Empilhamento compacto

A pilha compacta é a maneira de organizar as esferas no espaço de forma a ter a maior densidade de esferas, sem que elas se sobreponham.

Este é um problema que geralmente nos colocamos na geometria euclidiana no espaço tridimensional, mas também podemos generalizá-lo para o plano euclidiano (as “esferas” então sendo círculos ), em um espaço euclidiano com n dimensões ( n > 3 ) , com hiperesferas , ou em um espaço não euclidiano .

Arranjo compacto de círculos em um plano

Em um plano, um máximo de seis círculos de raio $r podem ser colocados em$ torno de um círculo com o mesmo raio. Os centros de três círculos em contato definem um triângulo equilátero, uma vez que estão $2 r$ separados um do outro. Cada ângulo sendo igual a 60 ° ( $π / 3$ ), podemos então colocar 6 triângulos com um vértice em comum para formar um hexágono regular.

Percebe-se facilmente que esta é a organização mais compacta que fica armazenando bolas do mesmo volume em um recinto de tamanho adequado.

A densidade da superfície deste arranjo é:

{\ displaystyle d = {\ frac {\ pi} {2 {\ sqrt {3}}}} \ simeq 0 {,} 9069.}

Demonstração

Considere quatro círculos em contato dois a dois. Os centros desses círculos formam um losango com lado $2 r$ . Assim, é possível cortar o plano em uma pavimentação de diamantes definindo uma rede.

Cada losango compreende duas partes de um disco angular no centro $2π / 3$ e duas partes de um disco angular no centro $π / 3$ . A soma desses quatro ângulos no centro é, portanto, igual a $2π$ , de modo que a soma das áreas das quatro partes do disco é igual à área de um disco completo, ou seja, $π r 2$ .

O próprio losango tem uma área . Os discos, portanto, ocupam uma proporção de área igual a . ${\ displaystyle 2 {\ sqrt {3}} \ r ^ {2}}$ ${\ displaystyle d = {\ frac {\ pi \ r ^ {2}} {2 {\ sqrt {3}} \ r ^ {2}}}}$

Joseph-Louis Lagrange provou em 1773 que nenhum arranjo regular é mais denso. Não é o caso quando os círculos não são do mesmo tamanho (veja a disposição das rodelas de frutas cítricas).

Pilha compacta de esferas

Considere três esferas do mesmo diâmetro em contato em um plano (plano A). Podemos colocar uma quarta esfera, sempre do mesmo diâmetro, colocada no oco entre as três primeiras, os centros das esferas formando um tetraedro regular.

Posicionando assim as esferas nas cavidades do plano compacto A, obtemos um segundo plano compacto (plano B). Quando adicionamos um terceiro plano, podemos colocar as esferas em correspondência com as do primeiro plano (plano A), ou em uma terceira possibilidade de colocação definindo um novo plano compacto (plano C). E assim sucessivamente: sobreposição (regular ou não) dos planos A, B ou C (duas letras consecutivas devem ser sempre diferentes).

Em 1611, Johannes Kepler conjectura que este é o arranjo espacial mais compacto. Em 1831, Carl Friedrich Gauss demonstra a conjectura de Kepler, desde que o arranjo seja regular (em uma rede). O caso geral é demonstrado por Thomas Hales em 1998 (seguido por quatro anos de verificações por matemáticos) e formalmente comprovado em 2014, ainda por Thomas Hales.

Existem, portanto, três tipos de planos compactos A, B e C que, combinados, podem gerar uma infinidade de tipos de empilhamento compacto, que constituem um exemplo de politipismo :

ABAB… a chamada pilha “hexagonal compacta”;
ABCABC… a chamada pilha “cúbica compacta” ou “cúbica centrada na face”, que deve o seu nome à rede de Bravais que lhe corresponde;
ABACABAC… denominado empilhamento “hexagonal duplo”;
ABCBABCB…;
...

Seja qual for o arranjo, cada esfera é cercada por 12 outras esferas e a densidade de volume é em todos os casos:

{\ displaystyle d = {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {2}}}} \ simeq 0 {,} 740 \, 48.}

Demonstração - O cálculo pode ser feito de forma simples em um empilhamento cúbico centrado na face e em um empilhamento hexagonal compacto (consulte o link externo para o cálculo da compactação). Para as demais pilhas compactas, basta cortar a estrutura em grupos de três planos para acabar em um dos casos mencionados.

Dimensões superiores

Em espaços euclidianos de dimensão maior que 3, o problema de empilhamento compacto generaliza para hiperesferas . As densidades dos arranjos regulares mais compactos são conhecidas até a dimensão 8 e para a dimensão 24 (ver o artigo “ Constante de eremita ”).

Em 2016, Maryna Viazovska anunciou que a rede E 8 (in) fornece a pilha ótima (não necessariamente regular) no tamanho 8 e, logo depois, em colaboração com outros matemáticos, produziu evidências semelhantes mostrando que a rede de Leech é ideal para dimensão 24.

Assintoticamente, a densidade do arranjo mais compacto (regular ou não) diminui exponencialmente em função da dimensão n . Não há razão para pensar que os arranjos mais densos são geralmente regulares. No entanto, a orientação mais conhecida sobre é a mesma em ambos os casos: $d_ {n}$ $d_ {n}$

{\ displaystyle 2 ^ {- no (n)} \ leq d_ {n} \ leq 2 ^ {- 0 {,} 5990n + o (n)}.}

Aplicação em cristalografia

Na cristalografia , átomos ou íons podem se organizar em camadas compactas. Este é particularmente o caso de estruturas metálicas, os cristais sendo formados de apenas um tipo de partículas. Se os modelarmos por esferas, a pilha é compacta quando as esferas estão em contato.

Os dois tipos principais de pilha compacta são:

hexagonal compacto hc (ou hcp para hexagonal compactado ): as camadas de átomos que se acumulam na ordem ABAB , o poliedro de coordenação dos átomos é um anticuboctaedro ;
cfc cúbico de face centrada (ou ccp para compactação cúbica ): as camadas de átomos empilhadas na ordem ABC , o poliedro de coordenação dos átomos é um cuboctaedro .

Exemplos:

cfc: austenita , alumínio .

A densidade do volume é chamada de compactação . A taxa de enchimento é de aproximadamente 74 % (26% de vácuo).

Estrutura vs. rede

No cúbico compacto estrutura , os átomos estão localizadas em correspondência com os nós da rede cúbica de face centrada e por esta razão a estrutura cúbica compacto é muitas vezes também chamada estrutura cúbica de face centrada.

Por outro lado, na estrutura hexagonal compacta os átomos não estão nos nós da rede, mas nas posições ⅓, ⅔, ¼ e ⅔, ⅓, ¾, que são equivalentes no grupo espacial ( P 6 3 / mmc , n ° 194). A rede da estrutura hexagonal compacta é uma rede hexagonal primitiva.

Referências

Conway e Sloane 1999 , cap. 1, pág. 8
(em) Frank Morgan, " Sphere Packing in size 8 " , no The Huffington Post ,21 de março de 2016(acessado em 10 de abril de 2016 )
(de) Andreas Loos, " Mathematik: So stapeln Mathematiker Melonen " , Die Zeit ,21 de março de 2016( ISSN 0044-2070 , ler online , acessado em 10 de abril de 2016 )
(en-US) Lisa Grossman , “ Nova prova matemática mostra como empilhar laranjas em 24 dimensões ” , em New Scientist ,28 de março de 2016(acessado em 10 de abril de 2016 )
(in) Erica Klarreich , " Sphere Packing Solved in Higher Dimensions " , Quanta Magazine ,30 de março de 2016( leia online , consultado em 23 de março de 2021 )
Conway e Sloane 1999 , cap. 1, pág. 20

Veja também

Bibliografia

(pt) John Horton Conway e Neil Sloane , Sphere Packings, Lattices and Groups , Springer ,1999, 3 e ed. ( 1 st ed. 1993) ( linha ler )
( fr ) Thomas Hales, “ A prova of the Kepler conjecture ” , Ann. da matemática. , vol. 162,2005, p. 1065-1185 ( leia online )
Joseph Oesterlé , “ Stacking of spheres ”, Bourbaki Seminar , vol. 32, n o 727, 1989-1990 ( li online )
Joseph Oesterlé, “ Densidade máxima de esferas empilhadas na dimensão 3 ”, Seminário Bourbaki , vol. 41, n o 863, 1998-1999 ( lido online )

links externos

Cálculo de compacidade
Souhir Boujday, “ Compact stacking ” , na UPMC
( fr ) Herminio López Arroyo, “ Vamos doar algumas bolas ” , sobre Matifutbol - Exemplo concreto de empilhamento compacto.