Lei de Levy
Distribuição Lévy
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Densidade de probabilidade para diferentes valores de c .
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Função de distribuição para diferentes valores de c .
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Definições
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µ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}} vs>0{\ displaystyle c> 0 \,}
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Apoiar
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x∈]µ,+∞[{\ displaystyle x \ in] \ mu, + \ infty [\,}
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Densidade de probabilidade
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vs2π⋅1(x-µ)3/2e-vs2(x-µ){\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} \ cdot {\ frac {1} {(x- \ mu) ^ {3/2}}} \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}}}
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Função de distribuição
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erfvs vs2(x-µ){\ displaystyle \ mathrm {erfc} ~ {\ sqrt {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}} \!}
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Ter esperança
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+∞{\ displaystyle + \ infty \,}
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Mediana
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vs/2(erf-1(1/2))2{\ displaystyle c / 2 ({\ textrm {erf}} ^ {- 1} (1/2)) ^ {2} \,} para µ=0{\ displaystyle \ mu = 0}
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Moda
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vs3{\ displaystyle {\ frac {c} {3}} \,} para µ=0{\ displaystyle \ mu = 0}
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Variância
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+∞{\ displaystyle + \ infty \,}
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Assimetria
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não definido
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Curtose normalizada
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não definido
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Entropia
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1+3γ+em(16πvs2)2{\ displaystyle {\ frac {1 + 3 \ gamma + \ ln (16 \ pi c ^ {2})} {2}} \,}
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Função geradora de momento
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não definido
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Função característica
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eeuµt--2euvst{\ displaystyle e ^ {i \ mu t - {\ sqrt {-2ict}}} \,}
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Em teoria da probabilidade e estatística , a lei de Lévy , em homenagem ao matemático Paul Lévy , é uma lei contínua de probabilidade . Na física , mais precisamente na espectroscopia , leva o nome de perfil de van der Waals e descreve o perfil de certas linhas espectrais .
Esta lei depende de dois parâmetros: um parâmetro de posição que desloca o suporte e um parâmetro de escala .
µ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}[µ,∞[{\ displaystyle [\ mu, \ infty [} vs{\ displaystyle c}
Se X segue um Lévy, nota: .
X∼euevy(µ,vs){\ displaystyle X \ sim \ mathrm {Levy} (\ mu, c)}
Com a lei de Cauchy e a lei normal , é um dos três ser estável por convolução e ter uma densidade de probabilidade expressável analiticamente.
Características
Densidade de probabilidade
A densidade de probabilidade da lei de Lévy é dada por:
f(x;µ,vs)={vs2π1(x-µ)3/2e-vs2(x-µ) E se x>µ0 se não{\ displaystyle f (x; \ mu, c) = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} {\ frac {1} {(x- \ mu) ^ {3/2}}} e ^ {- {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}} & {\ text {si}} x> \ mu \\ 0 & {\ text {caso contrário }} \ end {cases}}}onde é o parâmetro de posição e é o parâmetro de escala . Como todas as leis estáveis , existe uma forma padrão da lei, definida pela densidade que obtemos da mudança de variável: na expressão de .
µ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}vs>0{\ displaystyle c> 0}f(x;0,1){\ displaystyle f (x; 0,1)}y=x-µvs{\ displaystyle y = {\ frac {x- \ mu} {c}}}f(x;µ,σ){\ displaystyle f (x; \ mu, \ sigma)}
A lei de Lévy tem cauda pesada , expressa pela fórmula:
f(x;µ,vs)∼x→∞vs2π 1x3/2.{\ displaystyle f (x; \ mu, c) \, {\ underset {x \ rightarrow \ infty} {\ sim}} \, {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} ~ {\ frac {1} {x ^ {3/2}}}.}Esta propriedade é ilustrada pela representação da densidade em um benchmark log-log .
Função de distribuição
A função de distribuição da lei de Lévy é dada por:
F(x;µ,vs)={erfc(vs/2(x-µ)) E se x>µ0 se não{\ displaystyle F (x; \ mu, c) = {\ begin {cases} \ displaystyle {\ textrm {erfc}} \ left ({\ sqrt {c / 2 (x- \ mu)}} \ right) & {\ text {si}} x> \ mu \\ 0 & {\ text {caso contrário}} \ end {casos}}}onde erfc é a função de erro complementar.
Função característica
A função característica da lei de Lévy é:
φ(t;µ,vs)=eeuµt--2euvst.{\ displaystyle \ varphi (t; \ mu, c) = e ^ {i \ mu t - {\ sqrt {-2ict}}}.}Podemos escrever esta função característica na forma mais clássica de leis estáveis:
φ(t;µ,vs)=eeuµt-|vst|1/2 (1-eu assinar(t)).{\ displaystyle \ varphi (t; \ mu, c) = e ^ {i \ mu t- | ct | ^ {1/2} ~ (1-i ~ {\ textrm {sign}} (t))}. }Momentos
Para o n º tempo da lei de Levy é formalmente dado por:
µ=0{\ displaystyle \ mu = 0}
mnão =def vs2π∫0∞e-vs/2xxnãox3/2dx.{\ displaystyle m_ {n} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- c / 2x} \, x ^ {n}} {x ^ {3/2}}} \, {\ rm {d}} x.}Essa integral diverge para todo n > 0, então os momentos da lei de Lévy não são definidos. A função geradora de momento é formalmente dada por:
M(t;vs) =def vs2π∫0∞e-vs/2x+txx3/2dx.{\ displaystyle M (t; c) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- c / 2x + tx}} {x ^ {3/2}}} \, {\ rm {d}} x.}A integral diverge e, portanto, é indefinida em qualquer intervalo em torno de zero, de modo que a função geradora de momento é indefinida.
t>0{\ displaystyle t> 0}
Links com outras leis
- Se entãoX∼Imposição(µ,vs){\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Levy}} (\ mu, c) \,}kX+b∼Imposição(kµ+b,kvs){\ displaystyle kX + b \ sim {\ textrm {Levy}} (k \ mu + b, kc) \,}
- Se então ( lei gama inversa )X∼Imposição(0,vs){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0, c)}X∼Inv-Gamma(12,vs2){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Inv-Gamma}} ({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {c} {2}})}
- A lei de Lévy é um caso especial de uma função de Pearson do tipo V.
- Se ( distribuição normal ), entãoY∼Normal(µ,σ2){\ displaystyle Y \, \ sim \, {\ textrm {Normal}} (\ mu, \ sigma ^ {2})}(Y-µ)-2∼Imposição(0,1/σ2){\ displaystyle {(Y- \ mu)} ^ {- 2} \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0,1 / \ sigma ^ {2})}
- Se entãoX∼Normal(µ,1σ){\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Normal}} (\ mu, {\ tfrac {1} {\ sqrt {\ sigma}}}) \,}(X-µ)-2∼Imposição(0,σ){\ displaystyle {(X- \ mu)} ^ {- 2} \ sim {\ textrm {Levy}} (0, \ sigma) \,}
- Se então ( lei estável )X∼Imposição(µ,vs){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (\ mu, c)}X∼Estábulo(1/2,1,vs,µ){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Estável}} (1 / 2,1, c, \ mu) \,}
- Se então ( escala alterada da lei inversa-χ² )X∼Imposição(0,vs){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0, c)}X∼Scale-inv-χ2(1,vs){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Scale-inv -}} \ chi ^ {2} (1, c)}
- Se então ( distribuição normal dobrada )X∼Imposição(µ,vs){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (\ mu, c)}(X-µ)-12∼FoldedNormal(0,1/vs){\ displaystyle {(X- \ mu)} ^ {- {\ tfrac {1} {2}}} \ sim \, {\ textrm {FoldedNormal}} (0,1 / {\ sqrt {c}})}
Referência
(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em
inglês intitulado
" Distribuição Lévy " ( ver a lista de autores ) .
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