuja interseção se reduz ao elemento neutro, então qualquer elemento de A comuta com qualquer elemento de B.
Verificamos por cálculo que $\ [xy, z] = [x, z] ^ {y} [y, z]$ e (por cálculo ou indo para o inverso na fórmula anterior, observando que o inverso de [a, b] é [b, a]) ${\ displaystyle \ [z, xy] = [z, y] [z, x] ^ {y}}$
A propriedade anterior dá ${\ displaystyle \ [x, z] ^ {y} = [xy, z] [y, z] ^ {- 1},}$ o que torna possível provar que se A e B são dois subgrupos de G, então A e B normalizam [A, B], o que equivale a dizer que [A, B] é um subgrupo normal do subgrupo. grupo <A , B> de G gerado por A e B.
São H , K e L subgrupos normais de um grupo L . Da propriedade e do fato de que [H, L] é normal em G, derivamos $\ [xy, z] = [x, z] ^ {y} [y, z]$ [HK, L] = [H, L] [K, L], o que ainda pode ser escrito [L, HK] = [L, H] [L, K].
Hall - identidade Witt : ${\ displaystyle \ [\ [x, y ^ {- 1}], z] ^ {y} \ \ [\ [y, z ^ {- 1}], x] ^ {z} \ \ [\ [z , x ^ {- 1}], y] ^ {x} = 1.}$ Isso é verificado por um cálculo mecânico. Podemos encurtar os cálculos observando que o primeiro fator da identidade pode ser escrito

{\ displaystyle \ [\ [x, y ^ {- 1}], z] ^ {y} \ = T (x, z, y) ^ {- 1} T (y, x, z),}

onde colocamos:

{\ displaystyle \ T (a, b, c) = aba ^ {- 1} ca.}

Expressões análogas dos outros dois fatores da identidade de Hall-Witt são obtidas a partir dela por uma permutação circular das variáveis e quando multiplicamos os três resultados membro por membro, cada fator T () é destruído pelo fator T () -1 que segue.

Outra forma de identidade de Hall-Witt. Na identidade Hall-Witt acima, o primeiro fator pode ser escrito: ${\ displaystyle \ [\ [x, y ^ {- 1}], z] ^ {y} \ = [\ [y, x], z ^ {y}],}$ e por permutação circular das variáveis, obtemos expressões análogas para os outros dois fatores. Ao fazer as substituições na identidade Hall-Witt em seguida, indo para as inversas tendo em conta que o inverso de [a, b] é [b, a], e, finalmente, através da troca de x e y , encontramos esta fórmula equivalente para o Hall -Identidade de Wit: ${\ displaystyle \ [x ^ {y}, [y, z] \] \ [y ^ {z}, [z, x] \] \ [z ^ {x}, [x, y] \] = 1 .}$
Se H, K e L são subgrupos de G, o subgrupo [[H, K], L] de G não é necessariamente gerado pelas chaves [[h, k], l] com h em H, k em K e l em L.
Por outro lado, se cada uma dessas opções [[h, k], l] for igual a 1, então [[H, K], L] = 1. (Na verdade, cada opção [h, k] com h em H e k em K então pertencem ao centralizador de L, de modo que o subgrupo [H, K] de G gerado por essas chaves está contido no centralizador de L.)
Lema dos três subgrupos (forma particular)
Se H, K e L são subgrupos de G, se [[H, K], L] = 1 e [[K, L], H] = 1, então [[CN, H], K] = 1.
Isso segue da identidade de Hall-Witt e da observação anterior.
Lema dos três subgrupos (forma geral)
Se H, K e L são subgrupos de G, se N é um subgrupo distinto de G, se e , então . ${\ displaystyle [[H, K], L] \ leq N}$ ${\ displaystyle [[K, L], H] \ leq N}$ ${\ displaystyle [[L, H], K] \ leq N}$

Deduzimos esta forma geral da forma particular passando (nas hipóteses da forma geral presente) para as imagens pelo homomorfismo canônico de G em G / N e lembrando que, como observado acima, f ([A, B]) = [f (A), f (B)] para todos os subgrupos A, B de G e para qualquer homomorfismo f a partir de G.

Corolário do lema dos três subgrupos.
Se H, K e L são subgrupos distintos de G, então ${\ displaystyle \ [\ [L, H], K] \ leq [\ [H, K], L] \ [\ [K, L], H].}$ Na verdade, é então um subgrupo distinto de G e a afirmação é facilmente obtida colocando-se na forma geral do lema dos três subgrupos. ${\ displaystyle \ [\ [H, K], L] \ [\ [K, L], H]}$ ${\ displaystyle \ N = [\ [H, K], L] \ [\ [K, L], H]}$
Este corolário do lema dos três subgrupos nos permite demonstrar certas propriedades da sequência descendente central de um grupo.

Exemplo

No grupo do cubo de Rubik , um switch troca dois cubos, por exemplo. Se agora queremos trocar dois cubos em outro lugar, tomaremos o conjugado de tal troca. Por exemplo, cubers familiarizadas com a FRUR'U'F algoritmo '= [R, L] F .

Bibliografia

J. Petresco, On switches , Dubreil Seminar, Algebra and number theory, t. 7 (1953-1954), pp. 1-11. Disponível em Numdam .
Nicolas Bourbaki , Elementos de matemática , Álgebra , Paris,1970, cap. 1, pág. 65-68
(en) I. Martin Isaacs , Teoria dos Grupos Finitos , AMS ,2008, p. 113-128.
(pt) Joseph J. Rotman (pt) , Uma Introdução à Teoria dos Grupos [ detalhe da edição ], 4 th ed.
(pt) Hans Kurzweil (de) e Bernd Stellmacher , The Theory of Finite Groups, An Introduction ,2004( leia online )

Notas e referências

Por exemplo, Kurzweil e Stellmacher , p. 24. Mesma coisa em Bourbaki 1970 § 6, n ° 2, p. I.65, com parênteses em negrito em vez de colchetes.
Por exemplo , Rotman , p. 33
Este teorema e sua prova são devidos a Walther von Dyck ( (de) W. Dyck , " Gruppentheoretische Studien II. " , Math. Ann. ,1883, p. 97, disponível no site da Universidade de Göttingen . Referência dada por (en) W. Burnside , Teoria dos Grupos da Ordem Finita , Dover, 1911 ( repr. 2004), p. 44)
Ver, por exemplo, Bourbaki 1970 , § 6, n ° 2, proposição 5, (i), p. I.66; Kurzweil e Stellmacher , p. 26; Isaacs , 2008 , p. 114
John S. Rose, um curso na teoria de grupo , 1978, repr. Dover, 1994, exerc. 169, pág. 61
Demonstrado sob este nome em Isaacs 2008 , p. 125, onde é necessário corrigir um erro de impressão na fórmula. IM Isaacs nota a semelhança com a identidade de Jacobi. Rotman , pág. 118 chama de "identidade Jacobi" o que IM Isaacs chama de "identidade Hall-Witt". As publicações de Witt e Hall, das quais esta identidade leva o nome, são P. Hall, “Uma contribuição para a teoria dos grupos de ordem do poder primário”, em Proc. London Math. Soc. (2) vol. 36, 1934, pp. 29-95, e E. Witt, " Treue Darstellung Liescher Ringe ", em J. Reine Angew. Matemática. , voar. 177 (1938), pp. 152-160. (Referências fornecidas por Kurzweil e Stellmacher , p. 26, n. 18.)
N. Bourbaki, Algebra I, Capítulos 1 a 3 , Paris, 1970, p. I.66, desta forma demonstra uma identidade equivalente à identidade de Hall-Witt.
É dessa forma que a identidade de Hall-Witt é dada em N. Bourbaki, Algebra I, Capítulos 1 a 3 , Paris, 1970, p. I.66.
Veja um exemplo em Isaacs 2008 , p. 122-123.
Ver, por exemplo, Isaacs 2008 , p. 126
Descoberto por LA Kaluznin, “Über gewisse Beziehungen zwischen einer Gruppe und ihren Automorphismen”, em Bericht über die Mathematiker-Tagung em Berlim, janeiro de 1953 , Berlim, p. 164-172. (Referência dada por JC Lennox e DJS Robinson, The Theory of Infinite Soluble Groups , Oxford University Press, 2004, repr. 2010, p. 5 e 308.)
Ver Bourbaki 1970 § 6, n ° 2, proposição 5, (iii), p. I.66.

Veja também